王 華

(新疆哈密市伊州區(qū)三道嶺第二中學(xué),新疆 哈密 839003)

高考數(shù)學(xué)解題思想方法之化歸轉(zhuǎn)化

王 華

(新疆哈密市伊州區(qū)三道嶺第二中學(xué),新疆 哈密 839003)

化歸轉(zhuǎn)化是高考數(shù)學(xué)中最重要的思想方法之一，幾乎每題都會用到，特別在導(dǎo)數(shù)題目中體現(xiàn)的尤為明顯.本文以下題為例對化歸轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用進(jìn)行分析和探究.

化歸轉(zhuǎn)化；化簡

一、問題提出

化歸轉(zhuǎn)化思想就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題得到解決的一種數(shù)學(xué)方法，一般是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.下面我們通過一道題目來說明.

題目設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.(1)證明：f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增；(2)若對于任意x1,x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范圍.

二、分析問題

在教學(xué)過程中，學(xué)生對導(dǎo)數(shù)問題很“畏懼”.希爾伯特說：“當(dāng)我聽別人講解問題時(shí)，常常很難理解，甚至不可能理解.這時(shí)便想，是否可以將問題化簡些呢？往往，在終于弄清楚之后，實(shí)際上，它只是一個(gè)更簡單的問題.”文[1] 中指出“是否可以將問題化簡些呢”是一個(gè)非常重要的解題策略.如何撥開層層迷霧，去接近問題的本質(zhì)，將看起來很復(fù)雜的問題，一步步化簡到學(xué)生可以達(dá)到的“最近發(fā)展區(qū)”.

在教學(xué)中，求解導(dǎo)函數(shù)是學(xué)生都能掌握的基礎(chǔ)知識，且大部分學(xué)生可以正確求解出導(dǎo)函數(shù)，并能合并同類項(xiàng)整理成為f′(x)=m(emx-1)+2x.那么，由導(dǎo)函數(shù)如何證明函數(shù)在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增呢？分析結(jié)論發(fā)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性與參數(shù)m無關(guān)，且函數(shù)駐點(diǎn)為零.再進(jìn)一步分析結(jié)論證明函數(shù)在(-∞,0)單調(diào)遞減，即證明當(dāng)xlt;0,f′(x)lt;0 .因?yàn)閤lt;0，所以2xlt;0，要證f′(x)lt;0，只需證m(emx-1)lt;0,那么問題化簡為xlt;0時(shí)，m(emx-e0)lt;0.進(jìn)一步化簡為xlt;0時(shí)，比較emx與e0大小，顯然，這時(shí)問題已然解決.

經(jīng)過分析上面兩不等式結(jié)構(gòu)具有統(tǒng)一性，此處學(xué)生可以將問題化簡為函數(shù)g(t)=et-t-e+1≤0，求解t的取值范圍.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)g′(t)=et-1，g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增.又g(1)=0，又g(-1)=e-1+2-elt;0，顯然t∈[-1,1]時(shí)，g(t)≤0，即當(dāng)m∈[-1,1]時(shí)，g(m)≤0,g(-m)≤0.再考慮當(dāng)mgt;1和mlt;-1時(shí)g(t)的函數(shù)值，當(dāng)mgt;1，由g(t)的單調(diào)性，g(m)gt;g(1)=0，即em-mgt;e-1；根據(jù)函數(shù)g(x)的結(jié)構(gòu)，當(dāng)mlt;-1時(shí)，-mgt;1，g(-m)gt;g(1)=0，即e-m+mgt;e-1，這時(shí)問題已然解決.

三、解決問題

通過上述分析學(xué)生不再有“老師解題像是魔術(shù)師從帽子里變出兔子一般，充滿神秘感”.學(xué)生能夠體會每一次困難的解決實(shí)質(zhì)是對問題的一次化簡的過程.下面為該題的解答過程.

①

設(shè)函數(shù)g(t)=et-t-e+1.則g′(t)=et-1，當(dāng)tlt;0時(shí)，g′(t)lt;0；當(dāng)tgt;0時(shí)，g′(t)gt;0，故g(t)在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-elt;0，故當(dāng)t∈[-1,1]時(shí)，g(t)≤0.當(dāng)m∈[-1,1]時(shí)，g(m)≤0,g(-m)≤0，即①式成立；當(dāng)mgt;1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，g(m)gt;0，即em-mgt;e-1.當(dāng)mlt;-1時(shí)，g(-m)gt;0，即e-m+mgt;e-1.綜上，m的取值范圍是[-1,1]

華羅庚教授說過：“善于‘退’，足夠的‘退’，退到原始而不失一般性的地方.”這里的“退”就是我們前面一直提到的化簡.本文的撰寫是想以一個(gè)高考的導(dǎo)數(shù)題為例，闡述高考中較難試題的一個(gè)一般性的方法，即是通過化歸轉(zhuǎn)化，將生疏的、困難的問題化簡為學(xué)生熟悉的、簡單的問題，進(jìn)而將問題愉快地、順利地解決.

[1] 許曉天.優(yōu)化例題教學(xué)力促高效解題[J].中學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)參考：上旬，2015(4):30-34.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

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2017-07-01

王華(1983.2-) 女, 四川省資中人,中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué).