周立平

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一類廣義代數(shù)Riccati方程的數(shù)值求解算法

周立平

（湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州 425199）

廣義代數(shù)Riccati方程的數(shù)值方法在非穩(wěn)定系統(tǒng)模型降階，濾波和動(dòng)力系統(tǒng)控制中有十分重要的作用。本文基于牛頓迭代法設(shè)計(jì)了一種求解代數(shù)Riccati方程的預(yù)條件共軛算法，數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法具有良好的收斂性。

代數(shù)Riccati方程；牛頓迭代法；預(yù)條件共軛梯度法

1　引　言

本文旨在研究如下一類廣義代數(shù) Riccati 方程(ARE)的數(shù)值解：

ARE(1.1)的求解在非穩(wěn)定系統(tǒng)模型降階，濾波，線性二次校正問(wèn)題和動(dòng)力系統(tǒng)控制中有十分重要的作用。ARE（1.1）是二次矩陣方程，且是非線性的，在一定條件下，ARE(1.1)具有唯一的半正定解[1]。

目前，對(duì)ARE進(jìn)行數(shù)值求解大多是在Newton迭代法框架下進(jìn)行。如Chandrasekhar迭代法[3,4]和NM-Kleinman 迭代法[5,6]等，它們的主要思想是將二次方程線性化后再求解. 為給出Peter Benner等人在文[7]中給出了低秩Newton Cholesky因子法(LRCF-NM)和低秩Newton Galekin-ADI 方法(LRCF-NM-GP-ADI)。PFADI

基于Newton迭代法框架求解ARE(1.1)，通常會(huì)導(dǎo)出一系列Lyapunov方程。因此，針對(duì)這些Lyapunov方程的高效穩(wěn)定算法成為求解ARE（1.1）的關(guān)鍵。目前，已有一系列研究成果[8,9]。最近，Lin與V.Simoncini在文[10]中提出了基于最小殘差法（MINRES）求解大規(guī)模Lyapunov 方程的方法。受此啟發(fā)，本文將在Newton迭代法框架下，結(jié)合MINRES方法和預(yù)條件共軛最小二乘法(PCGLS)求解Lyapunov方程，進(jìn)而得到ARE（1.1）的數(shù)值解。

2　基于Newton 迭代的預(yù)條件共軛梯度法

算法2.1

不失一般性，去掉方程（2.）的各項(xiàng)下標(biāo)，得到如下一般形式的(廣義)Lyapunov方程

對(duì)于方程(2.2)，現(xiàn)在最常用的方法是Krylov子空間方法[12-14]。本文取一種簡(jiǎn)單Krylov子空間為

(2.3)

注意到方程(2.3)的解其實(shí)質(zhì)就是使殘差范數(shù)最小，設(shè)方程(2.3)的近似解為，則它可作為如下優(yōu)化問(wèn)題的解

引入算子

，

則(2.4)等價(jià)為

對(duì)于方程(2.5)，為加快收斂速度，本文采用采用預(yù)條件共軛梯度最小二乘方法(PCGLS)求(2.5)的解。事實(shí)上，利用拉直算子可將(2.5)化為矩陣-向量方程形式，但為了避免計(jì)算結(jié)束時(shí)再次對(duì)向量形式的解進(jìn)行轉(zhuǎn)換，我們直接使用其矩陣-矩陣形式。記算子的伴隨算子為，則。記預(yù)條件子為，求解 (2.5) 的PCGLS算法[10]。可描述如下：

算法 2.2

需要指出的是，布爾量flag用于標(biāo)記Krylov 子空間的基是否能滿足算法 2.2的收斂性要求。

結(jié)合算法2.1和2.2，我們得到了如下求解ARE(1.1)的基于最小殘差的預(yù)條件共軛最小二乘牛頓迭代算法。

算法 2.3

3　數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面我們將給出運(yùn)用算法2.3求解ARE(1.1)的實(shí)例。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，取ARE(1.1)中為單位矩陣?？疾烊缦露S拋物型偏微分方程

調(diào)用Lyapack 軟件包[2]中的子程序fdm_matrix和fdm_vector對(duì)方程 (5.1) 運(yùn)用有限差分法進(jìn)行離散化后生成的網(wǎng)格矩陣..

因此，可取算子M滿足

.

模型（3.1）的數(shù)值結(jié)果如下：

階數(shù)殘差向量范數(shù)迭代次數(shù) 328.2952e-0123 641.0045e-0117 1287.6582-01112

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（責(zé)任編校：何俊華）

2017－03－20

湖南省教育廳資助科研項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)12C0688）。

周立平（1978－），男，湖南永州人，副教授，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)值代數(shù)和偏微分方程數(shù)值解。

O241.6/O151.21

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1673-2219（2017）06-0001-04