陳文卓，靳文濤

(華北科技學院 電子信息工程學院，北京 東燕郊 065201)

Matlab下永磁同步電機的三相坐標系建模

陳文卓，靳文濤

(華北科技學院 電子信息工程學院，北京 東燕郊 065201)

目前永磁同步電機本體的建模存在不足，一方面,MatlabSimulink中的PMSM模塊采用的坐標系非國內(nèi)通用標準坐標系，且其集成性高，不便于根據(jù)實際修改參數(shù)；另一方面,自定義電機模型大多基于坐標轉換進行搭建，普遍使用兩相輸入，與實際生產(chǎn)中廣泛應用三相電輸入的情況不符。因此針對三相靜止坐標系下的PMSM建模進行研究，從電機三相定子電壓方程出發(fā)，結合坐標轉換矩陣，通過分析直軸電感和交軸電感之間的關系合理簡化磁鏈方程，推導出三相靜止坐標系下的磁鏈關系，并結合電機運動方程、電磁轉矩方程得到三相坐標系下電機的數(shù)學模型。在此基礎上結合實驗仿真，證明了模型的正確性和有效性。

永磁同步電機；三相坐標系；Matlab；建模

0 引言

永磁同步電機(Permanent Magnetic Synchronous Motor, PMSM) 由于沒有勵磁電流，具有高效率和高功率因數(shù)等優(yōu)點；同時PMSM的轉子參數(shù)可測，定子電流和定子電阻損耗減小，使得其控制系統(tǒng)能夠實現(xiàn)高精度、高動態(tài)性能、大范圍的調(diào)速和定位控制[1-3]。然而PMSM控制系統(tǒng)是一個具有非線性、強耦合性和時變性的復雜系統(tǒng)，其在運行過程中會受到不確定因素的影響而使參數(shù)產(chǎn)生不可預見的變化，為了對比驗證各種控制策略和算法的正確性和優(yōu)越性，使之更好地應用在工程實際中，要求針對PMSM本體的模型要必須簡單實用，且具有一定的擴展性。

目前在PMSM建模研究方面，何杰為實現(xiàn)永磁同步電動機(PMSM)的電壓空間矢量控制,在分析永磁同步電動機數(shù)學模型的基礎上,利用Matlab/Simulink建立了永磁同步電動機矢量控制系統(tǒng)的仿真模型[4]。張紅生為了更好地實現(xiàn)永磁同步電機的矢量控制，在永磁同步電機的電壓、電流、磁鏈關系表達式基礎上，運用MATLAB結合Park和Clarke變換建立了PMSM的兩相數(shù)學仿真模型，并對其進行了驗證[5]。李平在深入分析永磁同步電機的電磁特性后，推導出永磁同步電機在兩相靜止坐標下的電機數(shù)學模型，并在該數(shù)學模型下利用遞推最小二乘法編寫辨識算法，對電機的參數(shù)進行在線辨識[6]。陳俊碩用電機的AR模型為內(nèi)部模型，對傳統(tǒng)模型中的系數(shù)進行優(yōu)化，克服了傳統(tǒng)模型算法需要選擇較長的采樣周期計算控制量的缺點，能很好地滿足動態(tài)較快的電動機實時性要求[7]。

以上研究中所使用的PMSM模塊多為MatlabSimulink中所提供封裝好的庫文件模塊和自定義的兩相輸入模型。前者使用的庫文件模塊受其集成性限制，不能方便靈活的修改參數(shù)和進行功能擴展，且坐標定義與國內(nèi)標準不符，不便于進行研究；自定義模型通常需要將整流的三相輸出變量通過Clarke變換轉換為兩相旋轉坐標系下的兩相輸入變量，與實際的電機應用情況不符。因此，本文基于永磁同步電機的基本電磁關系, 推導出三相定子電壓及磁鏈方程矩陣,并在此基礎上建立了三相坐標系下的自定義PMSM仿真模型，通過對運行數(shù)據(jù)對比分析，證明了所設計模型的正確性。

1 PMSM物理模型

目前國內(nèi)通用的永磁同步電機物理模型如圖1所示，三相靜止坐標系(ABC坐標系)，兩相靜止坐標系(αβ坐標系)和兩相旋轉坐標系(dq坐標系)是永磁同步電機控制系統(tǒng)在模型搭建過程中使用到的三種坐標系。

考慮到永磁同步電機電磁關系的復雜性，首先做出如下假設：定子繞組Y形連接，各繞組軸線在空間上互差120°，其相反電動勢波形為理想正弦，且忽略磁場高次諧波的影響；轉子永磁體產(chǎn)生主磁場，沒有阻尼繞組，其工作時轉子永磁體磁鏈為一固定常數(shù)；忽略電機的鐵心飽和，同時忽略定子鐵心與轉子鐵心損耗和磁滯損耗[8]。根據(jù)前述假設條件，PMSM三相定子繞組對稱分布，規(guī)定A、B、C分別為三相繞組的首端，X、Y、Z分別為尾端，各相繞組中電流的正方向為從首端流出，尾端流入。此時定子繞組產(chǎn)生磁場的方向根據(jù)右手螺旋定則規(guī)定為該相繞組軸線的正方向，可以建立一個三相靜止坐標系ABC坐標系，定子三相繞組軸線固定在定子繞組上，是靜止不動的，其相位在空間上互差120°電角度。

在PMSM矢量控制系統(tǒng)當中，根據(jù)磁鏈與轉矩解耦的核心，針對電機轉子建立的為兩相旋轉坐標系(dq坐標系)，其固定在轉子上，并隨著轉子同步旋轉，d軸是沿勵磁磁極的軸線分布的軸，即N極所在位置，q軸逆時針超前d軸90°電角度。當電機運轉時，轉子旋轉角速度為ω。同時規(guī)定d軸與A軸之間的夾角為變量θ。控制系統(tǒng)當中的逆變環(huán)節(jié)需要建立兩相靜止坐標系，其中α軸重合于A軸產(chǎn)生磁勢的方向，β軸逆時針旋轉超前于α軸90°電角度。

與國內(nèi)常規(guī)定義不同，在MatlabSimulink中PMSM模塊坐標系規(guī)定如圖2所示，角度θ在此是q軸與A軸之間的夾角，而非國內(nèi)通用的d軸和A軸之間的夾角[9-11]。這種相位角的差異使得針對PMSM的Simulink相關建模當中，雖然對clarke變換沒有影響，但是Park正逆變換的中間量有所不同，從而給分析研究帶來不便。

圖2 MatlabSimulink中永磁同步電機模塊坐標系定義

2 三相坐標系模型

在先前的考慮和介紹的基礎上，為統(tǒng)一坐標系定義，同時使PMSM的模型搭建更具通用性和實用性，從定子電壓方程矩陣入手，建立三相靜止坐標系下的三相輸入PMSM數(shù)學模型，定子電壓方程矩陣如下

(1)

(2)

其中

λq=Lqiq,λd=Ldid+λpm

(3)

(4)

將式(3)、(4)代入(2)有

(5)

其中，

(6)

上式中，由于永磁同步電機中永磁體的厚度大于氣隙長度，因此直軸磁阻大于交軸磁阻，而電感與磁阻成反比，所以交軸電感總是大于直軸電感，即Lq>Ld；且永磁同步電機的結構決定了其交直軸電感差異很小(小于10%)，因此交直軸電感可以看作近似相等，也就是L2=0[12]。綜上式(5)第一項中θ相關項的影響相對較小可以忽略不計。因而在三相靜止坐標系下，永磁同步電機三相坐標下定子電壓方程可以簡化為：

(7)

結合電機運動平衡方程式

(8)

式中為J折算到電機軸端的轉動慣量，Te電磁轉矩，Tl為折算到電機軸端的負載轉矩，B為摩擦系數(shù)。

電磁轉矩方程

(9)

其中p為永磁同步電機的極對數(shù),λpm為轉子永磁體磁場匝鏈到定子繞組的磁鏈,、iq和id分別為q軸與d軸的定子電流。

以及電機運行時，磁場儲能的方程

(10)

轉子旋轉角度θ與轉子角速度ωn之間的關系滿足

(11)

其中，ω為轉子的轉速[8]。

3 應用仿真

在MatlabSimulink中對比集成PMSM模型以及自定義的三相坐標系電機模型，選取永磁同步電機直接啟動過程作為研究對象，其電機參數(shù)設置為：直軸電感0.0085 mH，交軸電感0.0085 mH，定子繞組電阻2.875 Ω，轉子永磁體在定子繞組中產(chǎn)生的磁鏈0.175 Wb，轉動慣量0.0008 kg·m2，轉軸處摩擦系數(shù)為B=0，極數(shù)p=4。仿真時長為0.2 s，采用三相對稱電壓供電，電壓幅值380 v，頻率50 Hz。

圖3～6分別展示了PMSM輸出變量當中的定子三相電流，電磁轉矩，和電機轉速波形對比圖。從圖3和圖4中可以看出，電機剛起動的短時間內(nèi)(0～0.01 s)定子電流較大，經(jīng)過0.01 s以后很快趨于穩(wěn)定，其符合電機直接啟動的理論運行狀況；圖5和圖6顯示，電機直接啟動時兩種模型中電機轉速和電磁轉矩雖然起初振蕩幅度較大，但整體收斂，且最終在0.15 s以后趨于穩(wěn)定，說明電機轉速可以很快跟隨同步角速度速度；由于建立的模型僅針對電機本體，沒有施加任何控制策略，因而存在著一定程度的失步現(xiàn)象。同時通過對比發(fā)現(xiàn)，兩種模型的各項輸出曲線幾乎重合，再次證明了自定義三相坐標系模型的正確性。

圖3 自定義三相坐標系PMSM模型的三相定子電流波形圖

圖4 Simulink集成PMSM模型的三相定子電流波形圖

圖5 電磁轉矩波形對比圖

圖6 電機轉速波形對比圖

4 結論

本文設計并實現(xiàn)了一種三相坐標系的改進PMSM建模，基于對定子三相電壓矩陣的展開研究，提出了簡化磁鏈矩陣的方法，并對所建的模型從定子三相電流、轉子旋轉角度，電磁轉矩，轉子轉速和磁場儲能五個方面入手，分析了PMSM的直接啟動過程。相對于Simulink中的集成PMSM模型，自定義模型遵循國內(nèi)研究習慣，所有變量可以在線修改，方便對電機進行深入的動態(tài)研究；集成模型采用Simpower電力庫模塊搭建，而自定義模型各層均采用信號模塊，且為實現(xiàn)電機控制而采用的控制策略均以信號轉換為基礎，因此后者具有更好的兼容性。最后仿真結果對比顯示了PMSM在未使用任何控制策略的情況下能夠直接啟動并最終穩(wěn)定在同步轉子角速度，其符合理論預期，證明了本文搭建模型的正確性。

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TheThreePhaseCoordinateSystemModelingofPermanentMagneticSynchronousMotorBasedonMatlab

CHEN Wen-zhuo，JIN Wen-tao

(SchoolofElectronicandInformationEngineering,NorthChinaInstitueofScienceandTechnology，Yanjiao，065201，China)

The present models of Permanent Magnetic Synchronous Motor(PMSM) have shortcomings. On the one hand, the PMSM model in MatlabSimulink applies the coordinate system which is quite different from those recorded in the reference materials in China, and because of its highly integrity, it is hard to modify the parameters and structure. And on the other hand, custom models are often built according to Clarke transformation, which have two phase inputs, while in engineering application the motor uses three phase input. So this paper combines the three phase stator equation with the Clarke transformation matrix, and simplifies the flux linkage by analyzing the relationship between the direct axis inductance and quadrature axis inductance,to derive the three phase coordinate system model with both motor equation and electromagnetic torque equation. It is proved by the simulation result that the new model here is correct and effective.

PMSM；Three phase coordinate system；Matlab；Modeling

2017-04-05

河北省高等學校科學技術研究項目(ZC2016072)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費資助項目(3142015101、3142014074)

陳文卓(1985-)，女，河南南陽人，碩士，華北科技學院電子信息工程學院講師，主要從事電機控制技術及建模方面的研究.E-mail:wenzhuochen@sohu.com

TM351

A

1672-7169(2017)04-0052-05