曹鵬飛，孫 俞，賀波勇，李海陽

地月L2點Halo軌道支持的登月軌道優(yōu)化設計

曹鵬飛，孫 俞，賀波勇，李海陽?

（國防科學技術大學航天科學與工程學院，長沙410073）

針對低成本月球探測任務軌道設計問題，基于不變流形提出了地月L2點Halo軌道支持的登月方案，并研究了軌道優(yōu)化設計方法。建立了3脈沖從近地停泊軌道（LEO）到環(huán)月軌道（LLO）的不變流形轉(zhuǎn)移軌道數(shù)學模型；設計了全局遍歷初值搜索和局部梯度優(yōu)化的串行優(yōu)化設計方法，并采用圓型限制性三體模型（CR3BP）優(yōu)化了一條從LEO出發(fā)，通過穩(wěn)定流形軌道、地月L2點Halo軌道、不穩(wěn)定流形軌道，最終抵達LLO的燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道；給出了仿真實例，仿真結(jié)果驗證了文章所述方法的正確性。研究結(jié)論可為未來低成本地月轉(zhuǎn)移或Halo軌道空間站支持的登月方案提供參考。

地月轉(zhuǎn)移軌道；地月L2點；Halo軌道；不變流形；優(yōu)化設計

Abstract：The derived invariant manifold of Halo orbits near the collinear liberation points is known for the low energy consumption in deep space exploration missions.In this paper，a lunar landing scheme based on Halo orbit near L2 point of Earth-Moon system was proposed and the design optimization was discussed.Firstly，a mathematical model of trans-lunar trajectory based on invariant manifold from low earth orbit（LEO） to low lunar orbit（LLO） with 3 impulses was established.Then，a serial optimization method including the global traversal initial value search and the local gradient optimization was designed.A trans-lunar trajectory with the advantage of optimal fuel consumption departure from LEO through the stable manifold， Halo orbit near L2 of Earth-Moon， unstable manifold，and final arrival to LLO was obtained by optimization with the application of CR3BP.The reliability of the method was verified by the simulation data.The conclusions can serve as a reference for the design of the low-cost trans-lunar trajectory and the lunar landing based on the space station parking in Halo orbit near L2 of Earth-Moon in the future.

Key words：trans-lunar trajectory； Earth-Moon L2 point； Halo orbit； invariant manifold； trajectory optimization

1 引言

圓型限制性三體問題模型（Circle Restricted 3 Body Problem，CR3BP）中平動點Halo軌道及其衍生的不變流形軌道因其低能耗特性在月球及深空探測任務中備受青睞［1］。早在1972年，F(xiàn)arquhar就提出了地月L2點Halo軌道上航天器對月球探測的重要支持作用［2］。 Lo［3-4］、龔勝平［5］等研究發(fā)現(xiàn)了由Halo軌道衍生的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形拼接的空間轉(zhuǎn)移軌道幾乎不消耗任何能量。 Gomez［6］、Howell［7-8］等利用不變流形理論設計了近地停泊軌道（Low Earth Orbit，LEO）出發(fā)到日地系統(tǒng)L1、L2點Halo軌道的轉(zhuǎn)移軌道。2011年，我國嫦娥二號衛(wèi)星成功抵達日地L2點附近，進行了平動點軌道技術初步驗證，引發(fā)了國內(nèi)不變流形軌道研究熱潮。 龔勝平［5］、李明濤［9］、喬棟［10］、侯 錫 云［11］、 張 躍 東［12］、 連 一 君［13］、 錢 霙婧［14］、張景瑞［15］等分別從不同角度研究了平動點附近軌道及其特性。

上世紀60年代，美國Apollo載人登月工程利用Saturn-V火箭進行地月快速直接轉(zhuǎn)移，耗資高、安全性低［16］。 隨著月球南極水冰的發(fā)現(xiàn)［17-19］，各航天大國開始了新一輪低成本月球探測熱潮。我國玉兔號探測器成功對月球虹灣地區(qū)進行了為期3個月探測，嫦娥五號試驗飛行自由返回繞月軌道，并高速半彈道跳躍式再入返回、高精度定點著陸，為探月“繞、落、回”三步走最后一步采樣返回奠定良好技術基礎［20］。

針對低成本月球探測任務軌道設計問題，本文基于不變流形提出一種地月L2點Halo軌道支持的登月方案，以期比直接快速轉(zhuǎn)移方案［23］更低能耗優(yōu)勢，同時比基于月球借力的Halo軌道轉(zhuǎn)移方案［9-15］更安全和普適。具體是采用全局遍歷初值搜索和局部梯度優(yōu)化的串行優(yōu)化方法，利用Halo軌道衍生穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形設計，從LEO出發(fā)到達LLO的燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道。并通過仿真實例驗證方法的合理性與正確性。

2 動力學模型

2.1 坐標系及動力學方程

本文所選用的動力學模型為圓型限制性三體模型，即在一個三體系統(tǒng)中，假設質(zhì)量分別為M1和M2的大天體P1和P2繞其公共質(zhì)心O做角速度為ω勻速圓周運動，質(zhì)量為m的小天體P在P1和P2的引力下的運動，三個天體的質(zhì)量關系為m遠小于M1和M2，且M1＞M2，即P對P1和P2的運動影響可忽略不計。

在圓型限制性三體模型中，常用的坐標系為質(zhì)心旋轉(zhuǎn)會合坐標系，原點位于兩大天體P1和P2的公共質(zhì)心O，x軸由大天體P1指向次天體P2，z軸指向系統(tǒng)的角動量方向，y軸與x和z成右手坐標系。

引入歸一化單位，令長度單位為P1和P2質(zhì)心間的距離，質(zhì)量單位為M1、M2之和，P1和P2相對運動周期為2π?？紤]歸一化單位時，萬有引力常數(shù)G和角速度ω的值為1。引入質(zhì)量比μ如式（1）：

在歸一化單位下，第三小天體P在會合坐標系中動力學方程為式（2）：

其中，U為與位置相關的偽勢能函數(shù)，如式（3）：

式中：2

2.2 Halo軌道及狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

共線平動點附近運動具有不穩(wěn)定性，但存在周期軌道—Halo軌道或稱暈軌道，為平動點附近航天器最常用的軌道［1］。Richardson利用Lindstedt-Poincare攝動分析法給出了Halo軌道的三階近似解析解［21］，但以此為初值積分得到的軌道很快就發(fā)散。對于高精度任務，為了得到完整的Halo軌道，需對三階近似解析解進行微分修正［22］。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ（t，t0）用于反映狀態(tài)的發(fā)散程度，描述初始小擾動隨時間的傳播變化，如式（6）。

式（6）中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的初值為單位陣。CR3BP模型中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足式（7）所示微分方程。

式中： Φ（t，t0） ＝ I6，A（t） 為非線性系統(tǒng)的雅可比矩陣，滿足式（8）。

式中Uij是U關于坐標的二階導數(shù)，聯(lián)立求解式（7）和（8）可確定任意時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

2.3 不變流形的計算

把Halo軌道離散為不動點［24］，求解不動點處的單值矩陣Φ（T，0），即一個Halo軌道周期后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。每一個不動點處的Φ（T，0）存在三對乘積為1的特征值：λu＞1為不穩(wěn)定特征值，對應不穩(wěn)定特征向量Vu；λs＜1為穩(wěn)定特征值，對應穩(wěn)定特征向量Vs；一對互為共軛的復數(shù)特征值和一對值為1的特征值。在不動點處施加一個小擾動可得不變流形的積分初值，代入原方程積分即可得到不變流形。

對不穩(wěn)定流形有式（9）：

對穩(wěn)定流形有式（10）：

式中：X0為不動點狀態(tài)量；d為擾動變量。對于地月系統(tǒng)，為了滿足方程線性d一般取30～70 km。

3 地月轉(zhuǎn)移軌道設計

3.1 基于L2點不變流形的地月轉(zhuǎn)移軌道設計

基于不變流形理論和三脈沖變軌策略（還有兩次變軌沖量非常小，予以忽略），用優(yōu)化算法設計一條從LEO出發(fā)，通過穩(wěn)定流形軌道、地月L2點Halo軌道、不穩(wěn)定流形軌道，最終抵達LLO的燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道，如圖1所示。其中編號的位置為變軌點，1為LEO逃逸點，2為穩(wěn)定流形軌道入軌點，3為Halo軌道入軌點，4為Halo軌道逃逸點，5為LLO捕獲點。

航天器從Halo軌道出發(fā)，沿不穩(wěn)定流形奔向LLO的過程幾乎不消耗任何燃料，應重點優(yōu)化設計LEO出發(fā)到達Halo軌道的轉(zhuǎn)移軌道。文獻［9］和［15］針對LEO出發(fā)到達小幅值Halo軌道的轉(zhuǎn)移問題，基于不變流形提出了月球借力轉(zhuǎn)移方案，相比圖1所示方案，節(jié)省了一定燃料。然而，對于大幅值Halo軌道轉(zhuǎn)移問題，由于穩(wěn)定流形軌道近月點處的軌道面與白道面夾角較大，月球借力效果不再明顯，而本文所述方案仍可適用。

圖1 完整的地月轉(zhuǎn)移軌道Fig.1 The integrated transfer trajectory from parking orbit of Earth to parking orbit of Moon

3.2 LEO到穩(wěn)定流形的轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化設計

地月系統(tǒng)L2點Halo軌道不變流形距離地球遠，增加了LEO到穩(wěn)定流形轉(zhuǎn)移軌道的設計難度。本文基于逆向積分方法，提出一種全局遍歷初值搜索和局部梯度優(yōu)化的串行優(yōu)化設計方案，詳細流程如圖2所示。

圖2 串行優(yōu)化算法流程圖Fig.2 Flow chart of serial optimization algorithm

第一步：尋找目標穩(wěn)定流形。找出可逆推到地球一側(cè)的穩(wěn)定流形族，如圖3所示，以與地球質(zhì)心距離最短為約束條件，選出最佳的作為目標流形。

第二步：全局遍歷搜索初值。遍歷目標流形，并對每一點進行速度沖量尋優(yōu)。設計變量為ΔV的三個分量，目標函數(shù)為最小，約束條件為施加脈沖逆推得到的軌道能達到近地附近。仿真中發(fā)現(xiàn)，結(jié)果對分量ΔVy很敏感而對ΔVx和ΔVz不敏感。為了提高計算效率，將ΔVx和ΔVz設為0，只保留ΔVy一個優(yōu)化變量，得到的最佳變軌位置Xsubopt和最佳速度沖量 ΔVsubopt為全局次優(yōu)解。

第三步，對變軌位置與速度沖量局部尋最優(yōu)。遍歷時，由全局縮小為Xsubopt附近，優(yōu)化變量為ΔV的三個分量，初值設為ΔVsubopt，約束條件不變。得到的最佳變軌位置Xopt和最佳速度沖量ΔVopt為全局最優(yōu)解。

圖3 可抵達地球一側(cè)地月L2點Halo軌道穩(wěn)定流形族Fig.3 The stable manifold of L2 Halo orbit which can get to the Earth

3.3 不穩(wěn)定流形到LLO的轉(zhuǎn)移軌道設計

地月系統(tǒng)中，L2點Halo軌道不穩(wěn)定流形能直接抵達近月附近，如圖4所示。當LLO高度給定時，遍歷Halo軌道不動點衍生出的不穩(wěn)定流形，總能找到一條從Halo軌道出發(fā)與給定高度的LLO相交的不穩(wěn)定流形軌道，依此可以實現(xiàn)Halo軌道到LLO的轉(zhuǎn)移。

4 算例驗證

給出算例，參數(shù)設置同文獻［23］：Halo軌道法向幅值為10 000 km；LEO高度為185 km；LLO高度為200 km；歸一化單位：長度單位為1 DU＝384 400 km，速度單位為1 VU＝1.024 458 156 km／s。采用本文所述優(yōu)化設計方法，設計一條從LEO出發(fā)，通過穩(wěn)定流形軌道、地月L2點Halo軌道、不穩(wěn)定流形軌道，最終抵達LLO的燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道。

圖4 地月L2點可到達近月的Halo軌道不穩(wěn)定流形族Fig.4 The unstable manifold of L2 Halo orbit which can get to the Moon

4.1 LEO到穩(wěn)定流形的轉(zhuǎn)移

從圖3所示穩(wěn)定流形族中，選出目標流形，其對應的不動點位置信息為X0＝［1.116 581 81-0.000 518 70 0.022 614 24］T。全局遍歷單變量尋優(yōu)，得到的次優(yōu)變軌位置為Xsubopt＝［0．900 878 70-0．010 845 52-0．017 299 91］T，相 應 次 優(yōu) 速 度 沖 量 為 ΔVsubopt＝［0-0．547 557 98 0］T。

此時 ΔVsubopt＝0．547 557 98， LEO 到穩(wěn)定流形的次優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道如圖5所示，圓圈標注位置距離地球表面185 km，為逃逸點。

圖5 LEO到穩(wěn)定流形的次優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道Fig.5 The suboptimal transfer trajectory from parking orbit of the Earth to the stable manifold

在上一步的基礎上進行局部遍歷三變量尋優(yōu)。如圖6所示，為尋優(yōu)過程中不同變軌位置時的最優(yōu)速度沖量曲線，橫坐標表示變軌位置，縱坐標表示最優(yōu)速度沖量的模。

圖6 不同變軌位置時的速度增量曲線Fig.6 Speed increment curve for different points where the speed impulse is applied

由于逆推時間相同，對比圖7與圖5可知：最優(yōu)轉(zhuǎn)移方案有節(jié)省燃料、轉(zhuǎn)移時間較短的優(yōu)勢。

圖7 LEO到穩(wěn)定流形的最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道Fig.7 The optimal transfer trajectory from parking orbit of the Earth to the stable manifold

4.2 完整地月轉(zhuǎn)移軌道

采用遍歷搜索得到L2點Halo軌道衍生的能達到近月200 km的不穩(wěn)定流形軌道。拼接LEO到目標穩(wěn)定流形最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道、穩(wěn)定流形軌道、Halo軌道、不穩(wěn)定流形軌道，可得到完整的地月轉(zhuǎn)移軌道，如上文圖1所示。各變軌點位置、速度沖量以及各階段運行時間信息如表1所示。

表1 變軌點信息Table 1 Information of the maneuvering points

整個地月轉(zhuǎn)移過程中，總的速度沖量消耗為4.298 530 73 km／s，轉(zhuǎn)移時間為 46.6 800 d。 其中，LEO到L2點Halo軌道的轉(zhuǎn)移過程中，速度沖量消耗為 3.672 005 07 km／s，轉(zhuǎn)移時間為21.4 453 d。與文獻［23］中直接快速轉(zhuǎn)移到L2點Halo軌道方案相對比，本文的優(yōu)化設計方案節(jié)省了約500 m／s的速度沖量，相應的轉(zhuǎn)移時間增加了約15 d。

5 結(jié)論

本文提出了地月L2點Halo軌道支持的低能耗地月轉(zhuǎn)移方案，采用了全局遍歷初值搜索和局部梯度優(yōu)化的串行優(yōu)化方法，利用Halo軌道衍生穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形設計了從LEO到LLO的最小能耗轉(zhuǎn)移軌道。

1）LEO到穩(wěn)定流形的轉(zhuǎn)移過程，能耗約占總能耗85%，為軌道優(yōu)化設計的重要階段，采用全局遍歷初值搜索和局部梯度優(yōu)化的串行優(yōu)化方法，能同時避免陷入局部最優(yōu)和提高運算效率。

2）基于不變流形設計的地月轉(zhuǎn)移軌道具有省能量、耗時長的特點，可用作一些載荷大和對時間要求不高的任務。

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（責任編輯：龍晉偉）

Trans-lunar Trajectory Optimization Based on Earth-Moon L2 Halo Orbits

CAO Pengfei， SUN Yu， HE Boyong， LI Haiyang?
（College of Aerospace Science and Engineering， National University of Defense Technology， Changsha 410073， China）

V412.4

A

1674-5825（2017）05-0602-06

2016-08-05；

2017-07-25

國家自然科學基金（11372345）

曹鵬飛，男，碩士研究生，研究方向為月球及深空探測技術。E-mail：caopengfei_nudt＠163.com

?通訊作者：李海陽，男，博士，教授，研究方向為載人航天系統(tǒng)分析與仿真。E-mail：lihaiyang＠nudt.edu.cn