李 波，龔春林，粟 華，谷良賢

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院 空天飛行技術(shù)研究所,陜西 西安 710072)

本征正交分解在翼型氣動(dòng)優(yōu)化中的應(yīng)用研究

李 波，龔春林，粟 華，谷良賢

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院 空天飛行技術(shù)研究所,陜西 西安 710072)

為降低機(jī)翼翼型氣動(dòng)優(yōu)化的仿真代價(jià)，提出了一種基于本征正交分解(POD)的翼型自適應(yīng)快速優(yōu)化方法。建立氣動(dòng)流場(chǎng)數(shù)據(jù)的代理模型以預(yù)測(cè)流場(chǎng)。為簡(jiǎn)化求解規(guī)模和難度，采用POD代理模型優(yōu)化。為進(jìn)一步提高精度，提出了基于序貫POD代理模型自適應(yīng)優(yōu)化，在優(yōu)化過程中實(shí)時(shí)更新POD基，即在優(yōu)化中間結(jié)果的基礎(chǔ)上重新采樣，以更新POD空間，基于動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)庫(kù)構(gòu)建代理模型。給出了不同優(yōu)化方法的求解流程。以NACA0012翼型為例分別對(duì)直接翼型優(yōu)化、基于代理模型的翼型優(yōu)化和基于POD代理模型的翼型優(yōu)化方法進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明：與直接優(yōu)化方法相比，基于POD代理模型的翼型優(yōu)化能顯著提升優(yōu)化效率，且擬合精度更高。

翼型設(shè)計(jì)； 氣動(dòng)優(yōu)化； 模型降階； 本征正交分解(POD)； 代理模型； 基于序貫POD代理模型； 優(yōu)化效率； 擬合精度

0 引言

改善飛行器的升阻力特性一直是飛行器設(shè)計(jì)追求的重要指標(biāo)。氣動(dòng)優(yōu)化涉及大量的氣動(dòng)分析，存在計(jì)算周期長(zhǎng)、數(shù)據(jù)處理繁瑣的不足。基于代理模型的氣動(dòng)優(yōu)化是提高效率最有效的方法之一，在氣動(dòng)優(yōu)化中獲得了大量應(yīng)用[1]。文獻(xiàn)[2]將動(dòng)網(wǎng)格引入翼型設(shè)計(jì)優(yōu)化，用自編程序?qū)崿F(xiàn)動(dòng)網(wǎng)格生成，通過集成商業(yè)軟件Pointwise，CFD計(jì)算軟件Fluent 完成邊界條件生成和流場(chǎng)解算節(jié)省大量的重復(fù)性操作；文獻(xiàn)[3]建立了升力系數(shù)和阻力系數(shù)的Kriging自適應(yīng)代理模型與支持向量回歸自適應(yīng)代理模型，明顯提高了氣動(dòng)分析的計(jì)算效率；文獻(xiàn)[4]綜合Kriging代理模型和遺傳算法進(jìn)行了低雷諾數(shù)翼型的氣動(dòng)外形正優(yōu)化設(shè)計(jì)。但在流體分析階段，直接基于流體計(jì)算軟件的優(yōu)化過程的時(shí)間代價(jià)很大；代理模型只能建立計(jì)算狀態(tài)、幾何參數(shù)與升力系數(shù)、阻力系數(shù)等氣動(dòng)標(biāo)量數(shù)據(jù)間的關(guān)系，丟棄了流場(chǎng)中大量的氣動(dòng)特征，如壓強(qiáng)系數(shù)、摩擦因數(shù)等場(chǎng)量分布數(shù)據(jù)，構(gòu)建的近似模型實(shí)際上已失去了描述完整流場(chǎng)的能力，而這些場(chǎng)量數(shù)據(jù)恰是構(gòu)成升阻力等氣動(dòng)評(píng)價(jià)指標(biāo)的關(guān)鍵，這必然會(huì)降低評(píng)價(jià)指標(biāo)的擬合精度。

通常，應(yīng)用POD代理模型需要提前獲取一定數(shù)據(jù)的流場(chǎng)信息，即需已知流場(chǎng)的部分采樣解。原實(shí)際物理模型信息可通過系統(tǒng)的若干已知試驗(yàn)解(或數(shù)值解)提取得到，或通過大量的仿真數(shù)據(jù)獲取?；赑OD的氣動(dòng)優(yōu)化流程能盡可能全面地利用原氣動(dòng)數(shù)據(jù)特性以提高擬合精度。本文將POD方法引入翼型氣動(dòng)優(yōu)化，建立氣動(dòng)流場(chǎng)數(shù)據(jù)的代理模型，對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)；提出基于POD代理模型的自適應(yīng)序貫優(yōu)化設(shè)計(jì)流程，在優(yōu)化過程中動(dòng)態(tài)修正POD代理模型擬合精度，從而彌補(bǔ)單次POD代理模型構(gòu)建過程中的誤差，以獲得更高的擬合效果。用一個(gè)二維翼型設(shè)計(jì)優(yōu)化對(duì)本文方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證分析。

1 本征正交分解

POD方法中的本征模態(tài)是按對(duì)應(yīng)本征值所含流場(chǎng)能量大小進(jìn)行排序的，通過捕捉高能量本征模態(tài)能較好地描述和分析隨機(jī)場(chǎng)的特性。

1.1POD基本理論

POD方法的一個(gè)重要特點(diǎn)就是可將相干結(jié)構(gòu)及其包含的能量聯(lián)系起來(lái)，即從能量的角度對(duì)場(chǎng)量進(jìn)行分析，并識(shí)別流場(chǎng)中含最大能量的模態(tài)[13]。POD方法的核心是尋找函數(shù)或場(chǎng)量空間{vn(x)∈Ω}的一組“最優(yōu)”正交基{φ1,φ2,φ3,…,φn}。假設(shè)vn(x)可由若干正交基近似，則vn(x)可用這組“最優(yōu)”正交基{φ1,φ2,φ3,…,φn}近似表示，即

(1)

式中：φi(x)為vn(x)的特征函數(shù)或基函數(shù)；ηi為φi(x)的相關(guān)系數(shù)；n為基函數(shù)選取的數(shù)量。為求解φi(x)，需知道vn(x)中的部分樣本點(diǎn)。

(2)

式中：〈 〉為內(nèi)積運(yùn)算符。

用Lagrange乘子法將約束問題式(2)轉(zhuǎn)為無(wú)約束問題，再用變分法來(lái)處理。

定義

K(x,x′)=〈vn(x),vn(x′)〉

(3)

則基函數(shù)φi(x)須滿足

(4)

式中：K(x,x′)為核函數(shù)，是半正定的自關(guān)聯(lián)矩陣。優(yōu)化問題式(2)轉(zhuǎn)為式(4)中求解核函數(shù)K的特征向量和特征值，即可得到最優(yōu)值。

實(shí)際情況下核函數(shù)的規(guī)模很大，直接求解較難。因此，用文獻(xiàn)[14]提出的快照技術(shù)求解。該法的要點(diǎn)是將原函數(shù)空間元素vn(x)用φi(x)的線性組合進(jìn)行近似處理，能一定程度減少計(jì)算內(nèi)存消耗。

1.2POD計(jì)算流程

具體實(shí)現(xiàn)過程如下。

V=[V(1)V(2)…V(k)]T=

(5)

(6)

式中：ai為特征值的特征函數(shù)。將式(6)代入式(4)，與φ的展開式比較可得

GGTA=λA

(7)

此時(shí)將式(2)的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為求GGT的特征值λ。

c)用奇異值分解法求解，G的奇異值可分解為

(8)

d)所得的?的維數(shù)仍很高，需根據(jù)能量信息容量選擇前t階模態(tài)近似整個(gè)數(shù)據(jù)空間[15]。t應(yīng)當(dāng)盡量小，減小特征向量空間的規(guī)模，但應(yīng)盡可能更精確地逼近原數(shù)據(jù)空間。t的選取可用以下方式確定，則有

(9)

式中：I(t)為能量信息容量或能量，I(t)越接近1，表明特征向量空間包含的原信息越完整，越接近原函數(shù)空間，通常認(rèn)為I(t)大于95%即可；λi為Σ中對(duì)角線上按降維排列的特征值。一般情況下，特征值的大小以指數(shù)律下降，故只需較少的模態(tài)數(shù)即可實(shí)現(xiàn)對(duì)原數(shù)據(jù)空間的有效逼近。

e)基函數(shù)對(duì)應(yīng)的系數(shù)可表示為

(10)

f)POD模型可表示為

(11)

2 基于POD代理模型優(yōu)化設(shè)計(jì)

當(dāng)t確定后，vn(x)可直接用系數(shù)η表示，用式(11)即可直接求出。此時(shí)，原vn(x)轉(zhuǎn)換為t維η與φi(x)間的關(guān)系。通常η的維數(shù)仍較大，且不具直觀物理意義。因此，實(shí)際使用時(shí)需建立η的代理模型，以進(jìn)一步將其表示為場(chǎng)量對(duì)應(yīng)狀態(tài)變量的函數(shù)。

2.1POD代理模型優(yōu)化

在長(zhǎng)耗時(shí)和大量數(shù)據(jù)數(shù)值仿真或數(shù)值計(jì)算中，常用代理模型進(jìn)行簡(jiǎn)化求解規(guī)模和難度。對(duì)如RSM，Kriging，RBF等傳統(tǒng)代理模型，建立的代理模型時(shí)通常簡(jiǎn)化為標(biāo)量處理，有

(12)

式中：“∧”表示代理模型輸出[16-18]。

但當(dāng)Y為場(chǎng)量時(shí)，需分別對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)建代理模型，代理模型則會(huì)花費(fèi)極大的計(jì)算資源。且未考慮這些數(shù)據(jù)點(diǎn)間的聯(lián)系，代理模型的精度也會(huì)有損失。

(13)

2.2優(yōu)化流程

對(duì)場(chǎng)量構(gòu)建POD代理模型，將整個(gè)優(yōu)化問題用POD代理模型近似，提出基于POD代理模型優(yōu)化設(shè)計(jì)流程。此時(shí)整個(gè)優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)變量變?yōu)镻OD代理模型基函數(shù)系數(shù)η。

2.2.1 代理模型優(yōu)化流程

不同方法優(yōu)化流程如圖1所示。

由圖1可知：在優(yōu)化過程中，傳統(tǒng)代理模型和POD代理模型都摒棄了優(yōu)化代價(jià)巨大的分析計(jì)算過程，由代理模型近似，提高了計(jì)算效率；與傳統(tǒng)代理模型相比，POD代理模型充分考慮數(shù)據(jù)間的關(guān)系，省去了對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都構(gòu)建代理模型的過程，進(jìn)一步提高了效率。POD代理模型優(yōu)化步驟如下：

a)初始化優(yōu)化問題；

c)計(jì)算POD代理模型基函數(shù)系數(shù)η；

d)基于POD代理模型得到近似輸出；

e)判斷是否收斂，是，退出；否，返回步驟d)。

2.2.2 序貫優(yōu)化流程

整個(gè)優(yōu)化流程的判斷條件變?yōu)镻OD模型精度，每次優(yōu)化結(jié)束后，若POD模型的精度不滿足設(shè)計(jì)要求，則將當(dāng)前最優(yōu)結(jié)果加入POD數(shù)據(jù)庫(kù)中重構(gòu)代理模型，直至滿足POD模型精度要求為止。

3 二維翼型氣動(dòng)優(yōu)化

將本文基于序貫POD代理模型自適應(yīng)優(yōu)化求解方法用于二維翼型的設(shè)計(jì)優(yōu)化。

3.1二維翼型氣動(dòng)優(yōu)化模型

3.1.1 優(yōu)化問題

以NACA0012經(jīng)典翼型測(cè)試本文提出的序貫

POD代理模型自適應(yīng)優(yōu)化求解方法。令設(shè)計(jì)狀態(tài)為：Ma=0.2，ρ=1.225 kg/m3，α=2.27°，Re=4.66×106。優(yōu)化問題為最大化翼型升阻比Cl/Cd，同時(shí)保證阻力系數(shù)Cd小于基準(zhǔn)翼型。優(yōu)化問題數(shù)學(xué)形式可表示為

(14)

3.1.2 翼型采樣

用CST參數(shù)化方法描述翼型截面信息與CST參數(shù)間的關(guān)系[19]。分別用5個(gè)設(shè)計(jì)變量描述二維翼型的上、下表面，其中包括2個(gè)形函數(shù)控制因子和3個(gè)Bernstein多項(xiàng)式權(quán)重控制因子bi。有

(15)

(16)

3.1.3 氣動(dòng)分析

用xfoil軟件對(duì)翼型氣動(dòng)進(jìn)行分析[20]。該軟件是針對(duì)低雷諾數(shù)條件下翼型的數(shù)值模擬而專門開發(fā)的流場(chǎng)求解的開源程序，是國(guó)外用于低雷諾數(shù)翼型計(jì)算的主要工具，其準(zhǔn)確性和可靠性在多篇文獻(xiàn)中得到了驗(yàn)證。

3.1.4 優(yōu)化算法

優(yōu)化采用梯度算法(SNOPT算法)。SNOPT適于大規(guī)模、二次和非線性規(guī)劃。在氣動(dòng)分析中，數(shù)據(jù)的維數(shù)和規(guī)模通常均是超線性的，故本文選擇基于梯度的SNOPT非線性規(guī)劃方法進(jìn)行優(yōu)化。

3.1.5 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

數(shù)據(jù)庫(kù)樣本點(diǎn)采樣用拉丁超立方(LHS)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。LHS實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法每個(gè)因子的水平等于點(diǎn)數(shù)，并進(jìn)行隨機(jī)組合，有能力擬合二階或更非線性的關(guān)系。本文在設(shè)計(jì)初期，采用LHS在設(shè)計(jì)空間內(nèi)抽取樣本點(diǎn)100個(gè)，用xfoil軟件進(jìn)行翼型氣動(dòng)分析，生成各采樣翼型流場(chǎng)解空間，用于構(gòu)建POD代理模型和RBF代理模型。

本文使用的計(jì)算工具配置為：主頻2.1 GHz的Intel雙核處理器，內(nèi)存4 GB；在vs2010平臺(tái)上，采用C++自編程序計(jì)算。

3.2POD模型精度分析

在優(yōu)化過程中，POD代理模型的誤差會(huì)對(duì)最終優(yōu)化結(jié)果精度產(chǎn)生影響。因此，在優(yōu)化前，對(duì)POD代理模型的精度進(jìn)行分析，折中求解計(jì)算過程中模型擬合精度和計(jì)算代價(jià)。

不同基函數(shù)階數(shù)t時(shí)的POD代理模型構(gòu)建時(shí)間和能量信息容量見表1。由表1可知：t=3時(shí)模型精度已高于95%，表明當(dāng)前代理模型構(gòu)建時(shí)所用數(shù)據(jù)庫(kù)中的樣本點(diǎn)數(shù)已足夠；在POD模型擬合精度隨t增加的同時(shí)，構(gòu)建代價(jià)也隨之增加。最終t=19時(shí)，POD代理模型的擬合誤差達(dá)到0.01%，但其構(gòu)建代價(jià)也最大。因此，在優(yōu)化過程中需平衡模型精度與效率。POD代理模型的構(gòu)建雖然花費(fèi)時(shí)間長(zhǎng)，但與CFD等高時(shí)耗的計(jì)算相比，幾乎可忽略不計(jì)，本文在后續(xù)優(yōu)化過程中取t=19進(jìn)行分析計(jì)算。

表1 POD代理模型能量信息容量和構(gòu)建時(shí)間

3.3二維翼型氣動(dòng)優(yōu)化求解

分別對(duì)直接翼型優(yōu)化、基于代理模型的翼型優(yōu)化和基于POD代理模型的翼型優(yōu)化方法進(jìn)行分析。直接翼型優(yōu)化，即建立基于xfoil的直接優(yōu)化方法，每步優(yōu)化氣動(dòng)分析用xfoil軟件直接計(jì)算；基于代理模型的翼型優(yōu)化，用RBF代理模型近似得到翼型的升阻比。

3.3.1 優(yōu)化結(jié)果

將POD代理模型和RBF代理模型的優(yōu)化結(jié)果生成的翼型代入xfoil軟件計(jì)算分析，驗(yàn)證模型精度。不同優(yōu)化方法氣動(dòng)優(yōu)化結(jié)果見表2。由表2可知：與基準(zhǔn)翼型NACA0012的升阻比44.4112相比，均有大幅提升，其中基于POD代理模型的提升較另兩種方法更顯著。表1中的誤差為不同方法優(yōu)化結(jié)果與xfoil驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的對(duì)比誤差，優(yōu)化時(shí)間僅為優(yōu)化過程開始至優(yōu)化迭代結(jié)束的時(shí)間，不包含代理模型構(gòu)建時(shí)間。

表2 不同優(yōu)化方法氣動(dòng)優(yōu)化結(jié)果

自適應(yīng)POD代理模型優(yōu)化過程中，對(duì)POD代理模型進(jìn)行11次重構(gòu)能達(dá)到POD代理模型精度設(shè)計(jì)要求0.01%。序貫優(yōu)化過程中，在每步優(yōu)化迭代過程中，由于式(11)的維度較大導(dǎo)致優(yōu)化變量增加，從而導(dǎo)致優(yōu)化效率降低；代理模型每更新一次代理模型數(shù)據(jù)庫(kù)，整個(gè)POD模型將重構(gòu)一次，一定程度上增加了整個(gè)過程的計(jì)算代價(jià)，但提升了優(yōu)化結(jié)果的精度；整個(gè)POD代理模型序貫優(yōu)化的時(shí)間較直接基于xfoil軟件的優(yōu)化過程大幅減少，優(yōu)化效率明顯提升；但與RBF代理模型相比，POD代理模型序貫優(yōu)化的效率有所降低，降低優(yōu)化效率的同時(shí)增加了優(yōu)化過程和結(jié)果的擬合精度。

3.3.2 結(jié)果分析

不同方法最后優(yōu)化結(jié)果生成的翼型與基礎(chǔ)翼型NACA0012如圖3所示。由圖3可知：三種方法的優(yōu)化結(jié)果均是增加翼型上表面的厚度、減小下表面的厚度，以及改變基準(zhǔn)翼型的彎度增加升阻比。圖3中：c為弦長(zhǎng)。

POD代理模型序貫優(yōu)化結(jié)果代入xfoil軟件中計(jì)算所得的翼型表面壓強(qiáng)系數(shù)分布如圖4所示。由圖4可知：在整個(gè)翼型截面分布中，除前緣部分的誤差較大外，其余部分的擬合精度均較高。前緣部分即在翼型頭部的誤差因翼型頭部的壓強(qiáng)分布梯度變化較大，代理模型難以精確擬合，而有翼型節(jié)點(diǎn)在前緣分布相對(duì)較少也是擬合精度降低的原因。

三種方法目標(biāo)函數(shù)升阻比系數(shù)的迭代收斂結(jié)果如圖5所示。由于本文使用基于梯度的優(yōu)化算法SNOPT，導(dǎo)致不同方法在迭代過程中均出現(xiàn)了一定程度的振蕩，但整個(gè)優(yōu)化過程中收斂趨勢(shì)仍很明顯。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于POD代理模型的高效自適應(yīng)序貫優(yōu)化方法，可為場(chǎng)量數(shù)據(jù)的擬合或優(yōu)化提供一個(gè)有效的解決方法，不僅僅局限于氣動(dòng)場(chǎng)量數(shù)據(jù)。用二維翼型設(shè)計(jì)優(yōu)化進(jìn)行了比較分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：第一，對(duì)比分析了基于直接法、POD代理模型和RBF模型的翼型優(yōu)化方法，基于POD代理模型的翼型優(yōu)化相比于直接優(yōu)化方法能顯著提升優(yōu)化效率，且較代理模型有更高的擬合精度。第二，用基于動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)庫(kù)POD代理模型的自適應(yīng)優(yōu)化模型提升模型構(gòu)建精度，但此過程會(huì)增加優(yōu)化代價(jià)，降低優(yōu)化效率；與CFD等高時(shí)耗的計(jì)算相比，整個(gè)過程計(jì)算量已很小。第三，POD代理模型構(gòu)建需已知一定的采樣解空間；因此，在構(gòu)建POD代理模型前，需已有一定的采樣解以便構(gòu)建POD代理模型；如已有大量的工程試驗(yàn)數(shù)據(jù)，將其構(gòu)建為POD代理模型進(jìn)行優(yōu)化可很大程度提升優(yōu)化效率。隨著對(duì)氣動(dòng)優(yōu)化要求的提高，本文所用的評(píng)價(jià)指標(biāo)升阻比并不能完全描述飛行器的氣動(dòng)性能，后續(xù)研究應(yīng)加入更多有實(shí)際意義的評(píng)價(jià)指標(biāo)和約束。

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ResearchandApplicationonProperOrthogonalDecompositioninAerodynamicOptimizationofAirfoil

LI Bo， GONG Chun-lin， SU Hua， GU Liang-xian

(Institute of Spaceplanes and Hypersonic Technologies, School of Astronautics, Northwestern Polytechnic University, Xi’an 710072, Shaanxi, China)

In order to reduce the simulation cost, an adaptive rapid optimization method based on proper orthogonal decomposition (POD) was proposed in this paper. The surrogate model of aerodynamic flow field data was established to predict the flow field. To simplify the solving and difficulty, POD surrogate model was adopted. To improve the accuracy more, based sequential POD surrogate model was used for adoptive optimal, which would renew POD basis in real time in the optimization process. It meant that the sampling was carried on again to renew POP space based on the intermediate results. The surrogate model was constructed based on dynamic data base. The influence of the POD surrogate model on the direct wing optimization, approximate model optimization and airfoil optimization based on POD surrogate model were compared and analyzed with NACA0012 airfoil as an example. The results showed that the airfoil optimization based on the POD surrogate model could improve the optimization efficiency significantly compared with the direct optimization method, and had higher fitting accuracy than the surrogate model.

airfoil design; aerodynamic optimization; reduced order model; proper orthogonal decomposition(POD); surrogate model; sequential based POD surrogate model; optimal efficiency; fixing accuracy

1006-1630(2017)05-0117-07

2016-12-29；

2017-02-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(51505385)；上海航天科技創(chuàng)新基金資助(SAST2015010)

李 波(1992—)，男，碩士生，主要研究方向?yàn)槎鄬W(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化。

粟 華(1985—)，男，講師，主要從事飛行器總體設(shè)計(jì)、多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化研究。

V211.412

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2017.05.019