邊少鋒，李厚樸，李忠美

海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系，湖北 武漢 430033

地圖投影計(jì)算機(jī)代數(shù)分析研究進(jìn)展

邊少鋒，李厚樸，李忠美

海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系，湖北 武漢 430033

地圖投影是現(xiàn)代地圖學(xué)的重要組成部分，涉及大量的橢圓函數(shù)冪級數(shù)展開、隱函數(shù)復(fù)合函數(shù)微分、橢圓積分、復(fù)變函數(shù)運(yùn)算等一系列煩瑣的數(shù)學(xué)分析過程，人工推導(dǎo)不但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且容易出錯(cuò)，有時(shí)由于難以忍受的復(fù)雜性等各種原因，甚至根本無法實(shí)現(xiàn)。本文主要從橢球各緯度間正反解符號表達(dá)式、不同變形性質(zhì)地圖投影間的直接變換、高斯投影的復(fù)變函數(shù)表示、斜軸墨卡托投影數(shù)學(xué)分析、極區(qū)海圖投影及變換等5個(gè)方面，論述了地圖投影計(jì)算機(jī)代數(shù)分析取得的研究進(jìn)展，討論了該領(lǐng)域有待進(jìn)一步解決的主要問題，對推動(dòng)地圖投影學(xué)的發(fā)展具有積極意義。

地圖投影；投影變換；高斯投影；極區(qū)投影；計(jì)算機(jī)代數(shù)

地圖作為信息的載體，是描述地球和研究復(fù)雜地理現(xiàn)象的最有效、最直觀的工具，它以科學(xué)的符號系統(tǒng)、地圖投影和綜合方法表達(dá)復(fù)雜地理世界的空間結(jié)構(gòu)和空間關(guān)系，是人類文明史上的偉大創(chuàng)想[1-3]。地球曲面和地圖平面之間的矛盾構(gòu)成了地圖最基本的矛盾，解決這一矛盾的數(shù)學(xué)法則構(gòu)成了地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這是地圖最基本的特性之一，是地圖科學(xué)性和精確性的重要體現(xiàn)。地圖所采用的特殊數(shù)學(xué)法則便是地圖投影。

地圖投影學(xué)也稱為數(shù)學(xué)制圖學(xué)，是研究將地球橢球面(或球面)描寫到地圖平面上，建立地圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一門科學(xué)，它在地圖制作和應(yīng)用中起著“基礎(chǔ)”和“骨架”作用，是地圖編制前首要考慮的問題，同時(shí)它又是現(xiàn)代地圖學(xué)的重要組成部分[4-7]。地圖投影是地圖的空間數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是地圖學(xué)的理論基礎(chǔ)，是空間信息處理、傳輸和解譯各個(gè)階段必不可少的工具，其相關(guān)理論和方法在地圖制圖[8]、地理信息系統(tǒng)[9-10]、空間分析[11]、遙感制圖[12]、大地測量[13]、航海導(dǎo)航[14]等領(lǐng)域中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。

地圖投影的實(shí)質(zhì)在于建立地球橢球面(或球面)與地圖平面上的點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系。地圖投影計(jì)算是地圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的重要組成部分，并且是相當(dāng)復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算。地圖投影需要處理涉及參考橢球的各類數(shù)學(xué)分析問題，從而不可避免地會(huì)遇到大量的橢球偏心率冪級數(shù)展開、隱函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)求取、復(fù)變函數(shù)運(yùn)算等一系列復(fù)雜的符號推導(dǎo)過程。國內(nèi)外許多著名的地圖投影學(xué)者在地圖投影正反解、地圖投影變換、海圖投影及變換方面進(jìn)行了大量深入系統(tǒng)的研究，取得了一批顯著的成果[15-36]。

值得注意的是，雖然前人對地圖投影中的數(shù)學(xué)分析問題進(jìn)行了大量的研究，并取得了豐富的研究成果，但由于歷史條件和分析手段的限制，地圖投影數(shù)學(xué)分析問題主要依靠人工推導(dǎo)完成，不僅級數(shù)展開式的次數(shù)不會(huì)很高，而且導(dǎo)出的表達(dá)式繁瑣冗長，計(jì)算效率不高；有時(shí)為了計(jì)算上的方便采取近似處理，難免會(huì)導(dǎo)致一些小的偏差，影響了計(jì)算精度；有些算法則包含復(fù)雜的迭代計(jì)算，理論分析不甚方便；還有些算法表現(xiàn)為適用于特定參考橢球的數(shù)值形式，不便于推廣應(yīng)用。因此，地圖投影數(shù)學(xué)分析問題解決得并非完美和理想。

計(jì)算機(jī)代數(shù)(computer algebra)在很多時(shí)候又被廣義地理解為“符號計(jì)算”，成為與所謂“數(shù)值計(jì)算”相對的概念。計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與數(shù)學(xué)分析和代數(shù)推導(dǎo)相結(jié)合的產(chǎn)物。計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的優(yōu)越性主要在于它能夠進(jìn)行大規(guī)模的代數(shù)運(yùn)算，在一定程度上可以使科學(xué)研究和工程技術(shù)人員從枯燥煩瑣的數(shù)學(xué)分析和代數(shù)推理中解脫出來，從而有效地提高工作效率，完成人工推導(dǎo)難以實(shí)現(xiàn)的運(yùn)算過程，同時(shí)其程序化設(shè)計(jì)可以保證結(jié)果的準(zhǔn)確性，目前流行的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)有Mathematica、Maple、Mathcad等[37]。

近年來，海軍工程大學(xué)地圖投影研究團(tuán)隊(duì)和國內(nèi)外地圖投影研究學(xué)者，利用具有嚴(yán)格解析意義的計(jì)算機(jī)代數(shù)分析方法，借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)分析能力，對地圖投影領(lǐng)域中的一些典型數(shù)學(xué)分析過程進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，推導(dǎo)和建立了一系列理論上更為嚴(yán)密、形式上更為簡單、精度上更為精確的地圖投影新公式和新算法，實(shí)現(xiàn)了地圖投影在一些具體數(shù)學(xué)分析問題上的突破和創(chuàng)新，豐富和完善了地圖投影的理論體系。本文從橢球各緯度間正反解符號表達(dá)式、不同變形性質(zhì)地圖投影間的直接變換、高斯投影的復(fù)變函數(shù)表示、斜軸墨卡托投影數(shù)學(xué)分析、極區(qū)海圖投影及變換等5個(gè)方面，對地圖投影計(jì)算機(jī)代數(shù)分析的近期研究成果進(jìn)行綜述分析，以期為國內(nèi)同行提供參考。

1 橢球各緯度間正反解符號表達(dá)式

大地緯度、地心緯度、歸化緯度、等距離緯度、等角緯度、等面積緯度是在測量和地圖學(xué)中常見的6種緯度，實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常會(huì)遇到大地緯度和5種輔助緯度間的正反解問題[38]。

地心緯度、歸化緯度與大地緯度之間存在明確的正切關(guān)系式，文獻(xiàn)[39]利用拉格朗日共軛級數(shù)將其正反解展開式表示為正弦函數(shù)倍角項(xiàng)形式，但限于人工推導(dǎo)僅展至6倍。文獻(xiàn)[40]借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)將倍角項(xiàng)擴(kuò)展至10倍，并將展開式系數(shù)統(tǒng)一表示為橢球偏心率的冪級數(shù)形式，給出了我國常用大地坐標(biāo)系下展開式的系數(shù)值，精度分析表明，歸化緯度展開式的精度優(yōu)于10-9″，地心緯度展開式的精度優(yōu)于10-8″，均較傳統(tǒng)公式提高3個(gè)數(shù)量級。文獻(xiàn)[41]推導(dǎo)出了以歸化緯度、地心緯度解算子午線弧長的展開公式，同時(shí)又根據(jù)拉格朗日反演定理，得到了由子午線弧長反解歸化緯度、地心緯度的直接公式，正反解精度均高于傳統(tǒng)基于大地緯度的展開式。

等距離緯度、等角緯度和等面積緯度都是大地緯度的函數(shù)，在等距離投影、等角投影和等面積投影表達(dá)式中經(jīng)常用到它們的正解展開式，即將其展開為關(guān)于大地緯度的正弦函數(shù)倍角形式。這一過程涉及非常復(fù)雜的冪級數(shù)展開和復(fù)合函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的求取，以往大都通過人工推導(dǎo)完成，推導(dǎo)過程復(fù)雜冗長，通常只能展至sin 8B(B為大地緯度)，并且為推導(dǎo)方便采取的某些近似往往導(dǎo)致展開式系數(shù)的高階項(xiàng)存在偏差。反解時(shí)由于大地緯度一般表現(xiàn)為這些緯度的隱函數(shù)或反函數(shù)形式，有的為非常復(fù)雜的超越函數(shù)，多采用基于正解公式的迭代法，這種方法不但計(jì)算效率低，而且最主要的是理論分析不甚方便；另一種方法是直接進(jìn)行反解變換，即所謂的直接法。文獻(xiàn)[22]經(jīng)過復(fù)雜的Lagrange級數(shù)展開，文獻(xiàn)[42]利用變系數(shù)線性插值方法，給出了以上3種緯度反解的直接展開式，但是由于歷史條件的限制，其間許多推導(dǎo)過程都由人工完成，不僅展開式項(xiàng)數(shù)不高，而且展開式系數(shù)是原正解展開式系數(shù)的多項(xiàng)式形式，不便于記憶，計(jì)算也比較復(fù)雜，在實(shí)際應(yīng)用中多以具體的數(shù)值形式給出，不便于推廣應(yīng)用。

借助計(jì)算機(jī)代數(shù)分析方法和計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[43]對等距離緯度、等角緯度和等面積緯度正解展開式進(jìn)行了重新推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)并糾正了傳統(tǒng)正解展開式系數(shù)高階項(xiàng)中存在的偏差；文獻(xiàn)[43—46]分別采用冪級數(shù)展開法、Hermite插值法、Lagrange級數(shù)法、符號迭代法推導(dǎo)出了形式一致、展開式系數(shù)完全相同的反解展開式，其中三角函數(shù)倍角項(xiàng)展至sin 8B(B為大地緯度)，從而相互印證了4種方法的正確性，與傳統(tǒng)反解展開式不同的是，反解系數(shù)不再是正解展開式系數(shù)的多項(xiàng)式形式或具體的數(shù)值形式，而是統(tǒng)一表示為橢球偏心率e的冪級數(shù)形式，對于不同的橢球，只需將橢球偏心率代入即可得到該橢球下的相關(guān)系數(shù)，便于推廣使用。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[40]系統(tǒng)推導(dǎo)出了三角函數(shù)倍角項(xiàng)展至sin 10B、系數(shù)展至e10的等距離緯度、等角緯度和等面積緯度正反解展開式，并給出了我國常用大地坐標(biāo)系下展開式的系數(shù)值，精度分析表明，計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)下推導(dǎo)出的正反解展開式精度較傳統(tǒng)人工導(dǎo)出的展開式最少提高2個(gè)數(shù)量級，最多提高4個(gè)數(shù)量級，具體情況如表1所示。

表1等距離緯度、等角緯度和等面積緯度正反解展開式精度比較

Tab.1Theaccuracycomparisonofforwardandinverseexpansionsofrectifying,conformalandauthaliclatitudes

正反解傳統(tǒng)人工導(dǎo)出展開式精度/(″)計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)導(dǎo)出展開式精度/(″)精度提高數(shù)量級等距離緯度正解10-510-72等角緯度正解10-410-84等面積緯度正解10-410-84等距離緯度反解10-410-84等角緯度反解10-410-84等面積緯度反解10-410-84

文獻(xiàn)[47]對測量和地圖學(xué)中6種常用緯度進(jìn)行了系統(tǒng)比較，借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)推導(dǎo)出了常用緯度間的差異極值點(diǎn)及對應(yīng)差異極值的符號表達(dá)式，并將其表示為關(guān)于偏心率e的冪級數(shù)形式；以CGCS2000橢球?yàn)槔瑢Ω骶暥乳g的差異進(jìn)行了數(shù)值分析和對比。結(jié)果表明，5種輔助緯度與大地緯度的差異極值點(diǎn)均在π/4右側(cè)；地心緯度與大地緯度差異極值最大，歸化緯度與大地緯度差異極值最小。

文獻(xiàn)[48]利用等距離緯度、等角緯度和等面積緯度這3種緯度和大地緯度間的正反解展開式，導(dǎo)出了它們之間變換的直接展開式，并將式中系數(shù)統(tǒng)一表示為橢球偏心率e的冪級數(shù)形式并展至e10，解決了不同參考橢球下的變換問題，精度分析表明，直接展開式的計(jì)算精度優(yōu)于10-8″，滿足地圖投影精密計(jì)算的需要。

2 不同變形性質(zhì)地圖投影間的直接變換

地圖投影根據(jù)投影性質(zhì)可分為等距離投影、等角投影和等面積投影，根據(jù)投影后經(jīng)緯線形狀可分為圓柱投影、圓錐投影和方位投影。前人對這些投影間變換問題已進(jìn)行了不少研究，特別是我國已故著名地圖學(xué)家楊啟和教授在地圖投影變換領(lǐng)域取得了令國內(nèi)外同行矚目的成果，楊啟和教授經(jīng)過幾十年的潛心研究，畢其一生之精力，集其研究之大成，于1989年出版了《地圖投影變換原理與方法》這部巨著，使這個(gè)研究領(lǐng)域大大前進(jìn)一步，該書于2000年被英國Taylor出版公司譯為英文出版，是我國地圖投影方面第一部在國外出版的學(xué)術(shù)著作，標(biāo)志著我國地圖投影變換研究在國際上的領(lǐng)先地位，對于推動(dòng)地圖學(xué)各分支學(xué)科的現(xiàn)代化水平和提高我國地圖學(xué)在國際上的地位具有重要的意義。

圖1 地圖投影間接變換和直接變換示意圖Fig.1 Sketch of indirect and direct transformations of map projection

值得注意的是，雖然前人對地圖投影變換方法進(jìn)行了大量的研究，并在一定程度上解決了許多問題，但還不夠全面和充分，特別是對于地球橢球模型下不同變形性質(zhì)間的投影變換，采用的是間接變換法，需要通過中間過渡的方法，反解出原地圖投影點(diǎn)的橢球坐標(biāo)，再代入新投影中求得該點(diǎn)在新投影下的直角坐標(biāo)，而未能建立投影坐標(biāo)間的直接關(guān)系式，由于橢球體下兩種投影表達(dá)式較為復(fù)雜，而且變換中有時(shí)需要經(jīng)過煩瑣的迭代運(yùn)算才能反解出大地緯度，使得計(jì)算過程變得相當(dāng)復(fù)雜，計(jì)算效率不高。因此，需要研究地圖投影直接變換問題，建立不同投影之間精確的對應(yīng)關(guān)系，表達(dá)編圖和制圖過程的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)。地圖投影間接變換和直接變換示意圖如圖1所示。

子午線弧長、等量緯度和等面積緯度函數(shù)是等距離投影、等角投影和等面積投影中的重要變量，分別是等距離緯度、等角緯度和等面積緯度的函數(shù)，它們之間的變換是實(shí)現(xiàn)不同變形性質(zhì)地圖投影間變換的基礎(chǔ)，而這3種量之間的變換，傳統(tǒng)上是通過解算大地緯度間接實(shí)現(xiàn)的，計(jì)算公式復(fù)雜冗長，不便于應(yīng)用。

借助計(jì)算機(jī)代數(shù)分析方法和計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[49]推導(dǎo)出了子午線弧長正反解公式，并將系數(shù)統(tǒng)一表示為橢球偏心率的冪級數(shù)形式，克服了傳統(tǒng)反解公式大多表示為具體數(shù)值形式的缺陷。文獻(xiàn)[50—52]在等距離緯度、等角緯度和等面積緯度正反解展開式基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了子午線弧長、等量緯度和等面積緯度函數(shù)之間變換的直接展開式，將展開式系數(shù)統(tǒng)一表示為橢球偏心率的冪級數(shù)形式，且展至e8。文獻(xiàn)[40]進(jìn)一步將展開式系數(shù)擴(kuò)展至e10，并給出了我國常用大地坐標(biāo)系下展開式的系數(shù)值，精度分析表明直接展開式的計(jì)算精度較傳統(tǒng)間接變換公式最少提高2個(gè)數(shù)量級，最多提高6個(gè)數(shù)量級，可以滿足地圖投影精密計(jì)算需要。

在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[40，53—54]系統(tǒng)地建立了正軸圓柱投影之間、正軸圓錐投影之間及正軸圓柱投影和正軸圓錐投影間的直接變換模型，避免了過去“圓柱→橢球→圓錐”間接變換導(dǎo)致的誤差，顯著地提高了投影變換的計(jì)算精度和計(jì)算效率。與傳統(tǒng)變換公式相比，這些直接變換模型形式更為簡單，理論更為嚴(yán)密，便于測量和制圖使用。

3 高斯投影的復(fù)變函數(shù)表示

高斯投影被廣泛用作地形圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，傳統(tǒng)的高斯投影正(反)解公式表示為經(jīng)差(橫坐標(biāo))的實(shí)數(shù)型冪級數(shù)形式，雖然有容易理解和直觀的優(yōu)點(diǎn)，但表達(dá)式復(fù)雜冗長，而且對于正解中子午線弧長的計(jì)算，給出的是適用于特定橢球的數(shù)值公式，反解中底點(diǎn)緯度則需要迭代求出，較為煩瑣[39]；特別是實(shí)用中需要分帶處理，經(jīng)常劃分為3°或6°帶，如圖2所示。針對這一問題，文獻(xiàn)[55—58]采用多種方法導(dǎo)出了適用范圍更廣的高斯投影算法，但由于沒有擺脫實(shí)數(shù)表示的限制，仍然沒有解決分帶問題。

圖2 高斯投影分帶示意圖Fig.2 Sketch of zone dividing of Gauss projection

鑒于高斯投影是一種等角投影，而復(fù)變函數(shù)作為一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)方法，在等角投影中的優(yōu)勢是無可替代的，利用復(fù)變函數(shù)進(jìn)行等角投影計(jì)算和公式推求具有簡單、方便、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，近年來已有學(xué)者注意到這一問題并進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[59]采用橢球面在球面的局部描寫，給出了復(fù)變函數(shù)表示的高斯投影近似式，計(jì)算精度較低，只能達(dá)到0.3 m。文獻(xiàn)[60]討論了橫墨卡托投影的復(fù)變函數(shù)表示，但其給出的反解變換是在子午線弧長正解公式的基礎(chǔ)上迭代得到的，計(jì)算過于煩瑣。文獻(xiàn)[61]基于一種有效的遞推公式給出了任意帶寬的高斯投影復(fù)變函數(shù)解法，但所給公式較為復(fù)雜，且遞推過程耗時(shí)，計(jì)算效率較低。文獻(xiàn)[62]給出了用復(fù)變函數(shù)表示的高斯投影正反解的Fortran程序并進(jìn)行了計(jì)算。

借助計(jì)算機(jī)代數(shù)分析方法和計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[63—64]研究了橢球高斯投影的復(fù)變函數(shù)表示，將子午線弧長正反解公式拓展至復(fù)數(shù)域，導(dǎo)出了形式緊湊、結(jié)構(gòu)簡單的正反解公式，但在實(shí)際計(jì)算中需煩瑣的迭代運(yùn)算，影響了計(jì)算效率。文獻(xiàn)[65]使用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)研究了高斯投影復(fù)變換的數(shù)值計(jì)算方法，給出了復(fù)積分計(jì)算的積分級數(shù)分析法、橢圓積分函數(shù)法、直接積分法及利用系統(tǒng)函數(shù)求解變換方程。文獻(xiàn)[66]并將等量緯度與子午線弧長變換的直接展開式拓展至復(fù)數(shù)域拓展至復(fù)數(shù)域，導(dǎo)出了復(fù)變函數(shù)表示的高斯投影正反解非迭代公式，不僅提高了計(jì)算精度，而且在一定程度上也簡化了計(jì)算過程。文獻(xiàn)[67]推導(dǎo)出了球面高斯投影復(fù)變函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)復(fù)變函數(shù)及常用初等函數(shù)的定義，經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)分析過程，給出了球面高斯投影與橫軸墨卡托投影等價(jià)性的嚴(yán)格證明。文獻(xiàn)[68]在球面高斯投影復(fù)變函數(shù)表示的基礎(chǔ)上，通過一系列數(shù)學(xué)變換，推導(dǎo)出了球面高斯投影正反解、經(jīng)緯線投影方程、投影長度比及子午線收斂角公式的閉合式，與傳統(tǒng)高斯投影冪級數(shù)公式相比，理論上更嚴(yán)密、形式上更緊湊。文獻(xiàn)[69]在橢球高斯投影復(fù)變函數(shù)表示的基礎(chǔ)上，通過借助雙曲正弦和公式、雙曲函數(shù)與三角函數(shù)間的函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過一系列恒等變換，將高斯投影復(fù)變函數(shù)坐標(biāo)公式及對應(yīng)的長度比、子午線收斂角公式等價(jià)變換為實(shí)數(shù)形式，具有“不分帶”的優(yōu)點(diǎn)，且表現(xiàn)形式更直觀、清晰。文獻(xiàn)[70]在高斯投影復(fù)變函數(shù)表示的基礎(chǔ)上，給出了基于復(fù)數(shù)等角緯度、復(fù)數(shù)底點(diǎn)緯度的推導(dǎo)過程，得到了高斯投影正反解公式的實(shí)數(shù)解，其計(jì)算精度達(dá)0.1 mm，突破經(jīng)典高斯投影帶寬的限制，適應(yīng)帶寬可達(dá)60°。文獻(xiàn)[71]借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)推導(dǎo)出了等角緯度關(guān)于子午線弧長的展開式，利用復(fù)變函數(shù)及雙曲正切函數(shù)理論，得到了不同中央經(jīng)線高斯投影間的變換公式，與傳統(tǒng)高斯投影換帶公式相比，具有更高的準(zhǔn)確度及更寬的應(yīng)用范圍。文獻(xiàn)[72—73]討論了常用等角投影及其解析變換的復(fù)變函數(shù)表示，給出了高斯投影、墨卡托投影和等角圓錐投影正反解的復(fù)變函數(shù)表示模型，在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)地推導(dǎo)出了高斯投影、墨卡托投影和等角圓錐投影間解析變換的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式。文獻(xiàn)[74]導(dǎo)出了拉格朗日投影正反解的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)地建立了該投影與高斯投影、墨卡托投影和等角圓錐投影間解析變換的復(fù)變函數(shù)表示模型。這些復(fù)數(shù)變換公式表現(xiàn)為含參考橢球第一偏心率的符號形式，可解決不同參考橢球下的變換問題，與傳統(tǒng)的實(shí)數(shù)變換公式相比，其形式更為簡單、理論更為嚴(yán)密。

4 斜軸墨卡托投影數(shù)學(xué)分析

墨卡托投影是一類常用的等角投影，因投影面與地球橢球相對位置的不同，可將其分為正軸、橫軸和斜軸墨卡托投影。正軸墨卡托投影適用于東西向赤道附近的測區(qū)，橫墨卡托投影適于南北縱向沿經(jīng)線的測區(qū)。顯然，存在一些地理區(qū)域并不以赤道、經(jīng)線、緯線為中線，而位于某一平面與地球或其他星體的交線附近，如圖3所示。針對這種情況的應(yīng)用需求，人們展開了對斜軸墨卡托投影的研究。

圖3 斜軸墨卡托投影示意圖Fig.3 Sketch of oblique Mercator projection

文獻(xiàn)[75]對旋轉(zhuǎn)橢球進(jìn)行等角投影，得到橢球斜軸墨卡托投影，這種方法被用于美國阿拉斯加、馬來亞半島和婆羅洲、瑞士、意大利等國家或地區(qū)制圖。文獻(xiàn)[76]曾闡述了Hotine斜軸墨卡托投影是繪制地球資源衛(wèi)星類型數(shù)據(jù)最合適的投影方式，曾用于熱容量測繪衛(wèi)星的投影成像。文獻(xiàn)[77]基于正軸及橫軸墨卡托投影的概念，在確保變換后的赤道投影前后長度不變的前提下，給出了橢球情況下斜軸墨卡托投影的算法。文獻(xiàn)[36]引入復(fù)變函數(shù)對墨卡托投影體系進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，詳細(xì)介紹了球面、橢球情況下的正軸、橫軸、斜軸墨卡托投影方式。

隨著國民經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，我國高速鐵路建設(shè)、高等級公路建設(shè)、長距離的引水和輸油管線建設(shè)等工程日益興起。這些長大線狀工程橫跨東西南北，具有測區(qū)帶狀、路線長等顯著特點(diǎn)，傳統(tǒng)的橫軸高斯投影只適用于南北條帶區(qū)域的投影表示，應(yīng)用于東西跨度較大的長大線狀工程，將導(dǎo)致分帶過于頻繁、換帶計(jì)算煩瑣、信息要素表達(dá)零散等不足，而采用斜軸墨卡托投影可有效控制投影長度變形，避免分帶計(jì)算。文獻(xiàn)[78]介紹了斜圓柱投影的計(jì)算方法，使投影圓柱沿工程直伸中心線相切，從而克服了長度變形問題。文獻(xiàn)[79]討論了參考圓球的確定和定位，編制了計(jì)算軟件，實(shí)現(xiàn)了從常用坐標(biāo)系統(tǒng)向斜軸投影平面坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換計(jì)算。文獻(xiàn)[80—83]結(jié)合鐵路線路的實(shí)測數(shù)據(jù)分析了斜墨卡托投影的應(yīng)用效果，驗(yàn)證了方法的有效性。然而，上述文獻(xiàn)為計(jì)算方便，往往將測區(qū)表面近似為球面，同時(shí)未考慮高差對于投影變形的影響，使得算法受距離限制，不適于長線型線路。因此，為更精確地表示測區(qū)，在長線型線路設(shè)計(jì)中需考慮地球扁率的影響，而這一問題往往涉及非常復(fù)雜冗長的數(shù)學(xué)分析，人工推導(dǎo)難度極大。

文獻(xiàn)[84—86]提出將接近于長大線狀工程的法截面進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到法截面子午線橢球，借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)對法截面子午線橢球構(gòu)建和變換涉及的復(fù)雜數(shù)學(xué)分析問題進(jìn)行了深入研究，建立了法截面子午線橢球高斯投影、空間幾何和工程應(yīng)用理論體系，避免了高斯分帶計(jì)算，減小了投影變形，在施工允許精度范圍內(nèi)將單個(gè)坐標(biāo)系線路長度延伸至1000 km以上，甚至達(dá)到7000 km，有效提高了高斯投影在東西跨度較大區(qū)域的使用效率。文獻(xiàn)[87]基于最小二乘、坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換和橢球變換理論，借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)構(gòu)建了斜軸變形橢球高斯投影方法，避免了因分帶帶來的誤差，減小了投影綜合變形，其數(shù)學(xué)模型更為簡單，計(jì)算過程更為清晰。

5 極區(qū)海圖投影及其變換

隨著全球氣候變暖，極區(qū)商業(yè)價(jià)值及戰(zhàn)略地位日漸凸顯，對其進(jìn)行資源調(diào)查及航線探索已成為近年來國際上爭相關(guān)注的熱點(diǎn)。海圖對于極區(qū)航行具有不可或缺的支撐作用，而中低緯度采用的墨卡托投影由于長度變形過大而不宜在極區(qū)使用，選擇合適的海圖投影方式對編制極區(qū)航行所需航海圖至關(guān)重要。

文獻(xiàn)[88]提出橫向和斜向?qū)Ш郊夹g(shù)，與之配合的投影方式應(yīng)為蘭伯特等角投影、極球面投影或橫墨卡托投影，但沒有對這些海圖投影方式特性及使用方式進(jìn)行進(jìn)一步的詳細(xì)分析與說明。文獻(xiàn)[89]提出了利用陀螺作為跟蹤儀的格網(wǎng)導(dǎo)航方法，建議在格網(wǎng)導(dǎo)航中使用斜向墨卡托投影。文獻(xiàn)[90]提出了一種基于橫墨卡托投影導(dǎo)航圖的極區(qū)橫向?qū)Ш郊夹g(shù)，將橫向地理坐標(biāo)系與橫墨卡托投影結(jié)合以支持極區(qū)導(dǎo)航。1989年美軍國防制圖局(Defense Mapping Agency，DMA)推薦北緯84°至北極和南緯80°至南極間的圖幅采用通用極球面投影(universal polar stereographic projection，UPS)。文獻(xiàn)[91]對極球面投影上用直線直接代替大圓航線所造成的航向誤差和位置誤差進(jìn)行了定性分析，對極區(qū)常用投影方式的導(dǎo)航應(yīng)用研究更深入細(xì)致。文獻(xiàn)[92]建議北極區(qū)域使用等距離方位投影和等角方位投影、近北極區(qū)域使用蘭伯特圓錐投影和等距離圓錐投影。文獻(xiàn)[93]認(rèn)為在尋找出一種新的極地投影之前，墨卡托投影和日晷投影仍將作為編制北極航海圖的首選投影。

以往對極區(qū)常用海圖投影方式的投影特性及可用性分析，只給出了籠統(tǒng)的定性分析初步結(jié)論，對其變形特性、誤差分布特性缺乏系統(tǒng)、深入、細(xì)致的理論推導(dǎo)和數(shù)值分析，特別是傳統(tǒng)人工推導(dǎo)的極區(qū)海圖投影算法存在以下有待解決的問題：基于球體模型導(dǎo)出，存在近似、精度不高的缺點(diǎn)；存在奇異問題或分帶現(xiàn)象，表達(dá)式不統(tǒng)一；未能建立投影坐標(biāo)直接變換的嚴(yán)密解析式，計(jì)算煩瑣。

借助計(jì)算機(jī)代數(shù)分析方法和計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[94]分析了極球面投影的極區(qū)投影變形、經(jīng)緯線形狀及大圓航線與直線的逼近程度，結(jié)果表明極球面投影能夠克服墨卡托投影不足，可滿足極區(qū)海圖投影要求。文獻(xiàn)[95]針對現(xiàn)有研究中未充分考慮地球扁率對極區(qū)極球面投影誤差影響的問題，研究了雙重極球面投影下極區(qū)投影誤差與各重基準(zhǔn)緯度的關(guān)系。文獻(xiàn)[96]研究了極球面投影上直線代替大圓航線量測距離的可行性，提出了一種基于等距圓的距離量測方法，解決了極球面投影海圖上精確量測距離的問題。文獻(xiàn)[97]建立了等距離正圓柱投影平面上等角航線方程并對其曲率進(jìn)行了分析，提出了一種可滿足給定精度要求的等角航線展繪算法。

鑒于陸圖采用的高斯投影具有等角優(yōu)勢，在中央子午線附近變形較小，如極區(qū)海圖采用高斯投影則便于陸海圖的統(tǒng)一，但高斯投影傳統(tǒng)實(shí)數(shù)公式僅在經(jīng)差較小的條帶內(nèi)適用，傳統(tǒng)復(fù)變函數(shù)表達(dá)式雖消除了分帶的限制，但是由于等量緯度在極點(diǎn)存在奇異，使得復(fù)變函數(shù)表達(dá)式難以在極區(qū)應(yīng)用。文獻(xiàn)[98—99]推導(dǎo)出了極區(qū)球面高斯投影非奇異公式，滿足了極區(qū)內(nèi)連續(xù)投影的需求，基于該公式推導(dǎo)了極區(qū)經(jīng)緯線投影方程，并結(jié)合日晷投影進(jìn)行了長度變形及子午線偏移角分析，結(jié)果表明在極圈內(nèi)高斯投影長度變形小于日晷投影。文獻(xiàn)[100]在高斯投影復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)上，引入復(fù)變等角緯度的概念，避免等量緯度在極點(diǎn)的奇異性，并將極點(diǎn)作為高斯投影的坐標(biāo)原點(diǎn)，建立了極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示形式，克服了傳統(tǒng)高斯投影分帶的缺陷，使得高斯投影在極區(qū)有一個(gè)統(tǒng)一完整的“一體化表示形式”，但在求得復(fù)數(shù)等角余緯度的過程中，使用了極點(diǎn)附近球近似的方法，一定程度上影響了正解推導(dǎo)過程的嚴(yán)密性。文獻(xiàn)[101]建立了等角余緯度和等量緯度間的嚴(yán)密關(guān)系式，對其進(jìn)行復(fù)數(shù)開拓，推導(dǎo)出了理論嚴(yán)密的極區(qū)不分帶高斯投影正反解復(fù)數(shù)表達(dá)式，利用指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)間的關(guān)系式，進(jìn)一步導(dǎo)出了極區(qū)高斯投影正反解實(shí)數(shù)表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上繪制了極區(qū)不分帶高斯投影示意圖，如圖4所示。

圖4 北極地區(qū)不分帶高斯投影示意圖Fig.4 Sketch of non-zonal Gauss projection in arctic regions

文獻(xiàn)[102]研究了極球面投影、橫墨卡托投影和日晷投影的直接變換問題，系統(tǒng)地推導(dǎo)出了任意兩種投影間的直接變換公式，可供極區(qū)海圖投影變換和航海導(dǎo)航參數(shù)計(jì)算使用。文獻(xiàn)[103]討論了常用極區(qū)海圖投影及其變換，給出了各類球面或橢球面投影及其變換公式，以及長度比或角度變形公式，主要包括等角投影、等面積投影、等距離投影和日晷投影，著重研究了等角投影及等角投影間的解析變換。

6 結(jié)論與展望

借助現(xiàn)代計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)分析功能和符號運(yùn)算能力，將計(jì)算機(jī)代數(shù)分析方法應(yīng)用于地圖投影數(shù)學(xué)分析，不僅可以極大地提高地圖投影數(shù)學(xué)分析過程的效率，而且可以推導(dǎo)出過去人工推導(dǎo)難以完成的公式和算法，實(shí)現(xiàn)地圖投影學(xué)特定領(lǐng)域某些數(shù)學(xué)分析過程的創(chuàng)新。隨著科學(xué)技術(shù)特別是空間科學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，地圖投影的理論越來越科學(xué)化和體系化，地圖投影的方法和種類越來越多樣化，地圖投影學(xué)已突破了傳統(tǒng)的研究內(nèi)容和研究方法，正在向進(jìn)一步深化和多種專業(yè)知識的結(jié)合方向發(fā)展，新的研究和應(yīng)用領(lǐng)域不斷地開拓。筆者認(rèn)為，地圖投影計(jì)算機(jī)代數(shù)分析有待進(jìn)一步開展的研究工作主要有以下幾個(gè)方面：

(1) 空間地圖投影計(jì)算機(jī)代數(shù)分析?？臻g地圖投影[104-106]是近40年才出現(xiàn)的一個(gè)新的研究領(lǐng)域，是圖像數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的前沿課題，是衛(wèi)星遙感制圖學(xué)發(fā)展必然產(chǎn)生的問題?？臻g地圖投影涉及地球形狀、地球自轉(zhuǎn)、衛(wèi)星軌道攝動(dòng)等非常復(fù)雜的數(shù)學(xué)分析問題，傳統(tǒng)人工推演均采用一定的近似分析方法和數(shù)值積分，借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)強(qiáng)大的符號運(yùn)算能力，可以推導(dǎo)和建立理論上更為嚴(yán)密、形式上更為簡單、精度上更為精確的空間地圖投影新公式和新算法，揭示各類空間地圖投影復(fù)雜數(shù)學(xué)模型和海量數(shù)據(jù)背后隱藏的規(guī)律，實(shí)現(xiàn)空間地圖投影在一些具體數(shù)學(xué)分析問題上的突破和創(chuàng)新。

(2) 中小比例尺地圖投影計(jì)算機(jī)代數(shù)設(shè)計(jì)與分析。中小比例尺地圖投影在過去有過一些研究和分析，但由于受時(shí)代的局限，在分析深度、廣度和精細(xì)程度上都顯得比較粗淺，絕非完美。許多投影是人工擬合得出的數(shù)值形式，參數(shù)選取有一定的隨機(jī)性，缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。利用先進(jìn)的計(jì)算機(jī)代數(shù)分析工具，可以全面對比各類中小比例尺地圖投影特點(diǎn)，對以前缺乏數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的各類數(shù)值擬合投影方法盡可能給出符號化的通用數(shù)學(xué)準(zhǔn)則和表達(dá)式，提高我國中小比例尺地圖投影的理論研究和設(shè)計(jì)水平。

(3) 海圖投影及航線繪算計(jì)算機(jī)代數(shù)分析。海圖投影及航線繪算是海圖制圖和航線設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)，在海洋監(jiān)測與調(diào)查、海洋劃界和航海中有著廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)的海圖投影及航線繪算公式和算法，大多表現(xiàn)為數(shù)值形式，普適性不高，符號形式的算法部分存在高階項(xiàng)誤差，同時(shí)在極區(qū)的應(yīng)用和研究也很有限。利用計(jì)算機(jī)代數(shù)分析方法，借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)對其進(jìn)行系統(tǒng)分析，可以將以往算法的數(shù)值形式改進(jìn)為符號形式，建立更適合的新模型和新算法，完善海圖投影及航線繪算的理論體系。

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(責(zé)任編輯：陳品馨)

Research Progress in Mathematical Analysis of Map Projection by Computer Algebra

BIAN Shaofeng,LI Houpu,LI Zhongmei

Department of Navigation, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China

Map projection is an important component of modern cartography, and involves many fussy mathematical analysis processes, such as the power series expansions of elliptical functions, differential of complex and implicit functions, elliptical integral and the operation of complex numbers. The derivation of these problems by hand not only consumes much time and energy but also makes mistake easily, and sometimes can not be realized at all because of the impossible complexity. The research achievements in mathematical analysis of map projection by computer algebra are systematically reviewed in five aspects, i.e., the symbolic expressions of forward and inverse solution of ellipsoidal latitudes, the direct transformations between map projections with different distortion properties, expressions of Gauss projection by complex function, mathematical analysis of oblique Mercator projection, polar chart projection with its transformation. Main problems that need to be further solved in this research field are analyzed. It will be helpful to promote the development of map projection.

map projection; projection transformation; Gauss projection; polar projection; computer algebra

The National Natural Science Foundation of China(Nos. 41631072；41571441；41604010)

BIAN Shaofeng(1961—),male,professor,majors in map projection,geodesy and satellite navigation.

LI Houpu

邊少鋒，李厚樸，李忠美.地圖投影計(jì)算機(jī)代數(shù)分析研究進(jìn)展[J].測繪學(xué)報(bào)，2017,46(10)：1557-1569.

10.11947/j.AGCS.2017.20170396.

BIAN Shaofeng,LI Houpu,LI Zhongmei.Research Progress in Mathematical Analysis of Map Projection by Computer Algebra[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(10):1557-1569. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20170396.

P282

A

1001-1595(2017)10-1557-13

國家自然科學(xué)基金(41631072；41571441；41604010)

2017-07-09

修回日期： 2017-09-05

邊少鋒(1961—)，男，教授，研究方向?yàn)榈貓D投影、大地測量和衛(wèi)星導(dǎo)航。

E-mail： sfbian@sina.com

李厚樸

E-mail： lihoupu 1985@126.com