陳功貴，邱思遠，郭艷艷，黃山外，劉利蘭

（1.重慶郵電大學自動化學院復雜系統(tǒng)分析與控制研究中心，重慶 400065；2.武漢鐵路職業(yè)技術學院機車車輛工程系，武漢 430205）

改進布谷鳥搜索算法在電力系統(tǒng)優(yōu)化潮流中的應用

陳功貴1，邱思遠1，郭艷艷2，黃山外1，劉利蘭1

（1.重慶郵電大學自動化學院復雜系統(tǒng)分析與控制研究中心，重慶 400065；2.武漢鐵路職業(yè)技術學院機車車輛工程系，武漢 430205）

針對優(yōu)化潮流的特點以及布谷鳥搜索算法收斂速度慢和缺乏活力等問題，從動態(tài)參數(shù)和步長方程兩個方面進行改進，提出了改進的布谷鳥搜索算法來解決優(yōu)化潮流問題。該算法把原來是常數(shù)的兩個參數(shù)改進為動態(tài)變化的參數(shù)，隨著迭代次數(shù)的增加，發(fā)現(xiàn)概率和步長因子兩個參數(shù)按一定的規(guī)律遞減，使算法在初期能增加種群的多樣性，后期能更好地微調以找到最優(yōu)解；同時，提出了一個具有最優(yōu)解導向的搜索步長方程以提高算法的局部搜索能力和收斂速度。用改進的布谷鳥算法計算IEEE30系統(tǒng)的優(yōu)化潮流，仿真結果表明該算法能夠有效地提高收斂速度和計算精度。

布谷鳥算法；動態(tài)參數(shù)；電力系統(tǒng)；優(yōu)化潮流

優(yōu)化潮流OPF（optimal power flow）問題是通過電力系統(tǒng)中可調節(jié)的控制手段，在滿足電力系統(tǒng)安全運行和物理約束條件的限制下，使某種預定目標達到最優(yōu)的系統(tǒng)穩(wěn)定運行狀態(tài)[1]。OPF問題的主要目標是優(yōu)化一個被選擇的目標函數(shù)，例如系統(tǒng)的發(fā)電燃料費用函數(shù)、系統(tǒng)的有功損耗函數(shù)、無功補償?shù)慕?jīng)濟效益函數(shù)等，而被廣泛認為客觀的函數(shù)是滿足各種約束的發(fā)電燃料費用最優(yōu)的函數(shù)[2]。

OPF是一個多變量、多約束、非線性的大型規(guī)劃問題，廣泛應用于電力系統(tǒng)的規(guī)劃、運行和控制領域，具有重要的研究意義。為了解決OPF問題，人們提出了很多的優(yōu)化算法，如線性規(guī)劃法、非線性規(guī)劃法、牛頓法、內點法以及智能算法等[3-5]。Yang等[6]提出了一種新穎的布谷鳥搜索CS（cuckoo search）算法，通過模擬布谷鳥的寄生育雛行為，利用Lévy飛行特征有效地求解最優(yōu)問題。CS算法結構簡單、參數(shù)少、魯棒性強，具有較強的跳出局部最優(yōu)的能力，其求解效率和計算精度均優(yōu)于粒子群優(yōu)化PSO（particle swarm optimization）算法和遺傳算法GA（genetic algorithm）等智能算法。CS算法目前已經(jīng)被應用到工程結構優(yōu)化、流水車間調度等多種優(yōu)化問題中，具有高效的性能和潛在的研究價值[7-8]。

為了改善CS算法的性能，提高該算法的效率和求解精度，本文提出了改進布谷鳥搜索ICS（improved cuckoo search）算法，對影響算法性能的兩個重要參數(shù)——發(fā)現(xiàn)概率Pa和補償因子α進行優(yōu)化，把它們從不變的常系數(shù)變?yōu)閯討B(tài)變化的系數(shù)，使它們在算法的不同時期取得更合適的值[9]；此外，對隨機搜索步長進行了改進，在Lévy飛行中引入了“自我認知”和“社會認知”部分，以提高算法的局部搜索能力和收斂速度。將ICS算法應用到潮流計算中，仿真結果表明該方法有效地改善了CS算法的性能。

1 OPF問題的數(shù)學模型

1.1 目標函數(shù)

OPF問題是一個滿足約束條件的目標最小化問題，即

式中：F（x）為發(fā)電機的燃料費用；ai、bi和ci為第i臺發(fā)電機的發(fā)電費用參數(shù)；Pg，i為第i臺發(fā)電機的有功功率；Ng為發(fā)電機的臺數(shù)；Vg，i為第i臺發(fā)電機的電壓值；Tap，i為第i個變壓器的變比；Qc，i為第i個補償電容器的無功功率。

然而，在實際應用中由于發(fā)電機的閥點效應，燃料費用曲線存在不可求導的點，優(yōu)化問題變?yōu)榉峭箚栴}。當考慮發(fā)電機的閥點效應時，每個發(fā)電機的燃料費用函數(shù)要加一個相應正弦函數(shù)的絕對值，目標函數(shù)為

式中：di和ei分別為第i臺發(fā)電機的閥點效應參數(shù)；為第i臺發(fā)電機有功功率的最小值。

考慮和不考慮閥點效應的燃料費用曲線如圖1所示，考慮閥點效應的燃料費用比不考慮閥點效應時要大，優(yōu)化問題也變得更難解決。由于燃料費用曲線不是連續(xù)可導的，這給一些傳統(tǒng)優(yōu)化算法求解問題帶來了困難，而智能算法則能更好地解決這些優(yōu)化問題。

圖1 考慮和不考慮閥點效應的燃料費用曲線Fig.1 Fuel cost curves with and without valve-point effect

1.2 等式約束

優(yōu)化潮流問題的等式約束是電力系統(tǒng)的非線性潮流方程的集合，即

式中：Qg，i為發(fā)電機節(jié)點i的無功功率[10]；Pd，i和Qd，i分別為相應負荷節(jié)點需要的有功功率和無功功率；N為節(jié)點數(shù)目；Vi和Vj分別為節(jié)點i和節(jié)點j的電壓幅值；Gij和Bij分別為節(jié)點i和節(jié)點j的互電導和互電納；θij為節(jié)點i和節(jié)點j之間電壓的相角差。

1.3 不等式約束

優(yōu)化潮流問題的不等式約束反映了電力系統(tǒng)設備的操作限制，能確保系統(tǒng)的安全運行，包括如下幾個約束[11]。

（1）所有發(fā)電機節(jié)點的有功功率和無功功率必須滿足

（3）并聯(lián)電容器補償?shù)臒o功功率必須滿足

式中，Nc為無功功率補償數(shù)量。

（4）變壓器的變比必須滿足

式中，NT為變壓器個數(shù)。

（5）支路視在功率必須滿足

式中，NL為支路個數(shù)。

優(yōu)化算法中有不同的方法來處理約束問題，本文把罰系數(shù)添加到適應度函數(shù)中去。分別用罰系數(shù)乘以對應變量越界數(shù)值的平方，并把它們加到目標函數(shù)上，得到最優(yōu)化目標函數(shù)為

式中：Kp、Kv、Kq和Ks為罰函數(shù)的系數(shù)；Vl,i和Vliml,i為復合節(jié)點的電壓值及其限制值；Xlim為變量X的限制值，其計算式為

2 CS算法與ICS算法

2.1 CS算法

在自然界中，布谷鳥會將自己的蛋偷偷產在宿主的巢穴，并且朝著模擬宿主的蛋的顏色和樣子的方向不斷進化，以減小它們的蛋被發(fā)現(xiàn)的概率。通常情況下，布谷鳥的蛋會比宿主的后代孵化的早一點，而一旦被孵化出來，它的本能反應就會把其他的蛋都推出巢穴，并模擬宿主后代發(fā)出更響亮的叫聲，以此得到更多的食物，增加自己存活的機率[9]。宿主有時候也會發(fā)現(xiàn)那些寄生的蛋，在這種情況下，宿主可能把寄生的蛋丟出巢穴，或者拋棄現(xiàn)在的巢穴并構建一個新巢。

CS算法是由布谷鳥的寄生育雛和Lévy飛行特征抽象出來的啟發(fā)式算法，為此需要設定3個理想狀態(tài)[12]：①每只布谷鳥一次只能產一個蛋，并隨機放到一個宿主的巢穴里；②最好的鳥巢會被保留到下一代；③可利用的鳥巢數(shù)量是固定的，蛋被宿主發(fā)現(xiàn)的概率為Pa，Pa∈[0，1]。

在這3個設定的基礎上，CS算法的基本步長公式可以被概括為

式中：Xi（t+1）為第t+1 代中的個體i；α為步長控制因子，與研究問題的規(guī)模有關，α＞0；⊕表示點對點乘法；Levy（λ）為Lévy隨機搜索路徑，它的隨機步長服從Lévy分布，即

這是布谷鳥不斷跳躍的一個隨機游走過程，它的步長滿足一個重尾的穩(wěn)定分布，在這種形式的行走中，短距離的行走與偶爾長距離的行走相間。此外，在每一代中都會有一部分鳥巢被發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)概率Pa∈[0，1]。在鳥巢更新過后，用隨機數(shù)r∈[0，1]與Pa對比，當r＞Pa時，相應的巢穴將被隨機的新巢穴所替代，表達式為

式中：R為一個在[0，1]區(qū)間上的隨機數(shù)；Xj（t）和Xk（t）為第t代時兩個隨機的解。

2.2 ICS算法

2.2.1 動態(tài)參數(shù)的引入

在CS算法中參數(shù)Pa和α是非常重要的，它們可以用來加快算法的收斂速度并找到最優(yōu)的解。但是在傳統(tǒng)的CS算法中，參數(shù)Pa和α是固定不變的常數(shù)，這樣就使得算法的收斂速度較慢。如果Pa的值太小而α的值太大，那么算法的性能將變差，收斂速度會慢很多；如果Pa的值太大而α的值太小，算法的收斂速度很快但可能得不到最優(yōu)解[13]。

故而為了提高CS算法的性能并克服由于固定參數(shù)Pa和α帶來的缺陷，在ICS算法中會使用動態(tài)變化的參數(shù)Pa和α。在算法迭代的早期，參數(shù)Pa和α的值應該足夠大以增加解向量組的多樣性。然而在迭代的后期參數(shù)Pa和α的值應該逐漸減小，這樣解向量在最優(yōu)解附近會有更好的微調，從而找到更優(yōu)的解。參數(shù)Pa和α的值隨著迭代次數(shù)而動態(tài)變化，其公式為

式中：Kmax為最大迭代次數(shù)；k為當前迭代次數(shù)；Pa_max為最大發(fā)現(xiàn)概率；Pa_min為最小發(fā)現(xiàn)概率；αmax為最大步長因子；αmin為最小步長因子。

2.2.2 步長改進

CS算法的基本原理是通過Lévy飛行產生步長，Lévy飛行的優(yōu)點是有助于跳出局部最優(yōu)解。然而Lévy飛行不能充分利用局部區(qū)域的信息，這主要是由于該機制的高度隨機跳躍能力，使得局部搜索能力較差。

因此，為了提高CS算法局部搜索能力和收斂速度，借鑒了PSO算法的思想，在Lévy飛行中引入了“自我認知”和“社會認知”部分，將式（16）更改為

式中：R1、R2和R3均為在[0，1]區(qū)間上的隨機數(shù)；Xpb和Xgb分別為個體最優(yōu)解和全局最優(yōu)解。與式（16）相比，式（20）增加了最優(yōu)解引導算法尋優(yōu)的搜索項，從而在隨機搜索的基礎上提高了算法的局部搜索能力。

在ICS算法中，Lévy飛行機制的高度隨機性使得布谷鳥具有良好的前期搜索能力；而隨著迭代次數(shù)的增加，發(fā)現(xiàn)概率Pa逐漸減小，使得按照式（20）更新的鳥巢數(shù)量增加，能夠更好地在最優(yōu)解附近搜索。這樣ICS算法既有良好的全局搜索能力，又能提高局部搜索能力。ICS算法的具體步驟如下。

步驟1初始化種群，設置鳥巢的個數(shù)為n，搜索空間的維數(shù)為d，計算每個鳥巢的適應度。

步驟2對每個鳥巢按式（14）產生新的鳥巢，計算每個鳥巢的適應度，如果小于原來的適應度就用新的鳥巢替換舊的鳥巢。

步驟 3用一組n個隨機數(shù)r（r∈[0，1]）分別與發(fā)現(xiàn)概率Pa對比，保留發(fā)現(xiàn)概率小的鳥巢，并隨機改變發(fā)現(xiàn)概率大的鳥巢。分別計算它們的適應度值，若新解優(yōu)于舊解，則替換舊解。

步驟4找出最優(yōu)的鳥巢和最優(yōu)解，若不滿足終止條件則返回步驟2繼續(xù)進行迭代更新。

3 案例分析

本文在MATLAB R2013b環(huán)境下編制了ICS計算程序，對IEEE30測試系統(tǒng)進行了數(shù)值仿真分析，驗證本文提出的最優(yōu)潮流ICS算法的有效性。IEEE30節(jié)點測試系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 IEEE30節(jié)點測試系統(tǒng)Fig.2 IEEE 30-node test system

IEEE30節(jié)點測試系統(tǒng)包含41條支路、4臺變壓器和9個無功補償裝置。9個無功補償裝置分別位于節(jié)點10、12、15、17、20、21、23、24和29處，4臺變壓器分別位于支路6-9、6-10、4-12和28-27上。此外有6臺發(fā)電機，分別在節(jié)點1、2、5、8、11和13上，其中節(jié)點1為平衡節(jié)點。

ICS算法中的參數(shù)取值為Pa_max=0.5，Pa_min=0.1，αmax=0.5，αmin=0.05，λ=1.5。并取種群的個數(shù)為30，最大迭代次數(shù)Kmax=300，迭代精度ε=1×10-8。此外，在PSO算法中的加速因子a1、a2都取為2，慣性因子wmax=0.9，wmin=0.4。

IEEE30系統(tǒng)中發(fā)電機的有功功率約束范圍和發(fā)電機費用參數(shù)如表1所示，控制變量的約束條件如表2所示。在種群個數(shù)和控制變量等設置相同的情況下，3種算法分別運行30次后，計算IEEE30系統(tǒng)燃料費用的最小值、平均值、最大值和標準偏差的統(tǒng)計結果如表3和表4所示，潮流計算的費用函數(shù)與迭代次數(shù)的平均收斂曲線如圖3和圖4所示。

表1 IEEE30節(jié)點測試系統(tǒng)的發(fā)電機費用參數(shù)Tab.1 Electric generator cost parameters for IEEE 30-node test system

表2 控制變量的設置Tab.2 Configuration of control variables p.u.

表3 不考慮閥點效應的燃料費用Tab.3 Fuel cost without valve-point effect $/h

表4 考慮閥點效應的燃料費用Tab.4 Fuel cost with valve-point effect $/h

圖3 不考慮閥點效應的收斂曲線Fig.3 Convergence curves without valve-point effect

圖4 考慮閥點效應的收斂曲線Fig.4 Convergence curves with valve-point effect

由表3可見，不考慮閥點效應時ICS算法得到的燃料費用為799.083 7$/h，比初始條件下的燃料費用降低了2.49%，優(yōu)化效果最好，CS算法次之，PSO算法最差。從表4可以看出，考慮閥點效應時ICS算法的解也要優(yōu)于PSO算法和CS算法。采用CS和ICS算法計算IEEE30系統(tǒng)的燃料費用值要小于PSO算法的計算值，說明前者具有良好的全局收斂性。由圖3和圖4可知，ICS算法的收斂速度和最優(yōu)解均比CS和PSO算法的結果好，說明該算法確實提高了CS算法的收斂速度和計算精度。并且從表3和表4可以看出，ICS算法求得的燃料費用的標準偏差最小，表明該算法的魯棒性很好，能夠更穩(wěn)定地得到最優(yōu)解。

4 結 語

為了提高CS算法的收斂速度與計算精度，本文提出了ICS算法，從動態(tài)參數(shù)和具有最優(yōu)解導向的步長方程兩方面對算法進行改進。ICS算法前期有較大的步長和發(fā)現(xiàn)概率，使算法有更強的全局搜索能力，而迭代后期隨著步長因子和發(fā)現(xiàn)概率的減小，該算法能夠更好地微調以找到最優(yōu)解。此外，具有最優(yōu)解導向的步長方程能夠提高收斂速度，增強局部搜索能力。采用MATLAB對CS算法和ICS算法進行編程實現(xiàn)，并應用到IEEE30測試系統(tǒng)的潮流計算中。仿真結果表明ICS算法不僅具有CS算法良好的全局收斂性和魯棒性，并且比CS算法具有更佳的收斂速度和計算精度。

[1]聶永輝，肖白，劉鳳蘭（Nie Yonghui，Xiao Bai，Liu Fenglan）.電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流新模型及其內點法實現(xiàn)（New optimal power flow model and its solution by using nonlinear interior point method）[J].電力系統(tǒng)及其自動化學報（Proceedings of the CSU-EPSA），2014，26（11）：53-57.

[2]Ananthi Christy A，Vimal Raj P Ajay D.Adaptive biogeography based predator-prey optimization technique for optimal power flow[J].International Journal of Electrical Power and Energy Systems，2014，62：344-352.

[3]陳前宇，陳維榮，戴朝華，等（Chen Qianyu，Chen Weirong，Dai Chaohua，et al）.基于改進 PSO 算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化（Reactive power optimization based on modified particle swarm optimization algorithm for power system）[J].電力系統(tǒng)及其自動化學報（Proceedings of the CSU-EPSA），2014，26（2）：8-13，43.

[4]丁濤，柏瑞，郭慶來，等（Ding Tao，Bo Rui，Guo Qinglai，et al）.一種非迭代仿射算法的輸電網(wǎng)區(qū)間潮流計算方法（A non-iterative affine arithmetic methodology for interval power flow analysis of transmission network）[J].中國電機工程學報（Proceedings of the CSEE），2013，33（19）：76-83.

[5]陳麗光，文波，聶一雄（Chen Liguang，Wen Bo，Nie Yixiong）.基于退火粒子群和內點法的改進最優(yōu)潮流算法（Improved optimal power flow algorithm based on annealing particle swarm and interior point method）[J].廣東電力（Guangdong Electric Power），2013，26（9）：32-35，103.

[6]Yang Xin-She，Deb S.Engineering optimisation by cuckoo search[J].International Journal of Mathematical Modelling and Numerical Optimisation，2010，1（4）：330-343.

[7]陳樂，龍文（Chen Le，Long Wen）.求解工程結構優(yōu)化問題的改進布谷鳥搜索算法（Modified cuckoo search algorithm for solving engineering structural optimization problem）[J].計算機應用研究（Application Research of Computers），2014，31（3）：679-683.

[8]Marichelvam M K.An improved hybrid cuckoo search（IHCS）metaheuristics algorithm for permutation flow shop scheduling problems[J].International Journal of Bio-Inspired Computation，2012，4（4）：200-205.

[9]Valian E，Mohanna S，Tavakoli S.Improved cuckoo search algorithm for global optimization[J].International Journal of Communications and Information Technology，2011，1（1）：31-44.

[10]陳碧云，韋杏秋，陳紹南，等（Chen Biyun，Wei Xingqiu，Chen Shaonan，et al）.基于多種群遺傳算法的電力系統(tǒng)多目標優(yōu)化（Power system multi-objective optimization based on multi-population genetic algorithm）[J].電力系統(tǒng)及其自動化學報（Proceedings of the CSU-EPSA），2015，27（7）：24-29.

[11]Chen Gonggui，Liu Lilan，Song Peizhu，et al.Chaotic improved PSO-based multi-objective optimization for minimization of power losses and L index in power systems[J].Energy Conversion and Management，2014，86：548-560.

[12]Thang Trung Nguyen，Dieu Ngoc Vo，An Viet Truong.Cuckoo search algorithm for short-term hydrothermal scheduling[J].Applied Energy，2014，132：276-287.

[13]Valian E，Tavakoli S，Mohanna S，et al.Improved cuckoo search for reliability optimization problems[J].Computers&Industrial Engineering，2013，64（1）：459-468.

Application of Improved Cuckoo Search Algorithm to Optimal Power Flow in Power System

CHEN Gonggui1，QIU Siyuan1，GUO Yanyan2，HUANG Shanwai1，LIU Lilan1
（1.Research Center on Complex Power System Analysis and Control，College of Automation，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065，China；2.Department of Locomotive and Vehicle Engineering，Wuhan Railway Vocational College of Technology，Wuhan 430205，China）

Considering the characteristics of optimal power flow（OPF），as well as the problems of cuckoo search（CS）algorithm such as slower convergence rate and the lack of flexibility，an improved cuckoo search（ICS）algorithm is proposed by modifying the dynamic parameters and the equation of step length.The proposed ICS turns two formerly constant parameters into dynamically changing parameters，and it is found that the probability and step length factor decrease with the increase of iteration numbers，so that the diversity of seed groups is improved in the early generations and the optimal solution can be found with a better fine-tuning in the final generations.In addition，a step length equation oriented for optimal solution is proposed to further improve the local search ability and the convergence rate of the algorithm.The ICS algorithm is used to compute the OPF of an IEEE 30-node system，and the results show that it can improve the convergence rate and calculation accuracy effectively.

cuckoo search（CS）algorithm；dynamic parameter；power system；optimal power flow（OPF）

TM744

A

1003-8930（2017）10-0030-05

10.3969/j.issn.1003-8930.2017.10.006

2015-11-06；

2017-03-11

國家自然科學基金資助項目（51207064，51507024）；重慶市科委科技資助項目（KJI500401）

陳功貴（1964—），男，博士，教授，研究方向為電力系統(tǒng)優(yōu)化調度。Email:chenggpower@126.com

邱思遠（1992—），男，碩士研究生，研究方向為電力系統(tǒng)優(yōu)化調度。Email:qiusypower@163.com

郭艷艷（1970—），女，碩士，副教授，研究方向為電力系統(tǒng)分析。Email:425092059@qq.com