徐敏

【摘 要】幾何學的“維”數(shù)是基本幾何圖形的活動自由度?？臻g、幾何元素的坐標及“維”數(shù)的定義讓我門認識到空間“維”數(shù)與幾何學“維”數(shù)的不同，更好的掌握空間“維”數(shù)與幾何學“維”數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別。無論是原來的證書維數(shù)還是近幾十年產(chǎn)生的新興的分形幾何學中的分數(shù)維數(shù)都是涉及到基本的“維”數(shù)問題。

【關(guān)鍵詞】空間維數(shù)；幾何學維數(shù)；活動自由度；有序數(shù)組；獨立參數(shù)

在高等幾何學的學習過程中須掌握一個基本問題——維數(shù)問題。如空間解析幾何的射影變換群稱為“八維群”，而仿射變換群是射影變換群的一個子群，也稱“六維群”等等。但這里所涉及到的“維”數(shù)僅限于高等幾何學中的空間的維數(shù)與幾何學的維數(shù)。

幾何學或者說是西方幾何學最早來源于古埃及，埃及的幾何學只有實際問題的解決而沒有定理，沒有規(guī)律的精確表達，金字塔的輝煌說明了數(shù)學的輝煌，但埃及人在輝煌面前止步.如將“幾何學”的重大歷史事件看作“點”，按時間的循環(huán)排列起來，只涉及哪個“點”是在哪兩個“點”之間，下面我們就其“維”數(shù)問題進行研究：

一、空間、幾何元素的坐標及“維”數(shù)的定義

空間是從物理學上借用來的概念，后再數(shù)學上得到廣泛應(yīng)用，因此克難攻堅的概念對我們來說是熟悉的。我們生活的空間是包含在上下、前后、左右之中。如果需要用三個方向來表示，也就是說空間是“三維”的。愛因斯坦認為：每一瞬間三維空間中的所有實物在占有一定的位置就是四維的。比如，我們所住的房子是由長度.寬度和高度和時間（慈寧宮房子蓋起時算起到最后房子倒塌為止）制約的。在數(shù)學中經(jīng)常用的“空間”這個概念所指的范圍很廣，一般指某種對象（現(xiàn)象、圖形、函數(shù)等）的任意集合，只書名其“距離”或“領(lǐng)域”的概念即可.

定義1：一類基本元素的非空集合稱為空間。用數(shù)作基本元素構(gòu)成數(shù)空間。數(shù)空間有實的、復的、一維的、二維的……n維的以及無情維的等等，如用圖形作基本元素稱為點空間。高等幾何中除點之外及無窮維的等等，如用圖形作基本元素稱為點空間。高等幾何中除點之外，還有其他簡單的幾何圖形。如線、三角形和多邊形、（平面）、園、球……..，對應(yīng)有線空間面空間、圓空間、球空間等等

數(shù)空間和點空間是相互對應(yīng)的，即

一維實數(shù)空間 ←—→ 直線上的點空間

二維實數(shù)空間 ←—→ 平面上的點的空間

三維實數(shù)空間 ←—→ 三度的點的空間

…… ……

n維實數(shù)空間 ←—→ n度的點空間

…… ……

在用代數(shù)工具處理幾何問題時，就需要建立一定的坐標系而坐標系的類型及選用就須考慮幾何元素的坐標.

定義2：如果一個數(shù)或一個有序數(shù)組的集合能與幾何元素的全體建立一一對應(yīng)，那么這個數(shù)或這個有序數(shù)組稱為這個幾何元素的坐標。

例如：直線上的點的坐標為X

平面上的點的坐標（X1，X2）

平面上圖的坐標為有序組（a，b，r） {圓心（a，b）半徑為r}

所謂“維”的概念如果我們所談到的只是簡單的幾何圖形，如點、線、三角形和多邊形……，那么理解維的概念并不困難：點的維數(shù)是零；一條線段的維數(shù)是一；一個的三角形的維數(shù)是二；一個立方體內(nèi)所有的集合是三維的。

定義3：空間的維數(shù)指構(gòu)成空間的基本元素（比如點）的活動自由度，就是點的獨立坐標數(shù)。如：直線上的點集是一維，通常稱直線為一維空間，記作V1，V1中的元素記為P（X），平面上的點集是二維的，通常稱平面上的點為而為空間，記作V2，V2中的元素記作P（X1，X2），n維空間記作Vn，Vn中的元素記作P（X1，X2，X3，…….Xn）。幾何學研究的n維空間的概念就可以理解成由空間的點的n個坐標決定，一般來說，某個圖形由n個條件給出，那么這個圖形就是n維的。

定義4：幾何學的維數(shù)是指基本幾何圖形（比如：點、直線、平面、園、球等）的活動自由度，就是這些基本圖形的獨立坐標數(shù)或方程中的獨立參數(shù)個數(shù)，如平面上的集合是二維的，空間中的平面集合的是三維的。

定義5：如果在線性空間v中有n個線性無關(guān)的向量，但是沒有更多數(shù)目的線性無關(guān)的向量，那么V就稱為n維的；如果在V中可以找到任意多個能夠無關(guān)的向量，那么V就稱為無限維的。

二、幾何學的“維”數(shù)與空間的“維”數(shù)的區(qū)別

除了幾何學與空間的起源和定義不同之處，還有其他的區(qū)別，下面舉例說明：

例1：以三維空間內(nèi)直線為幾何元素是幾維的？

解：三維空間內(nèi)直線的一般式方程為

L：A1X+B1Y+C1Z+D1=0A2X+B2Y+C2Z+D2=0

將它化成射影

Y=AX+BZ=CX+D （1）

直線1與方程組（1）可建立一一對應(yīng)，可得直線1決定于獨立參數(shù)a，b，c，d

所以，三維空間中的直線幾何學是四維的。

例2：以二維空間內(nèi)的圓錐曲線為集合元素的集合學是幾維的？

解：平面上圓錐曲線的一般方程為

ax2+2hxy+by2+2gx+2fy+c=0且a，b，h不全為0，

與上例相同不妨設(shè)a≠0得

x2+2h'xy+b'y2+2g'x+2f'y+c'=0

有序數(shù)列（h'，b'，g'，f'，c'）可與平面上的圓錐曲線建立一一對應(yīng)，所以該數(shù)組可作為平面上圓錐曲線的坐標，即二維空間上的圓錐曲線為幾何元素的幾何學是五維的。endprint