申學勤 劉曉東 李 霞 翟金祥

(貴州省務川中學，貴州 遵義 564300)

穿新靴，走老路
——談數(shù)學高考題

申學勤 劉曉東 李 霞 翟金祥

(貴州省務川中學，貴州 遵義 564300)

每年高考題都會出現(xiàn)一些新鮮、別致，有創(chuàng)新感的題.考生對這部分題感到束手無策，本文就這部分題進行了剖析，并指明了解題思路以及涉及的知識點.

穿新靴走老路；高考題

常言道：穿新靴，走老路是用來形容用舊辦法、老套路去應對面臨的新事物、新情況.靴是新的，代表人是新時代的人，路是老的，代表依然用舊的思想和辦法去解決新問題.

我們以例子來加以剖析：

例1 在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到a1,a2,a3…,an共n個數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測量物理量的“最佳近似值”a是這樣一個量，與各數(shù)據(jù)的差的平方和最小.依次規(guī)定，從a1,a2,a3…,an推出的a=____.

解說背景是測量學中的最佳近似值問題，既陌生又新穎，但實質上是常見的二次函數(shù)的最值問題，于新穎中見應用，用心良苦.此題的文字敘述，許多考生覺得難以理解，造成了普遍的失分.題目的一個目的就是考“閱讀理解”，而認真理解題意，無非是初中的二次函數(shù)問題.

例2 是否存在常數(shù)a,b,c使得等式：

解說把一個新的情景納入到“數(shù)學歸納法證題”的常規(guī)題，實質上是考數(shù)學歸納法，但“含而不露”.

例3 某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人，全班k名同學都有選舉權和被選舉權.他們的編號分別為1,2，3…,k，同意的按“1”，不同意(含棄權)的按“0”.

A.a11+a12+…+a1k+a21+a22+…+a2k

B.a11+a21+…+ak1+a12+a22+…+ak2

C.a11a12+a21a22+···+ak1ak2

D.a11a21+a12a22+···+a1ka2k

解說本題具有高等數(shù)學知識背景，對于高中學生來說是新概念、新符號.但實際上為集合中“且”的概念.此高考題是所謂“高觀點試題”就是具有高等數(shù)學知識背景的試題，主要表現(xiàn)為：或以新符號、新概念出現(xiàn)或以高等數(shù)學的概念、定理為依托.新符號如aij(i、j∈N*),新概念如函數(shù)的凹凸性，一致連續(xù)等符號

ai1,aj2(i=1,2,3……k,j=1,2,3…..k)作為元素可構成一個矩陣：

fλx1+1-λx2λf(x1)+1-λf(x2)

例4 如圖所示，fi(x)(i=1,2,3,4)是定義在0,1上的四個函數(shù).其中滿足性質：“對0,1中任意的x1和x2，任意λ∈0,1，

A.f1(x)、f3(x) B.f2(x)

C.f2(x)、f3(x) D.f4(x)

解說打破常規(guī)思維，依題意，從左到右旋轉每個號碼至少要經過的步數(shù)分別為4、5、1、2、1，根據(jù)加法原理至少要4+5+1+1+2+1=14步.

例7 如圖，從A到B的路線(規(guī)定向上、向右)有多少？

(0重復了4次，1重復了6次)

例11 深夜，一輛馬車被牽涉進一起交通事故.該城市有兩家馬車公司——藍色和綠色.其中，綠色馬車和藍色馬車公司分別占整個城市馬車的85%和15%.據(jù)現(xiàn)場目擊證人說，事故現(xiàn)場的馬車是藍色，現(xiàn)對證人的辨別能力作了測試，測試他的正確辨認率是80%，于是警察就認定藍色馬車具有較大的肇事嫌疑.由于證人的話具有較高的正確辨認能力，因此證人的話具有較大的可信度，試問警察的想法正確嗎？

解說本題是概率問題，我們假設該城市共有1000輛馬車，那么根據(jù)已知信息可得

藍色：1000*15%*80%=120 綠色：1000*85%*20%=170

例12 (俄國大文豪托爾斯泰的一篇短篇小說《人需要很多土地嗎？》)有一個人要賣地，他規(guī)定太陽一出來，來買地的人就可以開始跑，一天內跑路圈出來多大地方，這塊地就屬于他，價格是一千盧布，但太陽落山時必須回到出發(fā)地，否則一千盧布就白花了.

有一個叫巴霍姆的人去買地，太陽一出來他就開始跑，他先向前跑了十俄里，才開始向左直彎拐去，又跑了許多路，再向左拐第二個直彎，此時正值中午，烈日當空，饑渴難忍，巴霍姆又跑了兩俄里，還有十五俄里趕近路，終于太陽落山時，回到了出發(fā)地，但隨即倒地不省人事，當家人告訴他圈出的地方不值一千盧布時，巴霍姆立刻口吐鮮血而亡.

解說我們按小說的描述可以畫出巴霍姆的路線圖，通過案例分析，學生自然而然提出了“最佳路線”問題，即跑同樣的路什么時候圈出的地面積最大？并提煉出下面的數(shù)學模型：設周長為L的單純閉曲線C，C為何形狀時面積最大，并證明你的結論？

講解時，一開始學生感到茫然，為了引起學生興趣，激發(fā)學生研究問題的欲望，我們可以創(chuàng)設“小步距”問題情境.

這里涉及兩個問題：(1)周長L為定值的n邊形中，以正n邊形面積最大；(2)周長L為定值的單純閉曲線中，以圓面積最大.這是從生活中的數(shù)學問題談起，感受數(shù)學，溝通主觀，數(shù)學與社會、周邊生活的密切聯(lián)系.

在上述的例子中我們就實際例題對數(shù)學文化的應用，矩陣思想和高中集合交集問題的結合，琴生不等式及拉格朗日中值定理在中學函數(shù)中的應用，排列組合思想，笛卡爾直角坐標系的應用，線性規(guī)劃，概率思想的實際應用等方面作出了分析.由此可見，高中數(shù)學不再是簡單的計算問題，更多的是實際應用問題，考察學生的綜合能力，這與各地紛紛研究新課程改革不謀而合，而高考最根本的目的還是為高校選取真正適合自己的人才.

[1]人民教育出版社,課程教材研究所,中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中課程標準實驗教科書:數(shù)學必修[M]. 北京:人民教育出版社,2011.

[責任編輯：楊惠民]

2017-07-01

申學勤(1961-)，男，貴州省遵義人，本科，中學高級教師，從事高中數(shù)學教育與教學.

劉曉東(1976-)，男，貴州省人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教育教學.

李 霞(1973-)，女，貴州省人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教育教學.

翟金祥(1990-)，男，江蘇省泰州人，本科，中學二級教師，從事高中數(shù)學教育教學.

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