■河南省許昌市第二高級(jí)中學(xué) 張軍志

滌盡鉛華，返璞歸真
——看正、余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用

■河南省許昌市第二高級(jí)中學(xué) 張軍志

現(xiàn)實(shí)生活中,存在大量的對(duì)距離、高度、角度等問題的研究,褪去其載體,對(duì)于其表面的實(shí)際情景,則可抽象為對(duì)三角形的求解問題。借助于正、余弦定理,可對(duì)這些實(shí)際問題加以研究和解決。

問題一:測(cè)量距離問題

距離問題的解法:研究測(cè)量距離問題時(shí),要選取合適的輔助測(cè)量點(diǎn),構(gòu)造三角形,將問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問題,從而利用正余弦定理求解。

圖1

如圖1,在一條海防警戒線上的點(diǎn)A,B,C處各有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn),B,C兩點(diǎn)到A的距離分別為20km和50km,某時(shí)刻,B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波信號(hào),8s后A,C同時(shí)接收到該聲波信號(hào),聲波在水中的傳播速度是1.5km/s。

(1)設(shè)A到P的距離為xkm,用x表示B、C到P的距離,并求x的值;

(2)求P到海防警戒線AC的距離。

解:(1)依題意,有PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12。

(2)作PD⊥AC于點(diǎn)D,在△ADP中,由cos∠PAD=得sin∠PAD=PAsin∠PAD=

如圖2,已知在東西方向上有M、N兩座小山,山頂各有一個(gè)發(fā)射塔A、B,塔頂A、B的海拔分別為AM=100m和BN=200m,一測(cè)量車在小山M的正南方向的點(diǎn)P處測(cè)得發(fā)射塔頂A的仰角為30°,該測(cè)量車向北偏西60°方向行駛了1003m后到達(dá)點(diǎn)Q,在點(diǎn)Q處測(cè)得發(fā)射塔頂B的仰角為θ,且∠BQA=θ,經(jīng)測(cè)量tanθ=2,求兩發(fā)射塔頂A、B之間的距離。

圖2

解:在Rt△AMP中,∠APM=30°,AM=100,則PM=1003,連接QM,在△PQM中,∠QPM=60°,又PQ=1003,故△PQM為等邊三角形,QM=1003。

在Rt△AMQ中,由AQ2=AM2+QM2,得AQ=200。

在Rt△BNQ中,tanθ=2,BN=200,故BQ=100cosθ=

在△BQA中,BA2=BQ2+AQ2-2BQ

點(diǎn)評(píng):求距離問題時(shí)注意:選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形,首先確定所求量所在的三角形,若其他量已知?jiǎng)t直接求解;若有未知量,則把未知量放在另一確定的三角形中求解。

問題二:解決高度問題

對(duì)于高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問題,求解時(shí)要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用,若是空間的問題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合。

(2015·湖北高考)如圖3,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=____m。

圖3

解:由題意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°。

圖4

如圖4,為了估測(cè)某塔的高度,在同一水平面的A、B兩點(diǎn)處進(jìn)行測(cè)量。在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂C在西偏北20°的方向上,仰角為60°;在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂C在東偏北40°的方向上,仰角為30°。若A、B兩點(diǎn)相距130m,則塔的高度CD=

解:分析題意可知,設(shè)CD=h,則AD=BD=在△ADB中,∠ADB=180°-20°-40°=120°,由余弦定理AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos120°,可得1302=3h2+解得h=10故塔的高度為10

點(diǎn)評(píng):求解高度問題時(shí)注意:(1)在測(cè)量高度時(shí),理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵;(2)在實(shí)際問題中,可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題,這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形,一個(gè)空間圖形,一個(gè)平面圖形,這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò);(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。

問題三:測(cè)量角度問題

求解測(cè)量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上,畫出表示實(shí)際問題的圖形,并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解。

在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中,紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向,相距12nmile的水面上,有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn),若紅方偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度,沿北偏東45°+α方向攔截藍(lán)方的小艇。若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住,求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值。

圖5

解:如圖5,設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過xh后在C處攔住藍(lán)方的小艇,則AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°。

根據(jù)余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°,解得x=2。

故AC=28,BC=20。

圖6

如圖6,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救。信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20nmile的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,求cosθ的值。

解:在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800?BC=207。

由∠BAC=120°,知∠ACB為銳角,則cos∠ACB=

由θ=∠ACB+30°,得cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=

點(diǎn)評(píng):解決測(cè)量角度問題時(shí),要明確方位角及方向角的含義,方位角是指北方向線與目標(biāo)方向線按順時(shí)針之間的夾角,而方向角是正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角。

通過以上常見正、余弦定理在解實(shí)際問題中的應(yīng)用,我們可概括其一般的解題步驟為:第一步,分析——理解題意,分清已知與未知,畫出示意圖,并標(biāo)出條件;第二步,建?！鶕?jù)已知條件與求解目標(biāo),把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中,建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型;第三步,求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解;第四步,檢驗(yàn)——檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義,從而得出實(shí)際問題的解。

(責(zé)任編輯 徐利杰)