李笑妍

(山東省肥城市泰西中學(xué)2015級13班,山東 泰安 271600)

高中數(shù)學(xué)的恒成立問題分析

李笑妍

(山東省肥城市泰西中學(xué)2015級13班,山東 泰安 271600)

本文以高中數(shù)學(xué)的恒成立問題分析為主題，從幾個方面進行詳細(xì)的討論.

高中數(shù)學(xué)；恒成立問題

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，恒成立問題主要是不等式的證明、方程與函數(shù)相結(jié)合等知識內(nèi)容，進而考查我們對其中相應(yīng)的數(shù)學(xué)解題技巧和方法的掌握程度.同時，經(jīng)常會有一些參數(shù)的取值范圍來考查我們嚴(yán)謹(jǐn)度等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，所以，恒成立問題雖然只是高中數(shù)學(xué)中的一部分，但是可以將各種知識結(jié)合起來，對我們數(shù)學(xué)的綜合素質(zhì)進行考查.

一、結(jié)合圖象證明恒成立問題

在高中數(shù)學(xué)恒成立的問題解答中，我們可以結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識和解題技巧，來快速的完成相應(yīng)的恒成立問題.其中，結(jié)合圖象法能夠讓我們對所證明的問題有一個清晰的目的，并且熟練運用數(shù)學(xué)條件之間的關(guān)系，高效地完成高中數(shù)學(xué)恒成立問題.下面舉例進行說明結(jié)合圖象法完成相應(yīng)數(shù)學(xué)恒成立問題的解答.當(dāng)0lt;xlt;π/2時，比較x,sinx與tanx的大小.根據(jù)這道數(shù)學(xué)題，學(xué)生們可以首先構(gòu)建一個原點為O的直角坐標(biāo)系，然后以原點為圓心作出一個單位圓，與橫軸的正方向相交于點A.然后再作出角x，與單位圓的交點為點P，過點A作橫軸的垂線交于點Q.過點P作橫軸的垂線，垂足為點B.通過做出的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生們可以直觀地看出來，三角形POA的面積小于扇形OPA的面積小于三角形OAQ的面積，然后通過三角形和扇形的面積公式，學(xué)生們可以得出線段PB的長度小于AP弧的長度小于AQ的長度，學(xué)生們再通過數(shù)學(xué)模型來找出x,sinx，tanx的意義，找出對應(yīng)的線段和弧長，最后得出sinxlt;xlt;tanx的結(jié)論.又如下面這道數(shù)學(xué)證明題，證明：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)lt;1.通過我們對題意的理解，動手試試解答.我們不難發(fā)現(xiàn)通過以往證明不等式的方法很難證明出，所以，我們就要發(fā)散自己的思維，對題意進一步了解.通過對題意的仔細(xì)思考，我們不難發(fā)現(xiàn)，1-x、1-y和1-z都是正數(shù)，并且可以看作是兩線段積的和，聯(lián)想三角形的面積公式s=(absinC)/2.我們可以構(gòu)造三角形進行解答，進而將題目中的數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問題，如右圖.構(gòu)造出一個邊長為1的等邊三角形，在AB，BC，CA，上各取點P，Q，E，使得AP=x,BQ=z,CE=y,那么BP=1-x,CQ=1-z.AE=1-y.我們通過圖形不難發(fā)現(xiàn)，三角形APE的面積與三角形BPQ的面積與三角形CQE的面積之和小于三角形ABC的面積，再經(jīng)過相應(yīng)的化簡，最終得出我們所要證明的問題.在高中數(shù)學(xué)恒成立問題分析和解答中，將所給的數(shù)學(xué)條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的圖象，然后思考出一個證明的思路，進而快速高效地完成該數(shù)學(xué)恒成立問題，提高自身的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、函數(shù)中的恒成立問題分析

在高中數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中，可以說一直是我們所要研究的對象，將其他的數(shù)學(xué)知識結(jié)合到函數(shù)中以恒成立問題的方式進行考查.我們經(jīng)常會因為其中包含的知識較多，而沒有一個清晰的解題思路.下面將舉例分析函數(shù)中恒成立問題的解答.例如，函數(shù)f(x)=kx+1gt;0(k≠0),x∈[-1,1]恒成立，求解k的取值范圍.我們在該問題的解題過程中，首先需要該函數(shù)的表達式進行判斷該函數(shù)是否具有單調(diào)性和增減性，我們可以直接看出該函數(shù)為基礎(chǔ)的一次函數(shù)，其增減性由k的值來決定，所以我們可以運用分類討論的解題思想.當(dāng)kgt;0時，該函數(shù)單調(diào)遞增，只需要x的值取-1的時候大于0就可以了；當(dāng)klt;0時，該函數(shù)為單調(diào)遞減，只需要將x的值為1的時候大于0.這樣結(jié)合以上的解題思路，列出兩個不等式組，進而運用不等式相關(guān)知識完成該問題的解答.在這道題中，要想證明該函數(shù)大于0恒成立，只需要將其恒成立所需要的條件一一例舉出來，結(jié)合成不等式組，通過解不等式組的方式來完成該恒成立問題的解答.除此之外，比如下面這道數(shù)學(xué)恒成立問題.設(shè)函數(shù)f(x)=(m-1)x2+(m-1)x+2gt;0的解集為R，求m值的取值范圍.我們根據(jù)該函數(shù)的表達式可見為一元二次方程，其中對該方程的解集我們有專門的公式，Δ=b2-4ac,通過對該方程式的取值來求解方程的解集.所以，在這道題的解答中，運用該判定公式來求出一個關(guān)于m的不等式，結(jié)合不等式的解題方法和數(shù)學(xué)知識，完成最終m取值范圍的解答.在該數(shù)學(xué)恒成立問題中，需要對函數(shù)性質(zhì)和相關(guān)公式的熟練掌握和運用，進而完成恒成立問題的解答.

三、化歸思想解答恒成立問題

總而言之，對高中數(shù)學(xué)中恒成立問題的解答，我們需要有一個夯實的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)，能夠?qū)χ攸c問題解答的技巧和方法熟練地掌握和運用，進而提高恒成立問題解答的能力.

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[2]陸永剛. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的實踐探析[J]. 信息化建設(shè),2016(06):210.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

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1008-0333(2017)25-0018-02

2017-07-01

李笑妍(2000-)女，山東泰安人,高中在讀.