段連偉，趙勝芝

(遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)院,遼寧 沈陽 110036)

混合時(shí)滯級(jí)聯(lián)切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定

段連偉，趙勝芝*

(遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)院,遼寧 沈陽 110036)

切換系統(tǒng)是一類重要的混雜系統(tǒng).在實(shí)踐中有著廣泛地應(yīng)用.研究含有混合時(shí)滯的級(jí)聯(lián)非線性切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定問題.

級(jí)聯(lián)系統(tǒng)；混合時(shí)滯；指數(shù)穩(wěn)定

1 問題陳述

考慮如下非線性級(jí)聯(lián)切換系統(tǒng)

(1)

定義1如果切換系統(tǒng)(1)滿足

‖x(t)‖≤α1‖x(t0)‖ce-β1(t-t0),?t≥t0,

(2)

定義2對(duì)任意的時(shí)間T2>T1≥0和給定的切換信號(hào)σ(t),如果存在τa>0和N0≥0,滿足

(3)

其中Nσ(T1,T2)表示在[T1,T2)內(nèi)的切換次數(shù),則稱τa為平均駐留時(shí)間,N0叫做振蕩界.不失一般性,取N0=0.

假設(shè)1存在常數(shù)η≥0,滿足

0

(4)

假設(shè)2假設(shè)存在Z>0光滑正定函數(shù)Wp(x2(t)),存在bp>0,q1>0,q2>0(p∈S),滿足

(5)

q1‖x2‖2≤Wp(x2)≤q2‖x2‖2.

(6)

引理1對(duì)于?x,y∈Rr,?ε>0,存在正定對(duì)稱矩陣Π,滿足不等式

(7)

引理2對(duì)于任意適當(dāng)維數(shù)的矩陣Z>0及標(biāo)量τ2>τ1>0,下列不等式成立

(8)

其中τ12=τ2-τ1.

2 主要結(jié)果

對(duì)于切換系統(tǒng)(1),有以下指數(shù)穩(wěn)定結(jié)果.

定理1如果存在ε>0,μ≥1和正定對(duì)稱矩陣Pi,Qi,Zi,Yi,Hi,Mi,Ei,Ti,滿足

(9)

Pi≤μPj,Qi≤μQj,Zi≤μZj,Yi≤μYj,?i,j∈S,i≠j,

(10)

且平均駐留時(shí)間τa滿足

(11)

則混合時(shí)滯級(jí)聯(lián)切換系統(tǒng)(1)指數(shù)穩(wěn)定.

證明選取如下Lyapunov-Krasovskii函數(shù)

(12)

沿著系統(tǒng)(1)的軌跡,可得

由引理2,可得

由引理1,可得

(13)

(14)

(15)

由(13)-(15),可得

其中

(16)

(17)

(18)

(19)

從而有

(20)

由(10)和(12),可得

Vi≤μVj,?i,j∈S,i≠j.

(21)

因此當(dāng)t∈[tk,tk+1)時(shí),有Vσ(t)(t)≤e-α(t-tk)Vσ(tk)(tk).

由(12)和假設(shè)2,可得

Vσ(t)(t)≥d1‖x1(t)‖2+q1‖x2(t)‖2,

其中d1=min{λmin(Pi),i∈S}.

(22)

其中

d2=max{λmax(Pi),i∈S}+H·max{λmax(Qi)+λmax(Zi)H+λmax(Yi)hu,i∈S},

δ1=min{d1,q1},δ2=max{d2,q2}.

進(jìn)而有

(23)

其中x(t)=(x1,x2)T.從而有

所以

‖x(t)‖≤α1‖x(t0)‖ce-β1(t-t0).

(24)

因此時(shí)滯級(jí)聯(lián)切換系統(tǒng)(1)指數(shù)穩(wěn)定.

[1] Li S,Xiang Z R,Karimi H R.Stability andL1-gain controller design for positive switched systems with mixed time-varying delays[J].Applied Mathematics and Computation,2013(222):507-518.

[2] Zhai J Y,Wang B,Fei S M.Tracking control for switched nonlinear systems with muitiple time-varying delays[J].Nonlinear Analysis:Hybrid Systems,2015(17):44-55.

[3] Jin Y,Fu J,Zhang Y M,Jing Y W.Reliable stabilization of switched system with average dwell-time approach[J].Journal of the Franklin Institute,2013(350):452-463.

(責(zé)任編輯鄭綏乾)

ExponentialStabilityofCascadeSwitchedSystemswithMixedDelays

DUAN Lian-wei，ZHAO Sheng-zhi*

(SchoolofMathematics,LiaoningUniversity,Shenyang110036,China)

Switched systems are a class of hybrid systems.It has been widely used in practice.This paper studies the exponential stability problem for cascade switched systems with mixed delays.

cascade systems;mixed delays;exponential stability

2016-11-14

段連偉(1986-),男,山東濰坊人,碩士研究生,研究方向：非線性級(jí)聯(lián)切換系統(tǒng).

*

趙勝芝(1965-),女,遼寧鐵嶺人,教授,研究方向：非線性切換系統(tǒng).

O 231

A

1000-5846(2017)03-0193-04