賀永春, 練利鋒

(1.榆林學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,陜西 榆林 718000;2.重慶第二師范學院數(shù)學與信息工程學院,重慶 400065)

拓撲剩余格

賀永春1, 練利鋒2

(1.榆林學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,陜西 榆林 718000;2.重慶第二師范學院數(shù)學與信息工程學院,重慶 400065)

利用剩余格L中濾子系統(tǒng)

誘導的拓撲τF,證明了(L,τF)是拓撲剩余格,給出拓撲剩余格(L,τF)中任意一個非空集合的閉包的表達形式,并且在給定的一些特殊的條件下證明了(L,τF)是Hausdor ff空間.

拓撲剩余格;濾子系統(tǒng);Hausdor ff空間

1 引言

剩余格已成為模糊邏輯中比較理想的代數(shù)框架,是研究其他代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要工具.關于剩余格的研究,讀者可以參考文獻[1-4].代數(shù)和拓撲是數(shù)學的兩個基礎的領域,它們雖然是相對獨立的,但是在數(shù)學的高領域的研究中有著緊密的聯(lián)系,如群表示論、代數(shù)幾何、代數(shù)拓撲、拓撲代數(shù)等.自從剩余格理論建立以來[5],關于剩余格在模糊代數(shù)理論的研究得到了廣泛的關注,但是在拓撲理論方面研究甚少.有關邏輯代數(shù)上拓撲結(jié)構(gòu)的研究,請讀者參照文獻[6,8].基于此,研究拓撲剩余格是有意義的.

2 預備知識

定義 2.1[1-2]一個(2,2,2,2,0,0)型的代數(shù)(L,∧,∨,⊙,→,0,1)若滿足下列條件:對任意的x,y,z∈L,

(i)(L,∧,∨,0,1)是有界格,0,和1分別為L的最小元和最大元;

(ii)(L,⊙,1)是可換幺半群;

(ii)x⊙y≤z當且僅當 x≤y→z;則稱(L,∧,∨,⊙,→,0,1)為一個剩余格.

本文中,如沒有特別聲明,剩余格(L,∧,∨,⊙,→,0,1)簡記為L.

命題 2.1[4]若L是一個剩余格,則以下各條可證：對任意的x,y,z∈L,

(R1)1→x=x,x→1=1,

(R2)x≤y當且僅當x→y=1,

(R3)如果x≤y,則有y→z≤x→z,z→x≤z→y以及x⊙z≤y⊙z,

(R4)x⊙(x→y)≤y,

(R5)x⊙y≤x∧y,x≤y→x,

(R6)x→(y→z)=(x⊙y)→z=y→(x→z),

定義 2.2[2,3]設F是L的一個非空子集,若F滿足以下條件:

(i)x,y∈F蘊含x⊙y∈F;

(ii)x∈F且x≤y蘊含y∈F；則稱F是L的濾子.

剩余格L的子集F稱為推導系統(tǒng)是指F滿足以下條件:

(i)1∈F;

(ii)x,x→y∈F蘊含y∈F.容易驗證在剩余格中濾子和推導系統(tǒng)是一致的.記剩余格L中全體濾子的集合為F(L).

定義 2.3[6]偏序集(D,≤)稱為定向集,如果對任意x,y∈D,存在z∈D使得

定義 2.4[7]設τ是L上的拓撲.若L中的每個運算都關于τ連續(xù),則稱序?qū)?L,τ)為拓撲剩余格.

3 主要結(jié)果及其證明

定義 3.1[12]設Λ是定向集以及

是剩余格L的一族濾子.對任意的 i,j∈Λ,如果i≤j蘊含F(xiàn)j?Fi,則稱 {Fi:i∈Λ}為 L的濾子系統(tǒng)（或簡記為系統(tǒng)）.

引理 3.1設F={Fi:i∈Λ}是L的系統(tǒng).則L中存在拓撲τ具有基

證明設

下面證明τ是L上的拓撲.顯然?,L∈τ.設

則存在i∈I使得x∈Ui.由于 Ui∈τ,從而存在Fj∈F 使得x/Fj?Ui.因此有

故

假設 Ui,Uj∈τ.下面我們證明 Ui∩Uj∈τ.設x∈Ui∩Uj.則存在Fk,Fl∈F 使得

由于Λ是定向集,存在h∈Λ使得k,l≤h.因此有

不難證明

故有

任取U∈τ以及x∈U,則存在Fx∈F使得x/Fx?U.因此有

所以β是τ的基.

注 3.1本文主要討論剩余格L中濾子系統(tǒng)

誘導的拓撲

(簡記為τF)的拓撲性質(zhì).如果沒有特殊說明,本文總假設τF是由濾子系統(tǒng)

誘導的拓撲.

眾所周知剩余格L中的任意一個濾子F都可以誘導L上的一個同余關系θF,這里θF定義為 (x,y)∈θF當且僅當x→y∈F,y→x∈F.

定理3.1設

是L的系統(tǒng).則(L,τF)是拓撲剩余格.

證明由引理知 (L,τF)是拓撲空間.下面只需要證明對L中運算 ?∈{∧,∨,⊙,→}以及

映射f?:L×L→L定義為

是連續(xù)的.由于(L,τF)具有基

則有 x?y∈b/Fi,顯然有

是L×L中點(x,y)的開領域.下面證明

則 u∈x/Fi且 v∈y/Fi,即 (u,x)∈θFi以及 (v,y)∈θFi,這里 θFi是由 Fi誘導的同余.因此有

由x?y∈b/Fi,可得到u?v∈b/Fi.故有

下面給出拓撲剩余格(L,τF)中任意一個非空集合的閉包的具體表達形式.

定理 3.2設(L,τF)是拓撲剩余格以及S是L中的非空子集.則

這里S是S的拓撲閉包,

證明設x∈L以及

是τF的基.則有 x∈,

?對x的任何領域U,總有

定理 3.3(L,τF)是 Hausdor ff空間當且僅當

證明設(L,τF)是 Hausdor ff空間.則

是閉集.由引理得

反之,設

任取 x/=y,則有

或者

不失一般性,設

由假設

則存在λ∈Λ使得x→y/∈Fλ.因此x/∈y/Fλ,則有

[1]Ward M,Dilworth P R.Residuated lattice[J].Transactions of the American Mathematical Society,1939,45(1939):335-354.

[2]Piciu D.Algebras of Fuzzy Logic[M].Ed.Craiova:Universitaria,2007.

[3]裴道武.Ro-代數(shù)中的蘊涵濾子與同余關系[J].西安聯(lián)合大學學報,2000,3(4):24-29.

[4]Kowalski T,Ono H.Residuated Lattices:An Algebraic Glimpse at Logic Without Contraction[M].New York:Springer,2001.

[5]Davey B A,Priestley H A.Introduction to Lattice and Order[M].Cambridge:Cambridge University Press,2002.

[6]Haveshki M,Eslami E,Borumand Saeid A.A topology induced by uniformity on BL-algebras[J].Math.Log.Q.,2007,53(2):162-169.

[7]Zahiri O,Borzooei R A.Topology on BL-Algebras[J].Fuzzy Sets.Syst.,2016,289(3):137-150.

[8]熊金城.點集拓撲學講義[M].3版.北京:高等教育出版社,2003.

Topology on residuated lattices

He Yongchun1,Lian Lifeng2
(1.School of Mathematics and Statistics,Yulin University,Yulin 718000,China 2.School of Mathematics and Information Engineering,Chongqing University of Education,Chongqing 400065,China)

In this paper,by using a special family of fi lters on a residuated lattice L,we construct a topology τFon L,show that(L,τF)is a topological residuated lattice, fi nd the closure of any subsets of L and obtain some conditions under which that(L,τF)is a Hausdor ffspace.

topological residuated lattice,system of fi lters,Hausdor ffspace

O159

A

1008-5513(2017)05-0545-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.013

2017-9-27.

陜西省教育廳項目(15JK1859),重慶第二師范學院校項目(KY201548C).

賀永春(1981-),碩士,講師,研究方向：模糊數(shù)學、一般拓撲學.

練利鋒(1989-),碩士,助教,研究方向：代數(shù)學.

2010 MSC:54A05,54C08