張志鑫 楊緒龍 徐賽梅 朱云武 任楠楠

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Allan方差在互感器精度評測中的應(yīng)用研究

張志鑫1楊緒龍2徐賽梅2朱云武2任楠楠1

（1. 北京航天時代光電科技有限公司，北京 100094； 2. 云南電網(wǎng)公司楚雄供電局，云南楚雄 675000）

按照與一次輸入信號的相關(guān)性，可將噪聲分為兩大類，即與一次輸入相關(guān)的乘性噪聲和與一次輸入無關(guān)的加性噪聲。本文在互感器精度評測中引入Allan方差分析法，充分發(fā)揮Allan方差在隨機(jī)誤差辨識方面的性能，實現(xiàn)了互感器乘性噪聲和加性噪聲的分離，數(shù)據(jù)仿真結(jié)果證明了方法的有效性。

互感器；乘性噪聲；加性噪聲；比差；Allan方差

互感器在傳變一次信號、信號傳輸、數(shù)據(jù)處理的過程中，不可避免的會引入噪聲干擾。其中，加性噪聲包含可建模補(bǔ)償?shù)牧阄灰约皼]有固定模型的隨機(jī)噪聲，隨機(jī)噪聲表現(xiàn)為測量值圍繞真實值的上下波動，其圍繞真實值的波動的范圍與一次輸入信號無關(guān)，可用隨機(jī)噪聲的方差描述；而乘性噪聲則表現(xiàn)為測量值偏離真實值的趨勢項，是影響互感器性能指標(biāo)的關(guān)鍵，對互感器在電能計量和繼電保護(hù)中的應(yīng)用帶來潛在的風(fēng)險和隱患。

目前，互感器精度評測方法無法準(zhǔn)確區(qū)分乘性噪聲和加性噪聲。本文中采用Allan方差分析法，應(yīng)用在互感器精度評測中。

1 精度評測中的噪聲項

研究兩類噪聲信號，當(dāng)一次側(cè)輸入信號有效值為in時，互感器的輸出有效值可表示為

式中，0為乘性噪聲信號；1為加性噪聲信號，互感器的零位已經(jīng)過標(biāo)定扣除。

由標(biāo)準(zhǔn)GB/T 20840.8—2007中互感器比差的計算方法可得[1]

式中，A為比差測量值，（-1）為比差真實值；0為乘性噪聲引起的比差測量誤差，表現(xiàn)為比差測量值的趨勢項；1/in為加性噪聲引起的比差測量誤差，表現(xiàn)為比差測量值圍繞真實值的上下波動。

2 Allan方差法分離噪聲項

Allan方差法的主要特點是能夠比較容易地對各種誤差源及其對整個噪聲統(tǒng)計特性進(jìn)行細(xì)致地表征和辨識，而且便于計算、易于分離。

Allan方差的定義如式（3）所示[2-4]。

對于數(shù)據(jù)的間隔時間為0的比差測量值數(shù)據(jù)A()（=1,2,…,）的Allan方差計算步驟如下[5-6]：

1）對數(shù)據(jù)進(jìn)行二次采樣，采樣時間為=0，分別取等于0, 20, …,0（＜/2，求出每一時間長度為的數(shù)組平均值，即

對數(shù)組平均值求差，即

（5）

2）計算相關(guān)時間時的Allan方差，即

3）取不同的相關(guān)時間，重復(fù)步驟1至步驟3，可得()與的雙對數(shù)坐標(biāo)曲線，該曲線稱為Allan方差曲線，如圖1所示。

圖1 Allan方差曲線

圖1中，量化噪聲、比差隨機(jī)游走、馬爾可夫噪聲、正弦噪聲與一次輸入信號無關(guān)，共同構(gòu)成了精度評測中的加性噪聲部分；比差趨勢項隨機(jī)游走、比差趨勢項噪聲與一次輸入信號有關(guān)，共同構(gòu)成了精度評測中的乘性噪聲部分。圖1中斜率為0的部分為噪聲項分離之后的比差不確定度。

在互感器精度評測中，采用Allan方差法，可方便地獲取互感器的加性噪聲方差、乘性噪聲方差以及比差真實值的方差（不確定度），為全面評測互感器的性能指標(biāo)提供了數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

3 仿真分析

無噪聲信號=6sin(2p50)的波形如圖2所示。

圖2 無噪聲50Hz信號

在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了50Hz正弦信號與加性噪聲疊加信號、50Hz正弦信號與乘性噪聲疊加信號、50Hz正弦信號與乘性噪聲和加性噪聲疊加信號等仿真數(shù)據(jù)，并采用Allan方差法進(jìn)行不同種類噪聲的分離。

3.1 50Hz正弦信號與加性噪聲疊加

50Hz正弦信號與均值為0正態(tài)分布的加性噪聲疊加如式（7）所示。時域波形如圖3所示。

圖3 時域波形

式中，加性噪聲1()的概率密度函數(shù)滿足

（8）

每10個周波（200ms）計算一次比差測量值，結(jié)果如圖4所示。

比差測量值的Allan方差如圖5所示。

圖5表明，比差測量值中只含有比差隨機(jī)游走等加性噪聲，不含趨勢項噪聲和趨勢項隨機(jī)游走等乘性噪聲。圖5中Allan方差模型可表示為

圖4 比差測量值

圖5 比差測量值的Allan方差

式中，當(dāng)=-1時，由最小二乘法計算可得比差隨機(jī)游走，即

圖5中，加性噪聲Allan方差不超過4%（1），代表了圖4中比差測量值縱軸的波動范圍。隨著相關(guān)時間的延長，加性噪聲對比差測量值的影響逐漸減小，因此，可通過對比差測量值取平均的方法剔除加性噪聲的影響，圖5中，取50s比差測量值的平均值可使加性噪聲的影響不超過0.1%（1）。

3.2 50Hz正弦信號與乘性噪聲疊加

50Hz正弦信號與幅值線性變化的乘性噪聲疊加如式（10）所示。時域波形如圖6所示。

每10個周波（200ms）計算一次比差測量值，結(jié)果如圖7所示。

比差測量值的Allan方差如圖8所示。

圖8表明，比差測量值中不含量化噪聲、比差隨機(jī)游走等加性噪聲，只含趨勢項噪聲和趨勢項隨機(jī)游走等乘性噪聲。由于趨勢項的存在，導(dǎo)致比差測量值與真實值的偏離隨時間逐漸增加，如圖7所示。

圖6 時域波形

圖7 比差測量值

圖8 比差測量值的Allan方差

3.3 50Hz正弦信號與乘性噪聲和加性噪聲疊加

50Hz正弦信號與幅值線性變化的乘性噪聲和均值為0正態(tài)分布的加性噪聲疊加如式（11）所示。時域波形如圖9所示。

圖9 時域波形

每10個周波（200ms）計算一次比差測量值，結(jié)果如圖10所示。

圖10 比差測量值

比差測量值的Allan方差如圖11所示。

圖11 比差測量值的Allan方差

圖11中，比差測量值既含有加性噪聲又含有乘性噪聲。其中加性噪聲的Allan方差不超過0.4%，代表了圖10中比差測量值的波動范圍（1）；乘性噪聲反映了圖10中比差測量值隨時間偏離比差真實值的情況。

50Hz正弦信號與幅值曲線變化的乘性噪聲和均值為0正態(tài)分布的加性噪聲疊加如式（12）所示。時域波形如圖12所示。

圖12 時域波形

每10個周波（200ms）計算一次比差測量值，結(jié)果如圖13所示。

圖13 比差測量值

比差測量值的Allan方差如圖14所示。

圖14 比差測量值的Allan方差

圖14中，比差測量值既含有加性噪聲又含有乘性噪聲。其中加性噪聲的Allan方差不超過0.4%，代表了圖13中比差測量值的波動范圍（1）；乘性噪聲反映了圖13中比差測量值的曲線變化趨勢。

4 結(jié)論

互感器精度評測中比差測量值的總誤差由乘性噪聲引起的誤差和加性噪聲引起的誤差構(gòu)成。一文在互感器精度評測中引入Allan方差分析法，試驗中充分發(fā)揮Allan方差在隨機(jī)誤差辨識方面的性能，數(shù)據(jù)仿真結(jié)果實現(xiàn)了互感器乘性噪聲和加性噪聲的分離。

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Research on the Application of Allan Variance in the Accuracy Evaluation of Transformer

Zhang Zhixin1Yang Xulong2Xu Saimei2Zhu Yunwu2Ren Nannan1

(1. Beijing Aerospace Times Optical-electronic Technology Co., Ltd, Beijing 100094; 2. Chuxiong Power Supply Bureau of Yunnan Power Grid Corporation, Chuxiong, Yunnan 675000)

According to the correlation with primary signal, the noise can be divided into two categories: multiplicative noise that is correlated with primary signal and additive noise that is independent of primary signal. A method based on Allan variance is presented in this article. Multiplicative noise and additive noise of transformer are separated by the method. The effectiveness of the method is verified by the results of computer simulation.

transformer; multiplicative noise; additive noise; ratio error; allan variance

張志鑫（1964-），男，工學(xué)碩士，研究員，主要研究方向為光學(xué)傳感技術(shù)的理論研究和工程應(yīng)用。