楊 婕,劉丙辰,張長(zhǎng)城

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)理學(xué)院,山東青島 266580)

具有非局部邊界的退化拋物方程組的爆破解

楊 婕,劉丙辰,張長(zhǎng)城

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)理學(xué)院,山東青島 266580)

本文研究了具有非局部邊界條件和非局部源的退化拋物方程組的弱解問(wèn)題.利用基于比較原理的上下解的方法,在權(quán)函數(shù)和初始條件的假設(shè)下,獲得了該方程組問(wèn)題的爆破臨界指標(biāo).此外,還獲得了同時(shí)爆破解趨于爆破時(shí)間時(shí)的漸近行為,推廣了已有的結(jié)果.

退化拋物方程組;臨界指標(biāo);漸近行為;非局部邊界

1 引言

在這篇文章中,考慮如下具有非局部源的退化拋物方程組問(wèn)題

其邊界條件為

其初值在邊界上滿足相容性條件

其中? 是有光滑邊界的有界區(qū)域;‖·‖α和‖·‖β是Lα(?)和Lβ(?)范數(shù);m,n,α,β＞1;p1,p2≥0;a,b,q1,q2,m1,m2＞0;權(quán)函數(shù)?1(x,y)和?2(x,y)是上的非負(fù)函數(shù),并且滿足初值u0,v0∈C2+ν,常數(shù)ν∈(0,1).

對(duì)于多孔介質(zhì)方程解的爆破現(xiàn)象,在過(guò)去的十幾年中得到了很大的關(guān)注(參見(jiàn)文獻(xiàn)[1–14]).多孔介質(zhì)方程和系統(tǒng)已經(jīng)成為非常重要的偏微分方程研究領(lǐng)域,具有深刻的物理背景,例如在多孔介質(zhì)力學(xué)、流體力學(xué)、氣體流量、種群生態(tài)領(lǐng)域中,更多的細(xì)節(jié)參見(jiàn)文獻(xiàn)[15–22].

Galaktionov,Kurdyumov和Samarskii在文獻(xiàn)[23,24]中研究了

其具有齊次狄利克雷邊界條件,結(jié)果如下:如果1≤p＜1+μ,1≤q＜1+ν,則在初值和邊界條件下,解整體存在.如果p=1+μ,q=1+ν,且在狄利克雷邊界條件下的最小的特征值滿足λ1＜1,則對(duì)任意初值u0,v0≥0,u0+v0不恒等于0,有T0＜+∞.如果p＞1+μ且q＞1+ν,則存在初值u0,v0≥0使上式成立.假設(shè)p,q≥1,令m=pq?(1+μ)(1+ν).

(i)若m＜0或m=0,且|?|充分小,則對(duì)任意u0,v0,解整體存在.

(ii)若m＞0,則存在初值的集合使解整體存在.

杜力力在文獻(xiàn)[9]中得到了如下系統(tǒng)的爆破解

他們對(duì)于以上的系統(tǒng)建立了爆破臨界指標(biāo),如果m＞p1,n＞p2,q1q2＜(m?p1)(n?p2),那么任意非負(fù)解整體存在.如果m＜p1或n＜p2或q1q2＞(m?p1)(n?p2),那么任意非負(fù)解對(duì)于充分大的初值在有限時(shí)刻爆破,對(duì)于充分小的初值整體存在.如果m＞p1,n＞p2,q1q2=(m?p1)(n?p2),那么任意非負(fù)解對(duì)于充分小的定義域|?|整體存在.假設(shè)p1=0或p1＞m;p2=0或p2＞n;q1＞n,q2＞m且滿足q2＞p1?1,q1＞p2?1以及對(duì)初值的一些假設(shè)條件

葉專和許孝精在文獻(xiàn)[25]中考慮如下具有非局部邊界條件和非局部源的多孔介質(zhì)系統(tǒng)

主要結(jié)果如下:對(duì)于任意的δ＞0滿足并且假設(shè)m＞p,n＞q,(m?p)(n?α)＞qβ,那么任意一個(gè)非負(fù)的解(u,v)都是整體存在的.如果并且以下條件之一成立:

(i)m＜p;

(ii)n＜α;

(iii)(m?p)(n?α)＜qβ,

那么任意非負(fù)解(u,v)對(duì)于充分小的初值整體存在.如果m＜p或n＜α或(m?p)(n?α)＜qβ,那么任意非負(fù)解(u,v)對(duì)于充分大的初值在有限時(shí)刻爆破.對(duì)于任意的δ＞0滿足并且假設(shè)m＞p,n＞q,(m?p)(n?α)=qβ,那么任意非負(fù)解(u,v)對(duì)于充分小的a和b整體存在.在假設(shè)m=n=1,qβ＞(1?α)(1?p)以及對(duì)于初值的一些假設(shè)下,他們給出解的爆破profile.在文獻(xiàn)[25]中沒(méi)有考慮m＞p,n＞q,(m?p)(n?α)=qβ情況下的爆破現(xiàn)象.在本文中,可以通過(guò)對(duì)系統(tǒng)(1.1)–(1.3)的研究,得到該情況的相關(guān)結(jié)果(參見(jiàn)下面的定理3.1(iii)的證明).

在下節(jié)中,將建立弱解的局部存在定理,并給出一些輔助性引理.在第3節(jié)中,將分別討論十個(gè)指標(biāo),兩個(gè)權(quán)函數(shù)和兩個(gè)系數(shù)對(duì)整體存在和爆破解的影響.在最后一節(jié)中,解的漸近性質(zhì)將在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下給出.

2 局部存在性和比較原理

對(duì)于0＜T＜+∞,令?T=?×(0,T),ST=??×(0,T).眾所周知的,退化方程不一定具有古典解,下面給出問(wèn)題(1.1)–(1.3)的弱解的定義.

定義 2.1在上對(duì)于所有的T＞0成立的向量函數(shù)(u(x,t),v(x,t))被稱作系統(tǒng)(1.1)–(1.3)的上解(或下解),如果以下條件成立:

(i)u(x,t),v(x,t)∈L∞(QT);

(ii)u(x,t),v(x,t)≤(≥)0,(x,t)∈ST;u(x,0)≤(≥)u0(x),v(x,0)≤(≥)v0(x),a.e.x∈?;

(iii)對(duì)于任意的t∈[0,T]和

系統(tǒng)(1.1)–(1.3)的一個(gè)弱解是一個(gè)向量函數(shù),同時(shí)也是系統(tǒng)(1.1)–(1.3)的一個(gè)上解和下解.對(duì)任意的T＜∞,如果(u,v)是系統(tǒng)(1.1)–(1.3)的解,就說(shuō)(u,v)是整體存在的.接下來(lái),構(gòu)建整體存在定理,因?yàn)樗淖C明是標(biāo)準(zhǔn)的,在這里僅給出結(jié)果.

定理2.1給定u0,v0∈L∞(?),則對(duì)某些T?=T?(u0,v0)＞0,存在系統(tǒng)(1.1)–(1.3)的非負(fù)弱解(u(x,t),v(x,t))對(duì)于每一個(gè)T＜T?成立,則有T?=∞或者解發(fā)生爆破.

引理2.1(比較原理)令和分別是系統(tǒng)(1.1)–(1.3)的非負(fù)下解和非負(fù)上解.如果有則在?T上,成立.

3 爆破臨界指標(biāo)

定理3.1系統(tǒng)(1.1)–(1.3)的非負(fù)解具有以下的結(jié)果.

(i)如果m＞p1,n＞p2,(m?p1)(n?p2)＞m1q1m2q2,那么所有的非負(fù)解都整體存在.

(ii)令m＜p1或者n＜p2或者(m?p1)(n?p2)＜m1m2q1q2,對(duì)于大初值,解在有限時(shí)刻爆破;對(duì)于小初值,且和解整體存在.

(iii)令m＞p1,n＞p2,(m?p1)(n?p2)=m1q1m2q2,若存在小區(qū)域?或者存在小的a和b,則解整體存在;若存在大初值和充分大的球形域?,或者存在大的a和b,則解在有限時(shí)刻爆破.

證定理3.1(i).首先,定義如下的邊值問(wèn)題

其中η1,η2都是正常數(shù)并滿足0＜φ(x)≤1,0＜ψ(x)≤1.做如下定義

其中在第一個(gè)不等式中利用了ml1＜1.類似的,可以得到

定義

證定理3.1(ii).考慮下面的系統(tǒng)

將在一個(gè)有上界的區(qū)域?中構(gòu)造一個(gè)上解,在此區(qū)域中u,v＞0.利用參考文獻(xiàn)[12]中的方法并將它應(yīng)用到退化方程中去.只需考慮下面的問(wèn)題

其中w+=max{0,w}.令ψ(x)是一個(gè)非平凡非負(fù)的連續(xù)函數(shù)并且在邊界??上為零.不失一般性,假設(shè)0∈?,并且ψ(0)＞0.將構(gòu)造一個(gè)爆破的上解來(lái)完成證明.令

經(jīng)過(guò)直接的計(jì)算得

注意到T＜1充分小.

情形(1)如果0≤r≤NR/(N+1),有w(r)≥R3(3N+1)/(12(N+1)3),那么

情形(2)如果NR/(N+1)＜r≤R,那么

參照參考文獻(xiàn)[15]中的引理2.2,存在兩個(gè)正常數(shù)l1,l2滿足

選擇一個(gè)充分小的正常數(shù)δ使得

由于?(0)＞0并且?(x)連續(xù),存在兩個(gè)正常數(shù)ρ和∈使得?(x)≥∈對(duì)所有的x∈B(0,ρ)??成立.選擇T足夠小來(lái)保證B(0,RTδ)?B(0,ρ),因此在ST上成立.對(duì)于足夠大的有成立.根據(jù)比較原理,如果有得到即(u,v)在有限時(shí)刻爆破.根據(jù)比較原理,由于系統(tǒng)(1.1)–(1.3)的任意非負(fù)解(u,v)一定在有限的時(shí)刻爆破.

第一步證明m＜p1的情況.首先,利用參考文獻(xiàn)[26]中提供的方法,并且令

令w(x)是下面橢圓邊值問(wèn)題的解:?Δw(x)=1,x∈?;w(x)=C0,x∈??.存在正常數(shù)M＞0與C0無(wú)關(guān)且使得C0≤w(x)≤C0+M成立,取C0充分大使得令,其中K1,K2將在后邊被定義.經(jīng)計(jì)算

選擇0＜K1＜1滿足mK1≤1.類似的,可以得到

由于m＜p1,對(duì)于固定的如果充分小,可以得到不等式下面來(lái)計(jì)算邊界條件:由K1,δ0∈(0,1),可得并且類似的,得到利用比較原理,得到則(u,v)整體存在.

第二步n＜p2情況下的證明可由第一步直接平推而來(lái),不再贅述.

第三步對(duì)于(m?p1)(n?p2)＜m1m2q1q2的情況,分為以下三部分進(jìn)行討論.

a)如果m=p1,返回到(3.1)和(3.2)式,選取充分小的并且與不相關(guān),利用第一步的論點(diǎn)與論據(jù)得到結(jié)論.

b)如果n=p2,情況與上面類似,證明省略.

c)如果m＞p1,n＞p2,可以得到下面的不等式

證定理3.1(iii).如果m＞p1,n＞p2,(m?p1)(n?p2)=m1q1m2q2,那么存在兩個(gè)正數(shù)l1,l2＜1滿足定義,其中的K將在后面被定義.用跟定理3.1(i)中相同的創(chuàng)建估計(jì)的方式,可得

易見(jiàn),φR(r)可以在B中標(biāo)準(zhǔn)化得到φR(r)＞0,并且有由特征值和特征方程的性質(zhì)(令),知道和成立,其中和φ1是單位球B1(0)內(nèi)的第一個(gè)特征值和相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征函數(shù).此外,定義函數(shù)為如下形式下面,將會(huì)證明在球B=B(0,R)中在有限的時(shí)間內(nèi)爆破.因此在更大的區(qū)域?中爆破.經(jīng)過(guò)直接的計(jì)算,

4 漸近性質(zhì)

這一部分,討論系統(tǒng)(1.1)–(1.3)在適當(dāng)假設(shè)條件下的漸近性質(zhì).假設(shè)m=n=1,p1＜1,p2＜1,m1q1m2q2＞(1?p2)(1?p1),并且有成立.當(dāng)m=n=1時(shí),系統(tǒng)(1.1)–(1.3)變?yōu)?/p>

假設(shè)系統(tǒng)的解(u,v)在有限時(shí)間T時(shí)爆破.為了方便起見(jiàn),定義

首先證明在假設(shè)條件下解在有限時(shí)間內(nèi)爆破.如果p1＜1,p2＜1,m1q1m2q2＞(1?p2)(1?p1),那么存在兩個(gè)正常數(shù)α2,β2＞1使得

如果s0足夠大的話,s(t)在有限時(shí)間T(s0)爆破.令其中λ是如下特征問(wèn)題的第一特征值0,x∈??,并且?1(x)是相應(yīng)的特征方程,有經(jīng)過(guò)計(jì)算

得到,所以(u,v)在有限時(shí)間內(nèi)爆破.參照參考文獻(xiàn)[25],得到下面的引理.

引理4.1假設(shè)系統(tǒng)(4.1)的解在T時(shí)爆破,則

引理4.2在引理4.1的條件下,下面的極限成立

引理4.3假設(shè)對(duì)任意的x∈ˉ?有Δu0,Δv0≤0,對(duì)(x,y)∈??×?,有?1(x,y)≥0,?2(x,y)≥0,并且 Z

那么Δu≤0,Δv≤0在區(qū)域?中有一個(gè)任意的緊支集.

證易見(jiàn)該引理是參考文獻(xiàn)[1]中引理5.1經(jīng)過(guò)小的修改后的直接結(jié)果.

引理4.4在引理4.1–4.3的條件下,對(duì)區(qū)域?中的任意緊支集,有

證證明與參考文獻(xiàn)[25]類似.

定義4.1如果接下來(lái)定義f(t)～g(t).顯而易見(jiàn)的,等價(jià)關(guān)系具有以下的性質(zhì):

1)如果f(t)～g(t),?k∈R,有fk(t)～gk(t);

2)如果f(t)～g(t),g(t)～h(t),有f(t)～h(t);

3)如果f(t)～g(t),?(t)～ ψ(t);有f(t)?(t)～g(t)ψ(t).

4)如果f(t)～g(t),有

定理4.1在引理4.4以及m1q1m2q2＞(1?p1)(1?p2)的條件下,有

證由于

由引理4.4的結(jié)論,即

將上面的等式與(4.3)結(jié)合起來(lái),就得到了期望的結(jié)果.

[1]Cui Zhoujin,Yang Zuodong.Roles of weight functions to a nonlinear porous medium equation with nonlocal source and nonlocal boundary condition[J].J.Math.Anal.Appl.,2008,342(1):559–570.

[2]Lin zhigui,Liu Yurong.Uniform blow-up profile for diffusion equations with nonlocal source and nonlocal boundary[J].Acta Math.Sci.,2004,24B(3):443–450.

[3]Du Lili.Blow-up for a degenerate reaction-diffusion system with nonlinear localized sources[J].J.Math.Anal.Appl.,2006,324(1):304–320.

[4]Wang Minxing,Wei Yunfeng.Blow-up properties for a degenerate parabolic system with nonlinear localized sources[J].J.Math.Anal.Appl.,2008,343(2):621–635.

[5]Fan Mingshu,Du Lili,He Qiaolin.Blow-up properties for a degenerate parabolic system with nonlinear localized sources[J].J.Comput.Appl.Math.,2010,235(1):91–101.

[6]Lu Haihua,Wang Mingxin.Global solutions and blow-up problems for a nonlinear degenerate parabolic system coupled via nonlocal sources[J].J.Math.Anal.Appl.,2007,333(2):984–1007.

[7]Du Lili,Mu Chunlai.Global existence and blow-up analysis to a degenerate reaction-diffusion system with nonlinear memory[J].Nonl.Anal.,2008,9(2):303–315.

[8]Deng Wenbo.Global existence and finite time blow-up for a degenerate reaction-diffusion system[J].Nonl.Anal.,2005,60(5):977–991.

[9]Du Lili.Blow-up for a degenerate reaction-diffusion system with nonlinear nonlocal sources[J].J.Comput.Appl.Math.,2007,202(2):237–247.

[10]Deng Wenbo,Li Yangxing,Xie Chunhua.Existence and nonexistence of global solutions of some nonlocal degenerate parabolic equations[J].Appl.Math.Lett.,2003,16(5):803–808.

[11]Fila M,Quittner P.The blow-up rate for a semilinear parabolic system[J].J.Math.Anal.Appl.,1999,238(2):468–476.

[12]Souplet Ph.Uniform blow-up profiles and boundary behavior for diffusion equations with nonlocal nonlinear source[J].J.Di ff.Equa.,1999,153(2):374–406.

[13]Wang Mingxi.Blow-up rate estimates for semilinear parabolic systems[J].J.Di ff.Equa.,2001,170(2):317–324.

[14]Lin Zhigui,Xie Chunhua.The blow-up rate for a system of heat equations with nonlinear boundary conditions[J].Nonl.Anal.,1998,34(5):767–778.

[15]Day WA.Extensions of property of heat equation to linear thermoelasticity and other theories[J].Quart.Appl.Math.,1982,40(3):319–330.

[16]Day WA.A decreasing property of solutions of parabolic equations with applications to thermoelasticity[J].Quart.Appl.Math.,1982/83,40(1):468–475.

[17]Diaz J I,Kersner R.On a nonlinear degenerate parabolic equation in in filtration or evaporation through a porous medium[J].J.Di ff.Equa.,1987,69(3):368–403.

[18]Cantrell R S,Cosner C.Di ff usive logistic equations with inde finite weights:population models in disrupted environments II[J].SIAM J.Math.Anal.,1991,22(4):1043–1064.

[19]Furter J,Grinfeld M.Local vs.nonlocal interactions in population dynamics[J].J.Math.Biol.,1989,27(1):65–80.

[20]Carlson D E.Linear thermoelasticity,encyclopedia of physics,Vol.2[M].Berlin:Springer,1972.

[21]陳佳佳,穆春來(lái).一類非線性拋物方程組解的爆破時(shí)間上下界估計(jì)[J].數(shù)學(xué)雜志,2012,32(5):897–903.

[22]Li Mei,Xie Chunhong.Global existence and blow-up of solutions for degenerate paraboloc systems[J].J.Math.,2004,24(2):197–203.

[23]Galaktionov V A,Kurdyumov S P,Samarskii A A.A parabolic system of quasi-linear equations I[J].Di ff.Equa.,1983,19(3):1558–1571.

[24]Galaktionov V A,Kurdyumov S P,Samarskii A A.A parabolic system of quasi-linear equations II[J].Di ff.Equa.,1985,21(1):1049–1062.

[25]Ye Zhuan,Xu Xiaojing.Global existence and blow-up for a porous medium system with nonlocal boundary conditions and nonlocal sources[J].Nonl.Anal.,2013,82(1):115–126.

BLOW-UP SOLUTIONS TO DEGENERATE PARABOLIC EQUATIONS WITH NONLOCAL BOUNDARY

Yang Jie,Liu Bing-chen,Zhang Chang-cheng
(School of Science,China University of Petroleum,Qingdao 266580,China)

In this paper,we consider the weak solutions of the degenerate parabolic equations coupled via nonlocal sources,subject to nonlocal boundary conditions.By using the comparison principle,the critical blow-up exponent is obtained under the help of the weighted functions and the initial data.Moreover,asymptotic behavior near blow-up time is obtained for simultaneous blow-up solutions,which extends the known results in the previous paper.

degenerate parabolic equations;critical exponents;asymptotic behavior;nonlocal boundary

35K65;35K61;35B33;35B40

O175.29

A

0255-7797(2017)06-1275-12

2016-02-12接收日期:2016-04-22

國(guó)家自然科學(xué)基金(11201483);山東省自然科學(xué)基金(ZR2016AM12);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(15CX08011A).

楊婕(1991–),女,山東濰坊,碩士,主要研究方向:非線性偏微分方程.