王恒辰

摘要本文首先對(duì)玻爾茲曼能量分布律進(jìn)行推導(dǎo)，之后通過(guò)利用玻爾茲曼能量分布律進(jìn)行計(jì)算，推導(dǎo)出了氧氣濃度與海拔的關(guān)系，并計(jì)算出不同海拔下氧氣的濃度，應(yīng)用MATLAB建立模型后得出不同海拔下氧氣濃度，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況基本相符。本文所提供的計(jì)算氧氣濃度的方法，簡(jiǎn)單快捷。經(jīng)分析表明，能夠很好地與實(shí)際情況聯(lián)系起來(lái)，最后提出了此種方法所存在的缺陷。

關(guān)鍵詞玻爾茲曼能量分布律；MATLAB；不同海拔

氧氣濃度的變化會(huì)對(duì)人類(lèi)的生產(chǎn)、生活產(chǎn)生很大影響，研究不同海拔的氧氣濃度很有必要。在測(cè)量不同海拔下氧氣濃度時(shí)，可以利用氧氣濃度測(cè)量?jī)x進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，這種方法簡(jiǎn)單直接，可以測(cè)量得到實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，但是測(cè)量海拔較高時(shí)的氧氣濃度就顯得費(fèi)時(shí)費(fèi)力。也可以通過(guò)收集一瓶空氣并與銅加熱計(jì)算銅的增重，間接計(jì)算氧氣的質(zhì)量，進(jìn)而計(jì)算出氧氣濃度，但是這種方法誤差較大，并且耗費(fèi)資源。事實(shí)上，我們還可以利用化學(xué)勢(shì)與玻爾茲曼能量分布律對(duì)不同海拔下氧氣濃度進(jìn)行計(jì)算。

化學(xué)勢(shì)指的是物體所含有的能量，而微觀粒子總是會(huì)從化學(xué)勢(shì)高的相進(jìn)入化學(xué)勢(shì)低的相，從而降低系統(tǒng)的總自由能，并使系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)。玻耳茲曼能量分布律是對(duì)化學(xué)勢(shì)的一個(gè)補(bǔ)充，能夠描述理想氣體在受保守外力作用或保守外力作用不可忽略時(shí)，處于熱平衡狀態(tài)下的氣體按能量分布的規(guī)律。

玻爾茲曼分布律是由玻爾茲曼提出來(lái)的。路德維?！げ柶澛?844年2月20日一1906年9月5日），奧地利物理學(xué)家和哲學(xué)家，是熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的奠基人之一，他發(fā)展了通過(guò)原子的性質(zhì)來(lái)解釋并預(yù)測(cè)物質(zhì)的物理性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)，并對(duì)熱力學(xué)第二定律從統(tǒng)計(jì)意義上進(jìn)行了闡述與解釋。1869年，他通過(guò)將麥克斯韋速度分布律推廣到保守力作用下的情況，得到了玻爾茲曼能量分布律。

玻爾茲曼能量分布律一般適用于處于平衡狀態(tài)氣體中的分子、原子。當(dāng)粒子問(wèn)的相互作用力可以微小到忽略不計(jì)時(shí)，液體、固體中的很多粒子同樣適用玻爾茲曼能量分布律。因?yàn)槠淠苊枋鲈诒Ｊ亓?chǎng)（如重力場(chǎng)）處于熱平衡狀態(tài)下的氣體按能量分布的規(guī)律，所以我們可以利用該分布律導(dǎo)出不同海拔高度和氣體分子密度（濃度）之間的關(guān)系。

利用玻爾茲曼能量分布律對(duì)不同海拔下的氧氣/空氣分子密度的計(jì)算，為本文中不同海拔下氧氣濃度的模型提供了理論基礎(chǔ)。在本文中，我們將會(huì)利用玻爾茲曼能量分布律計(jì)算不同海拔下的空氣中氧氣濃度，并和實(shí)際測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，同時(shí)探索實(shí)踐意義。

1玻爾茲曼分布律

一個(gè)物理系統(tǒng)內(nèi)分子和原子運(yùn)動(dòng)造成了這個(gè)物理系統(tǒng)的溫度變化。對(duì)于包含大量粒子的物理系統(tǒng)，麥克斯韋速度分布律很好地描述了這個(gè)系統(tǒng)里處于特定速度范圍內(nèi)的粒子數(shù)量。然而，當(dāng)理想氣體體系處于保守力場(chǎng)中，其氣體分子的空間分布將會(huì)不均勻。玻爾茲曼分布律描述了處于熱平衡和保守立場(chǎng)的理想氣體體系在空間和速率上的分布

玻爾茲曼分布律是一個(gè)普遍的規(guī)律，當(dāng)粒子間的相互作用力可以微小到忽略不計(jì)時(shí)，處于平衡狀態(tài)氣體中的分子、原子都適用玻爾茲曼能量分布律。因?yàn)槠淠苊枋鲈诒Ｊ亓?chǎng)（如重力場(chǎng)）處于熱平衡狀態(tài)下的氣體按能量分布的規(guī)律，所以我們可以利用該分布律導(dǎo)出不同海拔高度和氣體分子體積密度之間的關(guān)系。

為參考位置的分子數(shù)量，在本文中設(shè)為海平面處的特定分子的數(shù)量，對(duì)分子運(yùn)動(dòng)速度進(jìn)行積分，得所以在單位體積內(nèi)的分子數(shù)量為

由此，我們可以得出在重力場(chǎng)中，單位體積氣體分子數(shù)與海拔高度的分布規(guī)律。

2利用玻爾茲曼分布律對(duì)不同海拔下氧氣濃度的計(jì)算

由玻爾茲曼分布律可知單位體積內(nèi)，當(dāng)海拔h升高，分子質(zhì)量m增大時(shí)，n會(huì)減小。由此可知，當(dāng)海拔升高時(shí)，單位體積內(nèi)所有的氣體分子數(shù)量將會(huì)減小，表示氣壓將會(huì)降低。而分子質(zhì)量比較大的氣體分子數(shù)將會(huì)比分子質(zhì)量小氣體分子數(shù)減小得更快，造成不同海拔下空氣的組分比例變化，為氧氣濃度的計(jì)算提供了可能。

我們可以分別計(jì)算出在海拔為h時(shí)單位體積內(nèi)的氧氣分子數(shù)量，再除以海平面處的空氣“分子”密度，即為海拔h處的氧氣濃度。

3利用MATLAB進(jìn)行計(jì)算，并得出海拔與氧氣濃度的關(guān)系圖像

根據(jù)第二節(jié)的計(jì)算方式，利用MATLAB作圖可以得到海拔與氧氣濃度關(guān)系的圖像如圖1所示。

根據(jù)圖l所示，在海拔高度0m～10000m內(nèi)隨著海拔的升高，氧氣濃度會(huì)逐漸降低。當(dāng)海拔為零時(shí)氧氣濃度大約為21%，當(dāng)達(dá)到10000m高空時(shí)，氧氣濃度降至約3.8%。

4誤差分析

根據(jù)第二節(jié)的計(jì)算過(guò)程可以得知，由于自然對(duì)數(shù)e為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，我們?cè)诠街袑?duì)于e的取值小于e本身的數(shù)值大小，因此計(jì)算值會(huì)小于真實(shí)值得到的結(jié)果；且地球的重力加速度的取值偏大，因此計(jì)算的結(jié)果會(huì)相對(duì)真實(shí)結(jié)果偏大；空氣在海拔為零處的密度偏大，結(jié)果也會(huì)大于實(shí)際結(jié)果，同時(shí)，溫度與海拔的關(guān)系相對(duì)來(lái)說(shuō)取值較為偏大，因此我們得到的整體數(shù)據(jù)對(duì)于真實(shí)情況偏大一些。比如在海拔為零處值通過(guò)計(jì)算得到為21%，而實(shí)際情況下真實(shí)濃度20.8%。再加上由于計(jì)算過(guò)程是將空氣處于理想狀態(tài)下考慮得到的結(jié)果，而在實(shí)際生活中，由于人類(lèi)活動(dòng)的影響，比如說(shuō)城市中汽車(chē)運(yùn)行要利用氧氣，同時(shí)會(huì)產(chǎn)生二氧化碳等氣體，會(huì)導(dǎo)致結(jié)算的結(jié)果大于真實(shí)數(shù)據(jù)，再例如在森林等植被覆蓋較多的地區(qū)，由于光合作用的影響，氧氣濃度相對(duì)于結(jié)算結(jié)果偏高。再比如夏天由于太陽(yáng)照射的影響，近地面溫度偏高，近地面的空氣上升導(dǎo)致近地面氧氣濃度比正常值低。因此運(yùn)用我們的計(jì)算得到的氧氣濃度相對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中氧氣濃度存在一定量的誤差。

5計(jì)算結(jié)果對(duì)實(shí)際的意義

實(shí)際生活中，有些工作人員以及普通游客會(huì)處于高海拔地區(qū)，比如去登山的游客、飛行員、跳傘運(yùn)動(dòng)員等，他們所處于的地區(qū)相對(duì)于低海拔地區(qū)的人來(lái)說(shuō)，空氣中氧氣濃度更低，在氧氣濃度為19.5%～23.5%之間時(shí)，屬于正常濃度，對(duì)人幾乎沒(méi)有什么影響。當(dāng)濃度處于19%時(shí)，會(huì)影響人的工作效率，甚至對(duì)人體頭部、肺部以及全身循環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生一定影響。當(dāng)氧氣濃度處于14%～19%之間時(shí)，會(huì)使人呼吸急促、脈搏加快協(xié)調(diào)能力和感知判斷力降低。當(dāng)氧氣濃度降低到10%～12%時(shí)，人們會(huì)出現(xiàn)呼吸急促，判斷力喪失、嘴唇發(fā)紫等。當(dāng)氧氣濃度降低到8%～10%時(shí)，會(huì)使人智力喪失、昏厥、無(wú)意識(shí)、臉色蒼白，惡心嘔吐等。而當(dāng)氧氣濃度降低到6%～8%時(shí)大于等于8min，人100%死亡；6min，50%可能死亡；4min～5min，可能恢復(fù)。而當(dāng)氧氣濃度低于6%時(shí)，40s后，人會(huì)昏迷、抽搐，呼吸停止，死亡。氧氣濃度過(guò)低時(shí)對(duì)人類(lèi)的影響很大，因此，計(jì)算得到的結(jié)果雖然與實(shí)際情況存在誤差，但可以反映出不同海拔下氧氣濃度的大致情況，以便于人們?cè)诟吆０蔚貐^(qū)作業(yè)、游玩時(shí)做到適度的防備。

6結(jié)論

在本文中，我們通過(guò)利用玻爾茲曼能量分布律對(duì)不同海拔下氧氣濃度進(jìn)行了計(jì)算，由之前的計(jì)算結(jié)果可以得知，利用這種方法計(jì)算與實(shí)際情況的偏差不會(huì)很大，最主要的誤差原因是低海拔下人類(lèi)的活動(dòng)。本文的計(jì)算方法，能夠相對(duì)方便的計(jì)算出較高海拔下的氧氣濃度，與利用氫氣球?qū)嶋H測(cè)量等測(cè)量方式相比，本文方法成本相對(duì)較低、計(jì)算方式簡(jiǎn)單快捷，而且不需要?jiǎng)佑檬謴?fù)雜的儀器，因此，本文所介紹的計(jì)算不同海拔下氧氣濃度的方法值得推廣。endprint