張忠楨， 駱漢賓， 余群舟， 盛 達(dá)

(華中科技大學(xué)工程管理研究所, 湖北 武漢 430074)

地鐵圓弧形隧道等腰楔形環(huán)的拼裝與設(shè)計(jì)
——齊次變換方法

張忠楨， 駱漢賓， 余群舟， 盛 達(dá)

(華中科技大學(xué)工程管理研究所, 湖北 武漢 430074)

為提高地鐵盾構(gòu)隧道施工效率和管片拼裝精度，提出用等腰楔形環(huán)拼裝圓弧形盾構(gòu)隧道的新的理論與算法。主要結(jié)論如下： 1)從理論上證明當(dāng)?shù)妊ㄐ苇h(huán)依次向相反方向旋轉(zhuǎn)相同角度θ時(shí)，隧道軸線在一個(gè)平面上，隧道半徑R=L/(2sinα/2· cosθ/2)，其中L是環(huán)寬，α是楔形角； 2)提出一種采用容許旋轉(zhuǎn)角拼裝楔形環(huán)的算法，確定整個(gè)盾構(gòu)隧道上每個(gè)襯砌管片環(huán)的位置和方位； 3)根據(jù)楔形環(huán)的方位可以確定隧道上的第幾環(huán)是左轉(zhuǎn)彎環(huán)，第幾環(huán)是右轉(zhuǎn)彎環(huán)，使封頂塊的位置在隧道上部，從而確定整個(gè)盾構(gòu)線路所需左、右轉(zhuǎn)彎環(huán)的數(shù)量。

地鐵圓弧形隧道； 管片拼裝； 等腰楔形環(huán)； 容許旋轉(zhuǎn)角； 齊次變換

0 引言

管片選型與拼裝是地鐵盾構(gòu)隧道建設(shè)的關(guān)鍵。從襯砌管片環(huán)的組合方式看主要有3種： 標(biāo)準(zhǔn)環(huán)加左、右轉(zhuǎn)彎環(huán)； 通用管片環(huán)； 左、右轉(zhuǎn)彎環(huán)。

國(guó)內(nèi)地鐵普遍采用第1種管片環(huán)組合方式對(duì)圓曲線和緩和曲線盾構(gòu)隧道進(jìn)行排版計(jì)算[1-7]，計(jì)算依據(jù)是根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出來(lái)的2張表。1)一張表是楔形量、楔形角與管片環(huán)外徑關(guān)系表。例如： 管片環(huán)外徑為6～8 m時(shí)，楔形量為30～90 mm； 管片環(huán)外徑為10 m以上時(shí)，楔形量為40～70 mm。2)另一張表是標(biāo)準(zhǔn)環(huán)與楔形環(huán)配比表。例如： 隧道半徑為300 m時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)環(huán)與楔形環(huán)的環(huán)數(shù)比為1∶1； 半徑500 m時(shí)為7∶3； 半徑 1 000 m 時(shí)為17∶3。為了得到半徑更大的圓弧形隧道，設(shè)計(jì)時(shí)將楔形環(huán)旋轉(zhuǎn)一定角度與標(biāo)準(zhǔn)環(huán)對(duì)接。楔形環(huán)旋轉(zhuǎn)后，朝向隧道軸線中心的楔形量變小，垂直方向的楔形量變大。不同旋轉(zhuǎn)角的環(huán)寬不同，需列出第3張表，叫做楔形環(huán)管片端點(diǎn)寬度計(jì)算表。表中每行4個(gè)環(huán)寬數(shù)值，兩兩的差值便是朝向隧道軸線中心的楔形量和垂直方向的楔形量。最后歸結(jié)為一個(gè)平面幾何公式： 弧長(zhǎng)等于半徑乘以圓心角，這里的弧長(zhǎng)便是要建的隧道長(zhǎng)度。

按以上計(jì)算方法確定的楔形環(huán)的楔形量普遍偏大，因而對(duì)標(biāo)準(zhǔn)環(huán)、左右轉(zhuǎn)彎環(huán)所需數(shù)量的估計(jì)粗略。

標(biāo)準(zhǔn)環(huán)又稱作直線環(huán)，對(duì)于向圓弧隧道內(nèi)側(cè)偏移的管片環(huán)有向外糾偏的作用。但是，如果一個(gè)管片環(huán)既向圓弧隧道內(nèi)側(cè)偏移，其朝向又偏離設(shè)計(jì)隧道平面時(shí)，安裝標(biāo)準(zhǔn)環(huán)可能使其首端面中心離設(shè)計(jì)隧道平面更遠(yuǎn)。由于標(biāo)準(zhǔn)環(huán)的糾偏作用有限，有些城市(如深圳地鐵一期工程第7標(biāo)段)開始僅采用一種型式的楔形環(huán)，稱為通用管片環(huán)[8]，拼裝盾構(gòu)隧道。由于封頂塊僅限于環(huán)的一側(cè)，安裝時(shí)有些楔形環(huán)的封頂塊會(huì)朝下，給施工帶來(lái)一些困難。國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)中有許多關(guān)于通用楔形環(huán)的模擬或虛擬拼裝算法[9-12]，這些算法僅僅以相鄰2環(huán)的拼裝計(jì)算公式為基礎(chǔ)。當(dāng)環(huán)數(shù)較多時(shí)計(jì)算工作量很大，難以找到充分接近設(shè)計(jì)隧道軸線的拼裝方案。

本文將介紹如何利用左右轉(zhuǎn)彎環(huán)拼裝圓弧形隧道。根據(jù)筑龍網(wǎng)的一篇文章《鋼筋混凝土襯砌管片的設(shè)計(jì)與制造》介紹，這種方法歐洲常采用，國(guó)內(nèi)地鐵區(qū)間未采用。左右轉(zhuǎn)彎環(huán)都是等腰楔形環(huán)(也叫做雙面楔形環(huán))，封頂塊在環(huán)的腰部，但位置不同，成鏡像對(duì)稱。本文通過(guò)在每個(gè)管片環(huán)上建立一個(gè)空間坐標(biāo)系，利用齊次變換方法精確地計(jì)算出成型隧道每一環(huán)的位置和方位。根據(jù)楔形環(huán)的方位可以確定隧道上的第幾環(huán)是左轉(zhuǎn)彎環(huán)，第幾環(huán)是右轉(zhuǎn)彎環(huán)，使封頂塊的位置在隧道上部，從而確定盾構(gòu)線路所需左、右轉(zhuǎn)彎環(huán)的數(shù)量，為楔形環(huán)的采購(gòu)計(jì)劃提供理論依據(jù)。

本文介紹的計(jì)算方法可以提高隧道襯砌管片的通用性，降低管片制造成本，為實(shí)現(xiàn)地鐵盾構(gòu)隧道精確拼裝提供新的途徑。

1 等腰楔形環(huán)的幾何性質(zhì)及坐標(biāo)系的設(shè)置

在地鐵隧道施工過(guò)程中，盾構(gòu)每推進(jìn)一段距離，就安裝一節(jié)管片環(huán)。通用楔形環(huán)具有統(tǒng)一的幾何尺寸，不僅能形成直線隧道，還能形成曲線隧道。本文研究如何采用等腰楔形環(huán)拼裝圓弧形隧道，使盾構(gòu)施工滿足設(shè)計(jì)要求。

圖1 等腰楔形環(huán)的幾何形狀

例如，武漢市某地鐵線路所用楔形環(huán)尺寸為： 外徑D2=6.2 m，環(huán)寬L=1.5 m, 最小環(huán)寬L1=1.48 m, 最大環(huán)寬L2=1.52 m, 楔形量δ=40 mm。 要求拼裝一段半徑等于450 m的圓弧形隧道。 可以算出橢圓長(zhǎng)軸等于6.200 032 m，楔形角α=0.369 649°。

設(shè)G0、G1、G2、…、Gi是依次安裝的楔形環(huán)，它們的中心軸線首尾相連形成的一條折線稱為隧道軸線。要求安裝成型的隧道軸線與隧道設(shè)計(jì)軸線DTA(designed tunnel axis)盡可能一致。在我們的研究中，楔形環(huán)的初始排列是最小環(huán)寬處與最小環(huán)寬處、最大環(huán)寬處與最大環(huán)寬處正對(duì)齊。這時(shí)相鄰2個(gè)楔形環(huán)中心軸線的夾角最小, 隧道軸線成為半徑最小的“圓弧”。為了得到更大半徑的圓弧，需要將相鄰2個(gè)楔形環(huán)向相反的方向旋轉(zhuǎn)同樣大小角度，即使得相鄰2個(gè)楔形環(huán)接觸面橢圓長(zhǎng)軸的夾角相等。其大小用θ表示，稱為相鄰2個(gè)楔形環(huán)的夾角。θ=0°時(shí)即為楔形環(huán)排列的初始位置；θ=180°時(shí)，隧道軸線成直線形。以下都約定 0≤θ<180°。

每個(gè)楔形環(huán)沿盾構(gòu)推進(jìn)方向的那一面稱為首端面，后面那一面稱為末端面。第i個(gè)楔形環(huán)Gi首端面的中心用oi表示，末端面的中心用oib表示。為了描述不同θ值時(shí)每個(gè)楔形環(huán)兩端中心的位置以及楔形環(huán)的方位，以每個(gè)楔形環(huán)的首端面為yz平面建立右手直角坐標(biāo)系。第i個(gè)楔形環(huán)Gi上的直角坐標(biāo)系記為oixiyizi, 其原點(diǎn)是首端面的中心，x軸與首端面垂直，指向盾構(gòu)前進(jìn)方向；y軸與橢圓長(zhǎng)軸重合，方向由最大環(huán)寬處指向最小環(huán)寬處；z軸與橢圓短軸重合，方向按右手規(guī)則確定。

本文以楔形環(huán)G0上的坐標(biāo)系作為“全局坐標(biāo)系”，記為oxyz，這意味著G0不旋轉(zhuǎn)，從G1起各楔形環(huán)依次繞前面的楔形環(huán)向相反方向旋轉(zhuǎn)θ度。為了計(jì)算每個(gè)楔形環(huán)在全局坐標(biāo)系中的位置和方位，需要用到齊次變換。

2 隧道軸線的位置、中心及半徑

2.1隧道軸線的平面性質(zhì)

本節(jié)說(shuō)明隧道軸線在全局坐標(biāo)系中的位置、中心及半徑。首先證明，當(dāng)相鄰楔形環(huán)向相反方向旋轉(zhuǎn)相等角度時(shí)，形成的隧道軸線在同一個(gè)平面上。楔形環(huán)排列的初始位置及G1旋轉(zhuǎn)后的情形如圖2所示。

(a) 楔形環(huán)排列的初始位置

(b) 楔形環(huán)G1首端面中間部分的俯視圖

圖2(a)顯示楔形環(huán)G0、G1和G2排列的初始位置，它們的最小環(huán)寬處與最小環(huán)寬處、最大環(huán)寬處與最大環(huán)寬處完全對(duì)齊，這時(shí)產(chǎn)生最大彎曲效果。

在圖2(a)中，o1A垂直于x軸,o1B垂直于y軸。利用直角三角形相似關(guān)系，可以得到∠o1oA=α/2。記|oA| =a, |oB| =b，由于|oo1| =L,得到

整理后得到

-bsinθx-asinθy+a(1+cosθ)z=0。

將a和b的表達(dá)式代入上式并消去L可得

(1)

利用三角函數(shù)公式也可將式(1)表示為

(2)

這個(gè)平面用Ptunnel表示。

為了得到圓弧形隧道，將Gi+1繞Gi上的xi軸旋轉(zhuǎn)-θ度，將Gi+2繞Gi+1上的xi+1軸旋轉(zhuǎn)θ度，i=1, 3,…，即相鄰的楔形環(huán)向相反的方向相對(duì)旋轉(zhuǎn)θ度。

為了計(jì)算楔形環(huán)Gi上每一點(diǎn)在全局坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)，需要用到以下幾種形式的基本變換，分別為繞x軸的旋轉(zhuǎn)、平移和繞z軸的旋轉(zhuǎn)：

令

T(θ)=Rot(x;θ)Trans(a,b,0)Rot(z；α)=

(3)

將坐標(biāo)系oxyz移動(dòng)到oixiyizi的變換矩陣如下：

下文證明楔形環(huán)G2首端面中心o2的3個(gè)坐標(biāo)滿足式(1), 即o2也在平面Ptunnel上。

(4)

其前3個(gè)分量便是o2在坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)。 將其代入式(1)的左邊得

在以上推導(dǎo)過(guò)程中，除了消掉若干項(xiàng)外，還用到公式：

sin2θ+cos2θ=1 。

所以，楔形環(huán)G2的首端面中心o2在平面Ptunnel上。

同樣，如果將楔形環(huán)G1首端面上的坐標(biāo)系o1x1y1z1作為全局坐標(biāo)系oxyz，可以證明G3首端面中心o3在由o1b、o和o2確定的平面上，因而在平面Ptunnel上。 其中o1b是G1末端面的中心。 以此類推，可以證明所有楔形環(huán)兩端的中心都在同一個(gè)平面上，故Ptunnel是隧道軸線所在的平面，稱為隧道軸線平面或隧道平面。

2.2圓弧形隧道軸線的中心及半徑

本節(jié)首先求楔形環(huán)G1的首端面，G0的首端面和末端面所在平面的交點(diǎn)，然后證明此交點(diǎn)到每個(gè)楔形環(huán)兩端中心的距離相等。

cosαx+sinαcosθy+sinαsinθz=acosα+b·sinαcos2θ+bsinαsin2θ=acosα+bsinα。

將a和b的表達(dá)式代入上式化簡(jiǎn)得

楔形環(huán)G0末端面中心o0b的坐標(biāo)為(-a,b,0)，容易求得G0末端面的平面方程為

將G1的首端面，G0的首端面和末端面的交點(diǎn)記為O，則

(5)

容易驗(yàn)證它滿足式(2)，即O在隧道軸線平面上。

下文求o到O的距離。

經(jīng)化簡(jiǎn)得

(6)

同理可證明楔形環(huán)G2首端面的中心o2到O的距離也等于R(略)。

同樣，如果將楔形環(huán)G1首端面上的坐標(biāo)系o1x1y1z1作為全局坐標(biāo)系oxyz，可以證明G3首端面中心o3到O的距離也等于R。 以此類推，可以證明所有楔形環(huán)兩端的中心到O的距離都等于R，即所有楔形環(huán)兩端的中心在一個(gè)以O(shè)為圓心、半徑等于R的圓弧上。 所以O(shè)是隧道軸線中心，簡(jiǎn)稱隧道中心；R是隧道軸線半徑，簡(jiǎn)稱隧道半徑。

在式(6)中令θ=0，可得到

這是楔形環(huán)最小環(huán)寬處與最小環(huán)寬處、最大環(huán)寬處與最大環(huán)寬處完全對(duì)齊時(shí)的隧道半徑。

為了錯(cuò)縫拼裝，楔形環(huán)至少要旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θmin，可以形成的圓弧隧道半徑大于或等于

(7)

2.3隧道平面坐標(biāo)系統(tǒng)

上文將全局坐標(biāo)系oxyz建立在楔形環(huán)G0首端面，求出了隧道軸線平面方程、中心的位置以及隧道半徑； 但是隧道軸線不在oxyz的坐標(biāo)平面上，中心不在坐標(biāo)軸上。此節(jié)以隧道軸線平面為XY平面，仍以o為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系oXYZ，以便將坐標(biāo)系oxyz中表示的隧道軸線以及其他一些參數(shù)換算成oXYZ中的坐標(biāo)，更直觀地反映成型隧道中每個(gè)楔形環(huán)的位置和方位。 可以推導(dǎo)出將坐標(biāo)系oXYZ移動(dòng)到oxyz的變換矩陣如下：

(8)

其中

可得

前文已經(jīng)指出θ是小于180°的正數(shù)，故隧道平面的法向量與坐標(biāo)系oXYZ的Z軸同方向，即隧道軸線在oXYZ坐標(biāo)系的XY平面上。

2.4用等腰楔形環(huán)拼裝圓弧形隧道的算例

從上面的分析可以得到以下結(jié)論。

2)在楔形環(huán)尺寸給定的條件下，由于楔形環(huán)的拼裝點(diǎn)位有限，實(shí)際只能形成有限的幾種隧道半徑。例如，有的楔形環(huán)由6個(gè)管片拼接而成，2楔形環(huán)對(duì)接有16個(gè)拼裝點(diǎn)位，在圓周上均勻分布，相鄰2個(gè)安裝點(diǎn)位對(duì)應(yīng)的圓心角等于22.5°。由于2環(huán)對(duì)接時(shí)要求管片錯(cuò)縫拼裝，所以θ= 0°不允許, 最小旋轉(zhuǎn)角θmin=22.5°。要形成圓弧形隧道，θ只能是22.5°、45°、67.5°、90°、112.5°、135°、157.5°等7種容許值，得到7種隧道半徑。如果隧道設(shè)計(jì)半徑對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角不等于這7種數(shù)值，安裝楔形環(huán)時(shí)就必須采用多種容許旋轉(zhuǎn)角，形成的隧道軸線不是嚴(yán)格的圓弧形。

3)由隧道半徑的計(jì)算式(6)可以看出，安裝點(diǎn)位給定時(shí)，通過(guò)改變楔形環(huán)的尺寸可以使隧道半徑達(dá)到設(shè)計(jì)要求。

在下文的算例中假設(shè)旋轉(zhuǎn)角θ有22.5°、45°、67.5°、90°、112.5°、135°、157.5°等7種容許值。

2.4.1 算例1

某等腰楔形環(huán)的外徑D2=6.2 m, 寬度L=1.5 m，最小環(huán)寬L1=1.48 m，要求用其拼裝成半徑為450 m的圓弧形隧道。

表1采用7種容許旋轉(zhuǎn)角的圓弧隧道半徑(L1=1.48 m)
Table 1 Tunnel radii by using 7 kinds of allowable rotation angles (L1=1.48 m)

θ/(°)R/m22．5237．0645251．6667．5279．6390328．81112．5418．49135607．55157．51191．75

由表1可知： 容許旋轉(zhuǎn)角等于112.5°時(shí)的隧道半徑為418.49 m，在7個(gè)半徑數(shù)值中最接近設(shè)計(jì)值450 m。容易想到，前2個(gè)楔形環(huán)應(yīng)該依次旋轉(zhuǎn)±112.5°，以后每個(gè)楔形環(huán)旋轉(zhuǎn)多少度由其首端面中心到隧道設(shè)計(jì)軸線的距離確定。具體做法下節(jié)討論。

2.4.2 算例2

某等腰楔形環(huán)的外徑D2=6.2 m, 寬度L=1.5 m，最小環(huán)寬L1=1.485 4 m。要求用其拼裝成半徑為450 m的圓弧形隧道。

表2采用7種容許旋轉(zhuǎn)角的圓弧隧道半徑(L1=1.485 4 m)
Table 2 Tunnel radii by using 7 kinds of allowable rotation angles (L1=1.485 4 m)

θ/(°)R/m22．5324．7345344．7367．5383．0590450．42112．5573．27135832．26157．51632．53

由表2可知：L1=1.485 4 m，θ=90°時(shí), 隧道半徑等于450.42 m，滿足設(shè)計(jì)要求。

在楔形環(huán)的拼裝過(guò)程中, 楔形環(huán)首端面中心不可避免地會(huì)偏離隧道設(shè)計(jì)軸線，產(chǎn)生一定的偏差，需要不斷地調(diào)整楔形環(huán)之間的夾角。當(dāng)楔形環(huán)尺寸固定時(shí)，由表1和表2都可以看出，相鄰2環(huán)的夾角θ增加時(shí)形成的隧道半徑R增加很快。顯然，θ較小時(shí)調(diào)整拼裝誤差要容易一些，故設(shè)計(jì)楔形環(huán)尺寸時(shí)應(yīng)考慮采用較小的楔形量，以便使用較小的容許旋轉(zhuǎn)角安裝楔形環(huán)。

2.4.3 算例3

某等腰楔形環(huán)的外徑D2=6.2 m, 寬度L=1.5 m。根據(jù)不同容許旋轉(zhuǎn)角確定楔形量，使得隧道半徑等于450 m。

當(dāng)楔形環(huán)之間的夾角θ變化時(shí)，楔形環(huán)的楔形角α也要改變才能使得隧道半徑等于設(shè)計(jì)值。在楔形環(huán)外徑D2和寬度L不變的條件下，通過(guò)改變最小環(huán)寬L1可以改變楔形角α。利用式(6), 實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)半徑等于450 m的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)隧道半徑450 m的最小環(huán)寬

楔形量δ=2(L-L1)。由表3可知： 只要楔形量適當(dāng)，采用7種容許旋轉(zhuǎn)角中的任何一種，都可以使隧道半徑接近450 m。

2.4.4 算例4

某等腰楔形環(huán)的外徑D2= 6.2 m, 寬度L=1.5 m，最小環(huán)寬L1=1.485 4 m，用其拼裝圓弧形隧道。楔形環(huán)的旋轉(zhuǎn)角θ=±90°，需要求出以下要素。

1)在坐標(biāo)系oxyz中, 隧道軸線所在平面方程、隧道中心位置以及隧道半徑。

2)在坐標(biāo)系oxyz中, 前10個(gè)楔形環(huán)首端面與隧道軸線平面的夾角。

3)前10個(gè)楔形環(huán)首端面中心在坐標(biāo)系oxyz和oXYZ中的位置。

具體解法如下。

1)根據(jù)式(2), 隧道軸線平面方程為

-0.001 7x-0.707 1y+0.707 1z=0。

此方程經(jīng)過(guò)規(guī)范化，其系數(shù)平方和等于1。根據(jù)式(5)和式(6)，隧道中心O=(0, 318.493 2, 0, 318.492 8), 隧道半徑R=450.417 1 m。

2)利用楔形環(huán)首端面所在平面方程和隧道平面方程，可以求出楔形環(huán)首端面與隧道軸線平面的夾角依次為90.095 3°和89.904 7°。

3)前10個(gè)楔形環(huán)首端面中心在坐標(biāo)系oxyz的坐標(biāo)(x,y,z)，在oXYZ中的坐標(biāo)(X,Y,Z)見(jiàn)表4。

表4 前10個(gè)楔形環(huán)首端面中心的坐標(biāo)

由表4最后一列可見(jiàn)，楔形環(huán)兩端中心都在平面XY上。

另外，還可以計(jì)算出每個(gè)楔形環(huán)的方位。例如，在坐標(biāo)系oXYZ中第1個(gè)楔形環(huán)首端面法向量為(0.999 3, 0.036 6, 0.001 7)。

3 利用不同容許旋轉(zhuǎn)角實(shí)現(xiàn)隧道設(shè)計(jì)半徑

3.1圓弧形隧道楔形環(huán)的排版計(jì)算

在地鐵隧道建設(shè)中，隧道的轉(zhuǎn)彎半徑多種多樣，楔形環(huán)的尺寸和安裝點(diǎn)位可能是固定的，本節(jié)介紹在拼裝過(guò)程中如何根據(jù)安裝點(diǎn)位將楔形環(huán)旋轉(zhuǎn)不同角度得到設(shè)計(jì)要求的隧道。

假設(shè)隧道設(shè)計(jì)半徑為RD，θ0是實(shí)現(xiàn)RD的旋轉(zhuǎn)角，即θ0是由式(6)確定的旋轉(zhuǎn)角，滿足

(9)

楔形環(huán)依次反向旋轉(zhuǎn)θ0得到的隧道軸線稱為精確隧道軸線。 根據(jù)式(5)，這時(shí)的隧道中心為

(10)

根據(jù)式(2)，隧道平面方程為

(11)

一般來(lái)說(shuō)，θ0不是容許旋轉(zhuǎn)角，只能采用一些容許旋轉(zhuǎn)角實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)隧道半徑。在楔形環(huán)對(duì)接點(diǎn)位為16個(gè)的條件下，除了前面提到的7種容許旋轉(zhuǎn)角外還可能使用180°。 下文介紹一種算法安裝楔形環(huán)，計(jì)算步驟大致如下：

1)利用式(9)確定的旋轉(zhuǎn)角θ0旋轉(zhuǎn)楔形環(huán)，構(gòu)造一個(gè)半徑等于RD的精確隧道軸線。

2)采用容許旋轉(zhuǎn)角拼裝楔形環(huán)，使成型隧道軸線盡可能接近精確隧道軸線。

3)以精確隧道軸線所在平面為XY平面建立坐標(biāo)系，在其中反映上一步得到的每個(gè)楔形環(huán)的位置和方位。

為表述方便，下文用Oi表示第i個(gè)楔形環(huán)首端面中心在精確隧道軸線上的位置，oi表示使用容許旋轉(zhuǎn)角得到的位置，假設(shè)共安裝n個(gè)楔形環(huán)。

3.1.1 采用多種容許旋轉(zhuǎn)角實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)隧道半徑

其中‖·‖2表示歐氏范數(shù)，arg min表示使‖·‖2取得極小的θ值。 作變換

3.1.2 算例

某等腰楔形環(huán)的外徑D2=6.2 m,寬度L=1.5 m，最小環(huán)寬L1=1.48 m。 要求用其拼裝成半徑為450 m的圓弧形隧道，共100環(huán)。

此處隧道設(shè)計(jì)半徑RD=450 m，利用式(9)可得cos (θ0/2)=0.516 7，θ0=117.781 8°。 根據(jù)式(5), 在坐標(biāo)系oxyz中，θ0對(duì)應(yīng)的隧道中心O=(0, 232.501 4, 385.283 1)m； 根據(jù)式(2)，隧道平面方程為

-0.002 8x-0.856 2y+0.516 7z=0。

(12)

此方程已規(guī)范化，即其系數(shù)的平方和等于1。

按3.1.1方法步驟計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5。 其前3列數(shù)字是采用容許旋轉(zhuǎn)角得到的各楔形環(huán)中心在坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)，即oi的3個(gè)分量。 |oiOi|列的數(shù)字是oi到Oi的距離(Oi的3個(gè)分量未列于表中)。 disP0列的數(shù)字是將oi的3個(gè)分量代入平面方程式(12)左邊得到的數(shù)值, 是oi到精確隧道平面的“距離”，負(fù)數(shù)表示oi在該平面之下，單位都是m。θ列的數(shù)字是楔形環(huán)的旋轉(zhuǎn)角度。

表5 100個(gè)楔形環(huán)首端面中心的坐標(biāo)及有關(guān)參數(shù)
Table 5 Coordinates of front centers of 100 wedged rings and relevant parameters

楔形環(huán)x/my/mz/m|oiOi|/mdisP0/mθ/(°)11．5000-0．00190．00450．0004-0．0002112．523．0000-0．00070．01340．0013-0．0007-112．534．49990．00180．02580．0009-0．000713545．99980．00540．04340．00120．0012-112．557．49960．01690．06630．0032-0．000922．568．99930．02740．09080．0023-0．0014157．5710．49910．03680．11680．0035-0．0001-157．5811．99860．05140．15080．00440．000722．5913．49790．07140．19260．00130．0011-22．51014．99720．09290．23340．0022-0．0004-157．51116．49650．11440．27410．0088-0．00191801217．99550．13780．32420．0112-0．000122．51319．49410．16450．38260．01030．0029-451420．99240．19920．44620．00540．0020-22．51522．49030．23650．51610．00260．0021901623．98820．27380．58600．00390．00211801725．48600．31290．65630．00150．0008157．51826．98350．35690．73140．0023-0．0022-901928．48070．40220．80990．0047-0．00461352029．97760．44610．89630．0024-0．0016-67．53044．92501．05261．98400．0056-0．0002904059．82221．91983．50120．00450．0000-455074．65233．04555．44460．0010-0．0006906089．40044．42347．80510．0026-0．001522．570104．04876．055010．58710．0023-0．00169080118．58297．936613．78000．0072-0．0030-22．590132．982210．070017．39730．0012-0．0003-157．5100147．236312．448321．41500．0025-0．000245

由表5中|oiOi|和disP0列數(shù)字可知，根據(jù)3.1.1方法形成的隧道軸線很接近精確隧道軸線，基本上在隧道平面上。由表5中θ列可知，旋轉(zhuǎn)角變化很大，最小和最大容許旋轉(zhuǎn)角都列在其中。

表6 100個(gè)楔形環(huán)首端面中心在坐標(biāo)系oXYZ中的坐標(biāo)及隧道半徑
Table 6 Coordinates of front centers of 100 wedged rings inoXYZand tunnel radii m

楔形環(huán)XYZR11．50000．0029-0．0002449．999623．00000．0111-0．0007449．998934．49990．0230-0．0007449．999545．99980．04000．0012450．000057．49960．0655-0．0009449．997068．99940．0919-0．0014449．9981710．49910．1190-0．0001450．0035811．99870．15570．0007450．0043913．49800．20180．0011450．00071014．99730．2478-0．0004450．00221116．49660．2938-0．0019450．00861217．99560．3488-0．0001450．01121319．49420．41260．0029450．00991420．99240．48490．0020450．00501522．49040．56400．0021449．99831623．98830．64320．0021449．99671725．48610．72350．0008449．99881826．98360．8106-0．0022449．99921928．48080．9013-0．0046450．00092029．97770．9979-0．0016450．00173044．92522．2425-0．0002450．00564059．82243．98960．0000450．00455074．65266．2351-0．0006450．00036089．40078．9680-0．0015450．001970104．049112．1930-0．0016450．001380118．583315．8989-0．0030450．006590132．982720．0982-0．0003450．0000100147．236824．7669-0．0002450．0021

由表6的Z列和R列可知，每個(gè)楔形環(huán)兩端面中心離XY平面很近，到(0, 450)的平面距離都接近450 m。第28個(gè)楔形環(huán)首端面中心到XY平面的距離最遠(yuǎn)，為0.009 206 m(表6的Z列未列出)。

由上分析，還可以給出每個(gè)楔形環(huán)的方位。例如，在坐標(biāo)系oXYZ中，第1個(gè)楔形環(huán)首端面的法向量為(0.999 990, 0.003 828, 0.002 432)。

3.2楔形環(huán)的實(shí)際應(yīng)用方法

按圖2(a)每個(gè)楔形環(huán)上坐標(biāo)系的設(shè)置，第i個(gè)楔形環(huán)的封頂塊在oixiyizi坐標(biāo)系的zi軸方向時(shí)，為左轉(zhuǎn)彎環(huán)；在-zi軸方向時(shí)，為右轉(zhuǎn)彎環(huán)。

如果隧道平面在水平面上(或有一定坡度)，oXYZ坐標(biāo)系的Z軸方向朝上，圖2(a)所示為左轉(zhuǎn)彎隧道。計(jì)算結(jié)果表明，3.1.2算例的100環(huán)中有81環(huán)的zi軸與Z軸的夾角小于90°，19環(huán)的zi軸與Z軸的夾角大于90°。為了使每環(huán)的封頂塊朝上，這81環(huán)應(yīng)采用左轉(zhuǎn)彎環(huán)，19環(huán)采用右轉(zhuǎn)彎環(huán)。如果是同樣半徑的右轉(zhuǎn)彎隧道，那么81環(huán)為右轉(zhuǎn)彎環(huán)，19環(huán)為左轉(zhuǎn)彎環(huán)。

還可以將楔形環(huán)的橫截面分成若干扇區(qū)，如頂部、左上、右上、左側(cè)、右側(cè)等，計(jì)算出每個(gè)封頂塊所在的扇區(qū)?；蛘咴谂虐嬗?jì)算時(shí)避免兩側(cè)的扇區(qū)，使封頂塊盡可能集中在隧道頂部、左上、右上等位置，以便施工拼裝。

對(duì)于隧道軸線平面垂直于水平面的隧道，如大直徑過(guò)江隧道，應(yīng)考慮進(jìn)行專門設(shè)計(jì)，將封頂塊放在楔形環(huán)最小環(huán)寬處[6]，可以做到楔形環(huán)的封頂塊都在隧道上部，安裝十分方便。

值得注意的是，本文雖然僅介紹了如何用等腰楔形環(huán)拼裝圓弧形隧道，但也可以用于其他形式的管片環(huán)，如標(biāo)準(zhǔn)環(huán)、左右轉(zhuǎn)彎環(huán)、單面楔形環(huán)的混合排版；還可以用于回旋線等緩和曲線隧道的排版。

對(duì)于我國(guó)廣泛采用的標(biāo)準(zhǔn)環(huán)加左右轉(zhuǎn)彎環(huán)的隧道拼裝模式，可以通過(guò)調(diào)整變換矩陣T(θ)中的參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，而且這種計(jì)算可以在隧道施工過(guò)程中隨時(shí)進(jìn)行。由于周圍環(huán)境、地質(zhì)和盾構(gòu)精度等條件的限制，成型隧道不可避免地會(huì)偏離設(shè)計(jì)隧道軸線； 但是只要測(cè)定出剛剛安裝好的一環(huán)首端面的位置和方位，就可以利用齊次變換方法預(yù)估余下隧道的走向和終點(diǎn)的位置，以及各種管片環(huán)需要的數(shù)量，做到心中有數(shù)。在施工過(guò)程中成型隧道軸線出現(xiàn)較大偏差時(shí)，通過(guò)調(diào)整變換矩陣中的參數(shù)和設(shè)置一些限制條件，計(jì)算出不同拼裝方案，從中選擇一個(gè)較好的方案實(shí)施。如果需要優(yōu)先采用某些安裝點(diǎn)位或者禁止某些安裝點(diǎn)位，也可以通過(guò)計(jì)算進(jìn)行分析。

本文關(guān)于隧道軸線半徑的計(jì)算式(6)給出的實(shí)際上是相鄰2環(huán)結(jié)合處的曲率半徑?；匦€上每點(diǎn)的曲率各不相同，根據(jù)回旋線上一些點(diǎn)的曲率半徑按照該式計(jì)算2環(huán)的相對(duì)旋轉(zhuǎn)角，可以使隧道轉(zhuǎn)彎半徑由一個(gè)數(shù)值逐漸變化到另一個(gè)數(shù)值，使回旋線形隧道軸線與兩端的曲線(直線)線路盡可能相切。

4 結(jié)論與討論

本文重點(diǎn)介紹如何利用等腰楔形環(huán)拼裝圓弧形隧道，主要結(jié)論如下。

2)提出一種用等腰楔形環(huán)拼裝圓弧形盾構(gòu)隧道的算法?？梢杂?jì)算出整個(gè)盾構(gòu)隧道上每個(gè)管片環(huán)的位置和方位以及所需左、右轉(zhuǎn)彎環(huán)數(shù)量，對(duì)于提高盾構(gòu)隧道施工效率和拼裝精度有重要實(shí)用價(jià)值。

3)建議用左右轉(zhuǎn)彎環(huán)拼裝地鐵盾構(gòu)隧道。與目前廣泛采用的標(biāo)準(zhǔn)環(huán)加左右轉(zhuǎn)彎環(huán)拼裝模式相比，可以減少管片制造鋼模數(shù)量，提高襯砌管片的通用性，降低地鐵建設(shè)成本。

4)增加盾構(gòu)隧道管片環(huán)寬度可以提高經(jīng)濟(jì)效益[13]； 但是環(huán)寬增加后，其擬合曲線隧道的精度會(huì)降低并且導(dǎo)致管片環(huán)彎曲應(yīng)力增加。本文介紹的方法可以計(jì)算出整個(gè)隧道管片排列的狀況，有助于對(duì)隧道的關(guān)鍵部位和全局進(jìn)行分析，以確定適當(dāng)?shù)沫h(huán)寬數(shù)值。

為了提高盾構(gòu)隧道的施工效率和成型質(zhì)量，管片環(huán)的分塊設(shè)計(jì)及管片制造鋼模的加工精度十分重要。封頂塊是每一管片環(huán)最后拼裝的一塊，是尺寸設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。為了便于安裝，其兩端寬度不同，成楔形。通常先在三分之二長(zhǎng)度的位置徑向嵌入2個(gè)相鄰塊，再縱向推入剩余部分。目前我國(guó)廣泛使用CAD或Solidworks等軟件用作圖方式設(shè)計(jì)管片形狀，需要反復(fù)試探地確定封頂塊尺寸，工作量較大且精度有限。雖然有學(xué)者介紹解析計(jì)算方法[14]，但很復(fù)雜。今后我們將介紹一套簡(jiǎn)便的解析計(jì)算公式，可按任何分塊方式精確地計(jì)算出每個(gè)管片4周的平面方程及8個(gè)角點(diǎn)的空間坐標(biāo)，供數(shù)控機(jī)床加工鋼模型腔使用。

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DesignandAssemblyofIsoscelesWedgedRingsforCircularMetroShieldTunnel:AHomogeneousTransformationMethod

ZHANG Zhongzhen, LUO Hanbin, YU Qunzhou, SHENG Da

(InstituteofEngineeringManagement,HuazhongUniversityofScienceandTechnology,Wuhan430074,Hubei,China)

A new theory and algorithm for assembling a circular metro shield tunnel segment by using isosceles wedged rings are proposed to improve the tunnel construction efficiency and segment assembling precision. Main conclusions are drawn as follows: 1) It is theoretically proved that the tunnel axis is on a plane when rings are alternately rotated about the same angleθand the tunnel radiusR=L/(2 sinα/2 cosθ/2) whereLis the ring′s width andαis wedged angle. 2) An algorithm, using allowable rotation angle method, is given to compute the position and orientation of every lining ring in the whole circular shield tunnel. 3) Every isosceles wedged ring can be identified as a left bend ring or a right bend one according to its orientation where the K-segment is on the top of the tunnel, which means that the amounts of left and right bend rings can be respectively foreknown before constructing a shield tunnel.

circular metro tunnel; segment assembly; isosceles wedged rings; allowable rotation angle; homogeneous transformation

2017-03-01;

2017-06-12

張忠楨(1946—)，男，湖北武漢人，1980年畢業(yè)于華中科技大學(xué)，系統(tǒng)工程專業(yè)，碩士，教授，主要從事于數(shù)學(xué)建模與計(jì)算研究工作。 E-mail: zhangzz321@126.com。

10.3973/j.issn.1672-741X.2017.10.003

U 45

A

1672-741X(2017)10-1217-10