侯立春

（銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽銅陵244000）

一類反應(yīng)擴(kuò)散捕食模型高維空間中的古典解

侯立春

（銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽銅陵244000）

文章討論的反應(yīng)擴(kuò)散捕食模型帶有交錯(cuò)擴(kuò)散項(xiàng)，目前有關(guān)此類模型的已知結(jié)果非常少，文章主要應(yīng)用能量估計(jì)方法，并結(jié)合Shauder理論和Bootstrap技巧證明了模型高維空間中古典解的存在性.文章研究結(jié)果可視為具有交錯(cuò)擴(kuò)散項(xiàng)的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型相關(guān)工作在一定程度上的推廣.

捕食-食餌模型；交錯(cuò)擴(kuò)散；古典解；能量估計(jì)

1 引言與主要結(jié)論

本文討論如下帶有交錯(cuò)擴(kuò)散項(xiàng)的捕食-食餌模型

其中di,αii(i=1,2,3),α31,α32，均為正的常數(shù).d1,d2,d3分別為三個(gè)種群的擴(kuò)散率.αii(i=1,2,3)為自擴(kuò)散率，表明個(gè)體從種群的高密度區(qū)向低密度區(qū)運(yùn)動(dòng).α31,α32為交錯(cuò)擴(kuò)散率，交錯(cuò)擴(kuò)散表示一個(gè)種群向另外一個(gè)種群流動(dòng).一般地，交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)可以是正的、負(fù)的或者是零.正的交錯(cuò)擴(kuò)散項(xiàng)表示一個(gè)種群向另一個(gè)種群的低密度區(qū)擴(kuò)散，負(fù)的交錯(cuò)擴(kuò)散項(xiàng)表示向另一個(gè)種群的高密度區(qū)擴(kuò)散，交錯(cuò)擴(kuò)散為零表示種群是自包含的，更具體的生物意義可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1].

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在討論過(guò)程中始終假定系數(shù)a0,a1,a2,a3,k,b為正常數(shù)，給定相關(guān)符號(hào)為

本文的主要結(jié)果是關(guān)于模型在高維空間中古典解的存在性，結(jié)論敘述如下：

定理1.1設(shè)初值u0,v0,w0≥0滿足齊次Neumann邊界條件，且u0,v0,w0∈C2+λ(Ωˉ)(λ∈(0,1)).如果空間Ω的維數(shù)n＜6，則問(wèn)題(1.1)有唯一非負(fù)古典解

2 輔助引理及證明

引理2.1設(shè)問(wèn)題(1.1)解為(u1,u2,w).則存在正的常數(shù)，使得

證明對(duì)(1.1)應(yīng)用比較原理[2]，易知.u1≥0,u2≥0,w≥0

注意到f1,f2在R2上充分光滑，在R+2上擬單調(diào).設(shè)(0,0)，(M,N)為輔助問(wèn)題(2.2)的一對(duì)上、下解，其中M,N為正的常數(shù).直接計(jì)算不等式

引理2.2設(shè)X=(d1+α11u1)u1，u∈L∞(QT)為下列方程的解

其中d1，α11為正常數(shù)，且0≤w≤L2(QT).則存在依賴于||u10||

進(jìn)一步地，

證明由X=(d1+α11u1)u1，易知

對(duì)(2.6)的右端使用H?lder不等式和Young不等式，對(duì)某個(gè)m1＞0，我們有

將(2.7)代入(2.6)，得到

其中m2依賴于方程的正則性估計(jì)([3,Lemma2.3]),得

引理2.3(引理2.3可綜合文獻(xiàn)[4]中引理2.3及引理2.4得到)

且存在β∈(0,1)和CT使得則存在依賴于n,Ω,p,β和CT的正常數(shù)M'，使得

引理2.4設(shè)Ω∈RN為有界區(qū)域且?Ω?C2，則對(duì)?u1∈

其中C是依賴于q,n,Ω,T的正常數(shù).

3 主要結(jié)論的證明

下面分三步完成模型(1.1)非負(fù)古典解的存在性，即對(duì)定理1.1進(jìn)行證明.

證明第一步，關(guān)于w的L1-,L2-及Lq-估計(jì).首先，對(duì)(1.1)的第三個(gè)方程在Ω上積分，得

從而，

進(jìn)一步地，

在[0,T]上對(duì)(2.8)積分，得

其次，在(1.1)的第三個(gè)方程兩邊乘以qwq-1(q＞1)，并在Ω上積分，得

上式在[0,T](t≤T)上積分，得

于是由引理2.3和(2.16)，得

最后，不難看出q=2滿足(n2-4)q＜n2+4n,(n=2,3,4,5).所以在(2.11)和(2.12)中取q=2，則存在正常數(shù)M4，使得

第二步，關(guān)于w的L∞-范數(shù)估計(jì).將模型(1.1)的第三個(gè)方程改寫(xiě)為

(1)||w||V2(QT)有界

其中u2,μ1為正常數(shù)，q,r滿足

下面依次證明條件(1)-(3)成立.由(2.18)，并注意到n≤5，易知條件(1)成立.只須選取u2=d3，則條件(2)成立.為了證明條件(3)，將(1.1)的第一個(gè)方程改寫(xiě)為

由引理2.1，d1+2α11在QT上有界.對(duì)任意對(duì)(2.21)，由H?lder連續(xù)性([5,T h10.1,p.204]),得

返回到(2.5).由(2.1)和(2.17)知，C1+C2w∈Lq(QT),?q∈從而對(duì)(2.5)，由拋物方程的正則性([13,T h9.1,p.341-342]),得

第三歩，證明對(duì)于任意T＞0,模型(1.1)的解(u1,u2,w)在QT上是古典的.因?yàn)?d1+2α11u1)f1對(duì)任意q＞1，由(2.24)有所以，對(duì)?β*∈(0,1),從而由Lemma3.3([5],又通過(guò)直接計(jì)算X=(d1+α11u1)u1，得

將(1.1)的第三個(gè)方程重寫(xiě)為

綜合上面證明的系列結(jié)果，易知(-b+u1-w)w∈L∞(QT)且u1,u2,w,▽u1,▽u2在QT上有界.于是由Theorem10.1([5],p.204)知，存在σ1∈(0,1)，使得

類似于引理2.2的證明，我們有▽u2∈L2(QT),即u2∈V2(QT),則對(duì)(1.1)的第二個(gè)方程應(yīng)用Theorem10.1，存在σ2∈(0,1),使得

進(jìn)而應(yīng)用Schauder估計(jì)([5],p.320-321)，對(duì)σ*=min{σ2,λ}有由Sobolev嵌入定理，則同樣使用Schauder估計(jì)，可得

其中f(x,t)=(d3+a31u1+a32u2+2a33w)(-b+u1-w)w+(a31u1t+a32u2t)w由(2.25)-(2.27),我們有(2.29)應(yīng)用Schauder估計(jì)，可得

將(1.1)的第一個(gè)方程改寫(xiě)為

特別地，如果λ＜α，則σ=λ，即定理2.1被證明.如果α＜λ，由Sobolev嵌入定理知重復(fù)上述Bootstrap技巧和S hauder估計(jì)過(guò)程，定理2.1的證明被完成.

〔1〕B.Dubey,B.Hussain,A predator-prey interaction model with self and cross-diffusion,Ecological Modelling.141(2001)67-76.

〔2〕M.H.Protter,H.F.W einberger,Maximum Principles in Differentical Equations,2nd ed,Spring-Verlag,New York,1984.

〔3〕Y.Lou,W.N i,Y.W u,On the global existence of a cross-diffusion system,Discreate and Continuous Dynamical Systems.4(1998)193-203.

〔4〕Y.S.Choi,Roger Lui,Yoshio Yamada.Existence of Global Solutions for the Shigesada-Kawasaki-Teramoto Model with Strongly Coupeled Cross-diffusion,Discreate and Continuous Dynam ical Systems.10(2004)719-730.

〔5〕O.A.Ladyzenskaja,V.A.Solonnikov,N.N.Uralceva,Linear and Quasilinear Partial Differential Equations of Parabolic Type,Translations of Mathematical Monographs,23,AMS,1968.

〔6〕謝君輝，劉婷婷，等.一類具反應(yīng)擴(kuò)散的捕食模型平衡態(tài)模式的定性分析[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015（03）.

O175.26

A

1673-260X（2017）11-0003-04

2017-08-18

安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2015A251)；池州學(xué)院自然科學(xué)研究項(xiàng)目（2016ZR009）