顧萬里 胡云峰,2 宮 洵 蔡 碩 陳 虹,2

(1.吉林大學(xué)通信工程學(xué)院，長春 130025； 2.吉林大學(xué)汽車仿真與控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長春 130025；3.密歇根大學(xué)航空航天工程系，安娜堡 48105)

給定速度需求的移動(dòng)機(jī)器人路徑跟蹤控制與實(shí)驗(yàn)

顧萬里1胡云峰1,2宮 洵3蔡 碩1陳 虹1,2

(1.吉林大學(xué)通信工程學(xué)院，長春 130025； 2.吉林大學(xué)汽車仿真與控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長春 130025；3.密歇根大學(xué)航空航天工程系，安娜堡 48105)

針對輪式移動(dòng)機(jī)器人給定速度需求的非連續(xù)路徑跟蹤控制問題，將其轉(zhuǎn)換為滿足速度約束的軌跡規(guī)劃和軌跡跟蹤控制。首先，針對給定速度需求的路徑跟蹤問題，以運(yùn)行時(shí)間和能量為優(yōu)化目標(biāo)，給定的路徑和速度為約束條件，采用五次Bezier樣條方法優(yōu)化得到了滿足需求的連續(xù)光滑軌跡。其次，利用輪式移動(dòng)人系統(tǒng)的微分平坦特性，采用微分平坦方法設(shè)計(jì)前饋控制器；然后，將輪式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型在前饋控制的平衡點(diǎn)處進(jìn)行一階泰勒展開，得到了線性時(shí)變的誤差模型，并通過定義新的狀態(tài)變量，設(shè)計(jì)了具有Lyapunov穩(wěn)定性的誤差反饋控制器。結(jié)合前饋控制和反饋控制得到了二自由度軌跡跟蹤控制器。同時(shí)將泰勒展開的高階項(xiàng)考慮為有界的擾動(dòng)輸入，在輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性框架下證明了控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性；最后，通過Pioneer 3-dx輪式移動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的算法能夠滿足給定速度需求的非連續(xù)路徑的跟蹤控制需求。

輪式移動(dòng)機(jī)器人； 路徑跟蹤控制； Bezier樣條； 微分平坦方法； Lyapunov方法

引言

隨著移動(dòng)機(jī)器人在航天[1]、工業(yè)[2]、農(nóng)業(yè)[3-5]中的廣泛應(yīng)用，其軌跡跟蹤問題受到越來越多人的關(guān)注。在實(shí)際應(yīng)用中，移動(dòng)機(jī)器人需準(zhǔn)確、快速地跟蹤上期望軌跡。但由于輪式移動(dòng)機(jī)器人是一種典型的非完整約束系統(tǒng)，其高精度軌跡跟蹤控制具有一定的難度[6]。

目前，針對非完整移動(dòng)機(jī)器人的路徑跟蹤問題已有很多研究。文獻(xiàn)[7-8]針對連續(xù)的期望路徑，設(shè)計(jì)了基于非線性模型預(yù)測控制的路徑跟蹤控制器，該方法能夠有效處理系統(tǒng)的約束，但是上述路徑跟蹤控制方法無法用于離散路徑點(diǎn)跟蹤控制問題；針對路徑點(diǎn)的跟蹤控制問題，主要是將其轉(zhuǎn)換為軌跡規(guī)劃和軌跡跟蹤控制兩部分。對于軌跡規(guī)劃問題，早期的研究采用簡單的直線、圓弧及回旋線來生成軌跡曲線，該方法簡單、直觀，但無法保證速度和加速度的連續(xù)性[9]。為此，文獻(xiàn)[10-12]采用樣條函數(shù)研究軌跡規(guī)劃方法，克服了速度和加速度不連續(xù)的缺點(diǎn)。但是上述成果中均沒有考慮給定的速度需求。對于軌跡跟蹤控制問題，研究方法主要分成兩方面，一方面是采用非線性控制方法設(shè)計(jì)控制器，比如滑模控制方法[13-14]、反步法[15]及反饋線性化方法[16]。但該類控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜且設(shè)計(jì)過程繁瑣，由此限制了上述方法的實(shí)際應(yīng)用；另一方面是基于智能控制的軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)方法，比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[17]和迭代學(xué)習(xí)方法[18]等。該類方法可以在不知精確的機(jī)器人系統(tǒng)模型情況下，取得較好的控制效果，但是該算法對控制系統(tǒng)的計(jì)算能力要求極高，所以多數(shù)停留在仿真階段。

綜上，現(xiàn)有的輪式移動(dòng)機(jī)器人路徑跟蹤控制方法僅是針對路徑需求進(jìn)行了研究，但是隨著輪式移動(dòng)機(jī)器人應(yīng)用場景的不斷擴(kuò)大，不僅對路徑點(diǎn)有要求，也對通過路徑點(diǎn)的速度提出了要求[19]，但目前還鮮有這方面的研究成果。本文針對包含給定速度和位置需求的離散路徑點(diǎn)的輪式移動(dòng)機(jī)器人跟蹤控制問題，設(shè)計(jì)基于五次Bezier樣條的軌跡規(guī)劃方法，以及前饋和反饋相結(jié)合的二自由度軌跡跟蹤控制器，并采用Lyapunov方法分析閉環(huán)誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性及魯棒性。

1 問題描述

輪式移動(dòng)機(jī)器人模型如圖1所示。后輪為2個(gè)差動(dòng)驅(qū)動(dòng)輪，前輪為1個(gè)起支撐作用的萬向隨動(dòng)輪。其中，驅(qū)動(dòng)中心和質(zhì)心重合在P點(diǎn)，(x,y)為機(jī)器人的位置坐標(biāo)，后輪直徑為2r，間距為2b，θ為機(jī)器人的位姿角，ω為以垂直軸Z為轉(zhuǎn)動(dòng)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，v為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中的瞬時(shí)線速度。

圖1 輪式移動(dòng)機(jī)器人模型Fig.1 Model of wheeled mobile robot

輪式移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)為典型的非完整約束系統(tǒng)，其非完整約束包含2個(gè)含義：①機(jī)器人不能夠側(cè)向滑移。②機(jī)器人前進(jìn)時(shí)，輪子與地面之間滿足純滾動(dòng)無滑動(dòng)的約束條件。輪式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(1)

輪式移動(dòng)機(jī)器人給定速度需求的路徑規(guī)劃及跟蹤控制問題可以描述為：對于如圖2所示的給定速度需求的路徑點(diǎn)W(x*,y*,v*)，設(shè)計(jì)路徑跟蹤控制方法使式(1)的實(shí)際軌跡能夠通過期望的路徑點(diǎn)(x*,y*)，并且通過該路徑點(diǎn)的速度為v*。為此，本文設(shè)計(jì)了如圖3所示的控制方案。首先，設(shè)計(jì)了軌跡規(guī)劃算法，根據(jù)期望的給定速度需求的路徑點(diǎn)W(x*,y*,v*)生成與時(shí)間相關(guān)的連續(xù)光滑的期望軌跡(xd(t),yd(t))；然后，設(shè)計(jì)前饋和反饋相結(jié)合的二自由度軌跡跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)對期望的給定速度需求的路徑點(diǎn)的精確跟蹤控制。

圖2 給定速度需求的期望路徑點(diǎn)Fig.2 Discontinuous path with given velocity requirement

圖3 控制方案Fig.3 Control strategy

2 基于Bezier樣條的軌跡規(guī)劃

基于離散的給定速度需求的路徑點(diǎn)P(x*,y*,v*)，生成與時(shí)間相關(guān)的光滑的軌跡(xd(t),yd(t))。為了讓移動(dòng)機(jī)器人能夠精確跟蹤參考軌跡，生成的軌跡須滿足曲率連續(xù)。因此采用五次Bezier樣條曲線對軌跡進(jìn)行參數(shù)化。

假設(shè)給定路徑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n+1，由W{(xi,yi,vi),i=0,1,2,…,n}所示。將任意的相鄰路徑點(diǎn)(Wi,Wi+1)之間的時(shí)間歸一化為1 s，則相鄰路徑點(diǎn)(Wi,Wi+1)之間的曲線fi(t)的表達(dá)式為

fi(t)=(1-t)5Pi,0+5(1-t)4tPi,1+10(1-t)3t2Pi,2+
10(1-t)2t3Pi,3+5(1-t)t4Pi,4+t5Pi,5

(2)

式中Pi,0、Pi,5——控制軌跡形狀參數(shù)

Pi,1、Pi,4——控制軌跡速度參數(shù)

Pi,2、Pi,3——控制軌跡加速度參數(shù)

針對該參數(shù)化軌跡，可以將路徑規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為非線性優(yōu)化問題，即

其中

式中f(P,H)——優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，可以選擇為時(shí)間、能量或者沖擊量

P——優(yōu)化參數(shù)H——優(yōu)化參數(shù)

hi——相鄰路徑點(diǎn)間的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間

fvi(t)——根據(jù)軌跡表達(dá)式fi(t)求得的速度

fai(t)——根據(jù)軌跡表達(dá)式fi(t)求得的加速度

最后，對該非線性優(yōu)化問題進(jìn)行求解就可以得到滿足需求的軌跡。該軌跡規(guī)劃過程共分為3步：

(1)選擇5次Bezier樣條曲線對軌跡進(jìn)行參數(shù)化，參數(shù)分為：控制軌跡形狀的參數(shù)P和調(diào)節(jié)各路徑點(diǎn)之間時(shí)間的參數(shù)H。

(2)將軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為非線性優(yōu)化問題，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可以選擇為時(shí)間、能量或者沖擊量。約束條件為對應(yīng)路徑點(diǎn)的位置和速度，且滿足加速度連續(xù)條件。

(3)求解該非線性優(yōu)化問題(如Matlab自帶的fmincon函數(shù))。

3 二自由度軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

3.1 前饋控制器設(shè)計(jì)

基于微分平坦技術(shù)設(shè)計(jì)了前饋控制器。但在實(shí)際過程中，由于系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型不可能完全精確，總會存在不確定性和內(nèi)外部擾動(dòng)，在參考軌跡附近，對模型進(jìn)行線性化，針對得到的誤差模型，設(shè)計(jì)了反饋控制器，并在Lyapunov穩(wěn)定性框架下證明了閉環(huán)誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

由于輪式移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)是微分平坦系統(tǒng)[21]，因此，可以通過選取合適的平坦輸出將系統(tǒng)所有的狀態(tài)變量和輸入變量用平坦輸出及其有限階導(dǎo)數(shù)表示。這里選取平坦輸出

z=(x,y)

(3)

結(jié)合輪式移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型(1)經(jīng)簡單推導(dǎo)得

(4)

由于輪式移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)的狀態(tài)和輸入可由平坦輸出及其有限階導(dǎo)數(shù)表示，進(jìn)而可以由期望軌跡(xd(t),yd(t))得到前饋控制率為

(5)

3.2 反饋控制器設(shè)計(jì)

首先將輪式移動(dòng)機(jī)器人模型在前饋控制的平衡點(diǎn)處進(jìn)行一階泰勒展開，得到跟蹤誤差系統(tǒng)，進(jìn)而設(shè)計(jì)了誤差反饋控制器，并在Lyapunov穩(wěn)定性框架下證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

定義反饋控制輸入為Δv=v-vf,Δω=ω-ωf，以及系統(tǒng)控制偏差為xe=x-xd,ye=y-yd,θe=θ-θy。將系統(tǒng)(1)在(xd,yd,vf,θf,ωf)點(diǎn)處進(jìn)行一階泰勒展開得

(6)

式中dx、dy——泰勒展開的高階項(xiàng)，將其考慮成建模誤差

設(shè)計(jì)控制器的過程中先不考慮建模誤差項(xiàng)，結(jié)合式(1)和式(6)，進(jìn)一步整理可得

(7)

(-vfsinθfxe+vfcosθfye)θe

(8)

由式(8)可知，如果能證明E收斂于0，即可證明xe、ye收斂于0，因此，通過上述變量，將xe、ye2個(gè)變量的收斂性問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)變量E的收斂性問題。

為了證明誤差系統(tǒng)(7)的穩(wěn)定性，定義Lyapunov函數(shù)

(9)

對式(9)兩端進(jìn)行求導(dǎo)，并將式(7)、(8)代入可得

(10)

為了證明誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性，取

(11)

將式(11)代入式(10)整理可得

(12)

式中k1、k2——控制器參數(shù)

由式(12)可知，當(dāng)選擇k1>0,k2>0時(shí)，有

(13)

并且式(13)只在原點(diǎn)處等于零，因此，可以得到E、θe可以漸進(jìn)收斂于0，即可得到xe、ye、θe收斂于0。

上述過程證明了在忽略系統(tǒng)建模誤差時(shí)，閉環(huán)誤差系統(tǒng)具有漸進(jìn)穩(wěn)定性，但是系統(tǒng)中存在泰勒展開的高階項(xiàng)等建模誤差，因此，需要進(jìn)一步證明，閉環(huán)系統(tǒng)存在擾動(dòng)情況下的魯棒穩(wěn)定性。

3.3 魯棒穩(wěn)定性分析

在以上控制器設(shè)計(jì)過程中，由于未考慮建模誤差，本節(jié)將建模誤差考慮成幅值有界的擾動(dòng)，在輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性理論框架下，證明了閉環(huán)誤差系統(tǒng)的魯棒性。

包含建模誤差的誤差動(dòng)力學(xué)方程為

(14)

為了證明其閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性，本文將包含建模誤差的式(14)代入到式(9)定義的Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)方程中，得到

(15)

將控制輸入式(11)代入到式(15)，得到

(16)

為此，對式(16)右端使用Young’s不等式可得

因此，由輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)從擾動(dòng)輸入dx、dy到狀態(tài)E、θe具有穩(wěn)定性，即具有魯棒穩(wěn)定性。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

圖4 Pioneer 3-dx實(shí)物圖Fig.4 Photo of Pioneer 3-dx

為了驗(yàn)證本文所提出的算法有效性，在Mobilerobots公司開發(fā)的Pioneer 3-dx實(shí)驗(yàn)平臺上對該算法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。該平臺實(shí)物如圖4所示。Pioneer 3-dx機(jī)器人以客戶端—服務(wù)器模式運(yùn)行?？蛻舳瞬捎肞C實(shí)現(xiàn)，用于運(yùn)行Windows程序和基于C++編寫的用戶應(yīng)用程序。服務(wù)器端基于DSP實(shí)現(xiàn)，用于執(zhí)行移動(dòng)機(jī)器人底層控制，包括速度控制及采集傳感器信息。客戶端和服務(wù)器端采用串口進(jìn)行通訊。該移動(dòng)機(jī)器人主要參數(shù)如表1所示。

表1 Pioneer 3-dx機(jī)器人參數(shù)Tab.1 Parameters of Pioneer 3-dx

在實(shí)驗(yàn)過程中，首先基于Pioneer 3-dx機(jī)器人PC客戶端運(yùn)行的Matlab軟件編寫了軌跡規(guī)劃程序，對于步驟3中的優(yōu)化函數(shù)選擇為fmincon函數(shù)，由此得到了期望的運(yùn)行軌跡。然后，基于Mobilerobots公司開發(fā)的ARIA控制接口庫，在VS2010編譯器下采用C++編寫了軌跡跟蹤控制程序。

針對本文所設(shè)計(jì)算法，給出以下兩種路徑用于進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

(1) 路徑點(diǎn)的跟蹤控制

以路徑點(diǎn)W0=[(0,0,0.18);(0.6,0.1,0.30); (1.8,0.6,0.50); (3.0,0.9,0.60); (5.0,1.0,0.30); (5.8,0.6,0.10)]和W1=[(0,0,0.18); (0.6,0.1,0.30); (1.5,0.5,0.50); (2.6,1.5,0.60); (3.9,3.5,0.50); (5.0,6.0,0.10)]為例，來驗(yàn)證本文算法的有效性。

對于路徑點(diǎn)的跟蹤控制，首先需要進(jìn)行軌跡規(guī)劃，采用前文基于Bezier樣條的軌跡規(guī)劃方法進(jìn)行軌跡規(guī)劃，對于得到的期望軌跡，其Bezier樣條參數(shù)如下：

針對路徑點(diǎn)W0規(guī)劃得到的軌跡，對應(yīng)的五次Bezier樣條曲線的參數(shù)為

針對路徑點(diǎn)W1規(guī)劃得到的軌跡，對應(yīng)的五次Bezier樣條曲線的參數(shù)為

由此得到規(guī)劃的參考軌跡和期望的路徑及速度對比曲線如圖5～8所示。

圖5 路徑點(diǎn)W0規(guī)劃得到的x和y方向軌跡Fig.5 Generated reference trajectories for waypoints W0 in x and y directions

圖6 路徑點(diǎn)W0規(guī)劃路徑和速度與參考值對比Fig.6 Comparison of generated reference trajectory and reference value for waypoints W0

由圖5～8可看出，采用該方法規(guī)劃得到的軌跡能夠精確經(jīng)過期望的路徑點(diǎn)。

以圖5和圖7中的軌跡作為跟蹤實(shí)驗(yàn)的參考軌跡，采用推導(dǎo)的軌跡跟蹤算法進(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)，對于路徑點(diǎn)W0初對應(yīng)的始偏差分別選擇為(0,0,0)和(0.6,0.3,0)。對于路徑點(diǎn)W1初對應(yīng)的始偏差分別選擇為(0,0,0)和(1.0,1.0,0)。其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9～12所示。

圖7 路徑點(diǎn)W1規(guī)劃得到的x和y方向軌跡Fig.7 Generated reference trajectories for waypoints W1 in x and y directions

圖8 路徑點(diǎn)W1規(guī)劃路徑和速度與參考值對比Fig.8 Comparison of generated reference trajectory and reference value for waypoints W1

圖9 路徑點(diǎn)W0跟蹤誤差Fig.9 Tracking errors for waypoints W0

圖10 路徑點(diǎn)W0實(shí)際路徑和速度與參考值對比Fig.10 Comparison of real path and velocity with reference value for waypoints W0

由圖9～12可得，在沒有初始偏差情況下，該控制器能夠很好跟蹤上期望軌跡。在有初始偏差情況下，該控制器能夠很快收斂到期望軌跡。

圖11 路徑點(diǎn)W1跟蹤誤差Fig.11 Tracking errors for waypoints W1

圖12 路徑點(diǎn)W1實(shí)際路徑和速度與參考值對比Fig.12 Comparison of real path and velocity with reference value for waypoints W1

(2) 圓軌跡跟蹤控制

其參考軌跡為

采用推導(dǎo)的軌跡跟蹤算法進(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)，初始偏差分別選擇為(0,0,0)和(0.6,0.6,0)。其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖13、圖14所示。

圖13 跟蹤誤差Fig.13 Tracking errors

由圖13、圖14可以得到，在沒有初始偏差情況下，該控制器能夠很好跟蹤上期望的軌跡。在有初始偏差情況下，該控制器能夠很快收斂到期望的軌跡。

5 結(jié)束語

研究了給定速度需求的路徑點(diǎn)跟蹤控制問題。首先,設(shè)計(jì)了能夠滿足速度需求的基于Bezier樣條優(yōu)化的軌跡規(guī)劃方法。針對規(guī)劃得到的軌跡，設(shè)計(jì)了具有前饋和反饋結(jié)構(gòu)的軌跡跟蹤控制器，對其進(jìn)行跟蹤控制。結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的軌跡規(guī)劃方法能夠滿足精確的速度需求，且設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制器可以使系統(tǒng)跟蹤上該軌跡，從而完成了整個(gè)運(yùn)動(dòng)控制。

圖14 實(shí)際路徑和速度與參考值對比Fig.14 Comparison of real path and velocity with reference value

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PathTrackingControlandExperimentsforWheeledMobileRobotswithGivenVelocityRequirement

GU Wanli1HU Yunfeng1,2GONG Xun3CAI Shuo1CHEN Hong1,2

(1.CollegeofControlScienceandEngineering,JilinUniversity,Changchun130025,China2.StateKeyLaboratoryofAutomotiveSimulationandControl,JilinUniversity,Changchun130025,China3.DepartmentofAerospaceEngineering,MichiganUniversity,AnnArborMI48105,USA)

For the discontinuous path tracking problem of wheeled mobile robots with given velocity requirement, it was transformed into the trajectory planning and trajectory tracking problems.Firstly, for the given position and velocity requirements, quintic Bezier curve was used to parameterize the trajectory.Then the trajectory planning problem was transformed into the nonlinear optimization problem, for which the energy and interval times were selected as the optimization objective to optimize the parameterized trajectory.By solving the nonlinear optimization problems, a continuous and smooth trajectory was generated, which satisfied the given position and velocity requirements.Secondly, by exploiting the differential flatness properties of the wheeled mobile robots system, a feedforward controller was designed by using the differential-flatness approach.Thirdly, the kinematic model of the wheeled mobile robots was linearized at its equilibrium point of the feedforward control by using the first order Taylor expansion.Then, an linear time-varying error model was deduced.By defining a new error variable, a feedback controller was designed and the stability of closed loop error system was proved in the Lyapunov framework.Therefore, a two degree of freedom trajectory tracking controller was given.This method had the advantages of simple structure and clear engineering significance.In addition, the higher order terms of the Taylor series were considered as a bounded disturbance input, and the robustness of the system was discussed in the framework of input to state stability theory.Finally, the effectiveness of the proposed trajectory planning and trajectory tracking methods was validated on the Pioneer 3-dx wheeled mobile robot experiment platform.It can be seen from the experimental results that the proposed methods can track the discontinuous path with the given velocity requirement precisely.

wheeled mobile robot; path tracking control; Bezier curve; differential-flatness approach; Lyapunov method

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.10.003

TP273

A

1000-1298(2017)10-0025-07

2017-05-18

2017-07-21

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(61520106008、61374046)

顧萬里(1988—)，男，博士生，主要從事非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)研究,E-mail: guwl13@mails.jlu.edu.cn

胡云峰(1983—)，男，副教授，主要從事非線性控制應(yīng)用及汽車電子控制研究,E-mail: huyf@jlu.edu.cn