考題年年在變，考點(diǎn)卻“巋然不動(dòng)”.以史為鑒看高考命題.從2017年的高考真題中，三角函數(shù)、解三角形與平面向量有哪些基本考點(diǎn)呢？本文一一道來(lái)，供同學(xué)們備考之用.

一、三角函數(shù)

三角函數(shù)歷來(lái)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)（如單調(diào)性、周期、最值、對(duì)稱(chēng)性、圖象變換等），三角函數(shù)式的恒等變換、有關(guān)公式的化簡(jiǎn)、求值等.試題難度以基礎(chǔ)題與中檔題為主.

考點(diǎn)1三角恒等變換與求值

例1（1）[2017年·江蘇]若tan（α-π4）=16，則tanα=.

（2）[2017年·山東]已知cosx=34，則cos2x=（）

（A）-14（B）14（C）-18（D）18

（3）[2017年·新課標(biāo)I]已知α∈（0，π2），tanα=2，則cos（α-π4）=.

分析：（1）將α變形為（α-π4）+π4，進(jìn)而利用兩角和的正切公式，便可求得tanα的值；（2）利用余弦倍角公式；（3）先由已知條件求出sinα與cosα，再利用兩角差的余弦公式.

解：（1）tanα=tan[（α-π4）+π4]

=tan（α-π4）+tanπ41-tan（α-π4）tanπ4=16+11-16=75.

（2）由cosx=34得cos2x=2cos2x-1=2×（34）2-1=18，故選D.

（3）由tanα=2得sinα=2cosα，

又sin2α+cos2α=1，所以cos2α=15，

因?yàn)棣痢剩?，π2），所以cosα=55，sinα=255，

所以cos（α-π4）=cosαcosπ4+sinαsinπ4

=55×22+255×22=31010.

評(píng)注：（1）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值要遵循“三看”原則，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.（2）三角函數(shù)式化簡(jiǎn)與求值要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系（和、差、倍、互余、互補(bǔ)等），尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn).

考點(diǎn)2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例2（1）[2017年·新課標(biāo)I]已知曲線(xiàn)C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+2π3），則下面結(jié)論正確的是（）

（A）把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2

（B）把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2

（C）把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2

（D）把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2

（2）[2017年·山東]函數(shù)y=3sin2x+cos2x最小正周期為（）

（A）π2（B）2π3（C）π（D）2π

（3）[2017年·新課標(biāo)III]函數(shù)f（x）=15sin（x+π3）+cos（x-π6）的最大值為（）

（A）65（B）1（C）35（D）15

分析：（1）利用三角圖象變換規(guī)律，注意“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”的區(qū)別；（2）利用三角恒等變換公式將原函數(shù)變形為Asin（ωx+φ）+B（A>0）的形式，則最小正周期為2π|ω|；（3）與（2）一樣，將原函數(shù)變形為Asin（ωx+φ）+B（A>0）的形式，就可得到最大值A(chǔ)+B.

解：（1）C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+2π3）.首先曲線(xiàn)C1、C2統(tǒng)一為一三角函數(shù)名，可將C1：y=cosx用誘導(dǎo)公式處理.

y=cosx=cos（x+π2-π2）=sin（x+π2）.橫坐標(biāo)變換需將ω=1變成ω=2，即y=sin（x+π2）C1上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到它原來(lái)的12y=sin（2x+π2）=sin2（x+π4）y=sin（2x+2π3）=sin2（x+π3）.

注意ω的系數(shù)，在右平移需將ω=2提到括號(hào)外面，這時(shí)x+π4平移至x+π3，

根據(jù)“左加右減”原則，“x+π4”到“x+π3”需加上π12，即再向左平移π12.故選D.

（2）因?yàn)閥=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），所以其周期T=2π2=π，故選C.

（3）由誘導(dǎo)公式可得：cos（x-π6）=cos[π2-（x+π3）]=sin（x+π3），

則f（x）=15sin（x+π3）+sin（x+π3）=65sin（x+π3），函數(shù)的最大值為65.故選A.

評(píng)注：（1）對(duì)于三角函數(shù)圖象變換問(wèn)題，首先要將不同名函數(shù)轉(zhuǎn)換成同名函數(shù)，利用誘導(dǎo)公式，需要重點(diǎn)記住sinα=cos（α-π2），cosα=sin（α+π2）；另外，在進(jìn)行圖象變換時(shí)，提倡先平移后伸縮，而先伸縮后平移在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，無(wú)論哪種變換，記住每一個(gè)變換總是對(duì)變量x而言.（2）對(duì)于函數(shù)Asin（ωx+φ）+B（A>0），它的最小正周期為2π|ω|，最大值為A+B，最小值為-A+B.

考點(diǎn)3三角函數(shù)的綜合性問(wèn)題

例3[2017年·浙江]已知函數(shù)f（x）=sin2x-cos2x-23sinxcosx（x∈R）.

（1）求f（2π3）的值.

（2）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

分析：（1）可直接將x=2π3代入原函數(shù)f（x）的解析式，從而求得f（2π3）的值，也可將原函數(shù)f（x）的解析式化為Asin（ωx+φ）+B（A>0）的形式，再將x=2π3代入，從而求得f（2π3）的值；（2）將原函數(shù)f（x）的解析式化為Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）的形式后，則由T=2πω可得最小正周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間.endprint

解：（1）由cos2x=cos2x-sin2x與sin2x=2sinxcosx得

f（x）=-cos2x-3sin2x=-2sin（2x+π6），

所以f（2π3）=-2sin（2×2π3+π6）=-2sin（π+π2）=2sinπ2=2.

（2）由（1）知f（x）=-2sin（2x+π6）=2sin（2x+7π6），所以f（x）的最小正周期是π，

由正弦函數(shù)的性質(zhì)得-π2+2kπ≤2x+7π6≤π2+2kπ，k∈Z，

解得-5π6+kπ≤x≤-π3+kπ，k∈Z，

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-5π6+kπ，-π3+kπ]，k∈Z.

評(píng)注：本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，以及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)的重要性，是高考中的?？贾R(shí)點(diǎn)；對(duì)于三角函數(shù)解答題中，當(dāng)涉及到周期，單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間以及最值等都屬于三角函數(shù)的性質(zhì)，首先都應(yīng)把它化為三角函數(shù)的基本形式即y=Asin（ωx+φ），然后利用三角函數(shù)y=Asinu的性質(zhì)求解.

二、解三角形

解三角形是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判斷三角形的形狀，求三角形的面積等.命題形式多種多樣，解答題以綜合題為主，常與三角恒等變換、平面向量相結(jié)合.試題難度中等.

考點(diǎn)4求三角形的某個(gè)角

例4（1）[2017年·新課標(biāo)II]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=.

（2）[2017年·新課標(biāo)III]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=6，c=3，則A=.

分析：（1）利用正弦定理將已知等式轉(zhuǎn)化為“純角”三角函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用三角恒等變化和內(nèi)角A，B，C之間的關(guān)系，就可求出B；（2）直接利用正弦定理，求出sinB的值，進(jìn)而求出B，再由三角形內(nèi)角和定理求出A.

解：（1）由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，

又因?yàn)锽∈（0，π），所以sinB≠0，于是cosB=12B=π3.

（2）由bsinB=csinC和已知條件，得sinB=bsinCc=6×323=22，

結(jié)合b

評(píng)注：如何求三角形的一個(gè)角，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.

考點(diǎn)5解三角形的綜合應(yīng)用

例5[2017年·天津]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a>b，a=5，c=6，sinB=35.

（1）求b和sinA的值；

（2）求sin（2A+π4）的值.

解：（1）在△ABC中，因?yàn)閍>b，故由sinB=35，可得cosB=45.由已知及余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB=13，所以b=13.

由正弦定理asinA=bsinB，得sinA=asinBb=31313.

所以，b的值為13，sinA的值為31313.

（2）由（1）及a

所以sin2A=2sinAcosA=1213，

cos2A=1-2sin2A=-513.

故sin（2A+π4）=sin2Acosπ4+cos2Asinπ4=7226.

評(píng)注：利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.

三、平面向量

平面向量是高考考查的熱點(diǎn)之一，涉及問(wèn)題主要是以平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算、向量共線(xiàn)、向量垂直、平面向量數(shù)量積為工具，解決三角函數(shù)、平面幾何及解析幾何等問(wèn)題，命題形式多種多樣，一般難度不大，屬中低檔題，偶有稍難題目出現(xiàn).

考點(diǎn)6平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算

例6[2017年·新課標(biāo)III]在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值為（）

（A）3（B）22（C）5（D）2

分析：建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何的最值問(wèn)題.

解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)A（0，1），B（0，0），D（2，1），P（x，y）.

根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是25，即圓的方程是（x-2）2+y2=45，

AP=（x，y-1），AB=（0，-1），AD=（2，0），若滿(mǎn)足AP=λAB+μAD，

即x=2μy-1=-λ，μ=x2，λ=1-y，所以λ+μ=x2-y+1，設(shè)z=x2-y+1，即x2-y+1-z=0，點(diǎn)P（x，y）在圓（x-2）2+y2=45上，所以圓心到直線(xiàn)的距離d≤r，即|2-z|14+1≤25，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ+μ的最大值是3，故選A.

評(píng)注：（1）平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算要抓住兩條主線(xiàn)：一是基于“形”，通過(guò)作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn).（2）正確理解并掌握向量的概念及運(yùn)算，強(qiáng)化“坐標(biāo)化”的解題意識(shí)，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

考點(diǎn)7向量模的運(yùn)算

例7（1）[2017年·新課標(biāo)III]已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=.

（2）[2017年·浙江]已知向量a，b滿(mǎn)足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是，最大值是.

分析：（1）利用|a|=|a|2，也可利用向量加法的幾何意義快速找到答案；（2）利用向量減法與減法的幾何意義，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題.

解：（1）法1：|a+2b|2=（a+2b）2

=|a|2+2·|a|·|2b|·cos60°+（2|b|）2

=22+2×2×2×12+22=4+4+4=12，

∴|a+2b|=12=23.

法2：利用右圖，可以判斷出a+2b的模長(zhǎng)是以2為邊長(zhǎng)的菱形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，則|a+2b|=23.

（2）設(shè)向量a，b的夾角為θ，則由向量加法與減法的平行四邊形法則與三角形法則，有

|a-b|=12+22-2·1·2cosθ

=5-4cosθ，

|a+b|=12+22-2·1·2cos（π-θ）

=5+4cosθ，

所以|a+b|+|a-b|=5+4cosθ+5-4cosθ，

于是（|a+b|+|a-b|）2=10+225-16cos2θ∈[16，20]，即4≤|a+b|+|a-b|≤25，

所以|a+b|+|a-b|的最小值是4，最大值是25.

評(píng)注：平面向量中涉及到有關(guān)模長(zhǎng)的問(wèn)題，用到的通法是將模長(zhǎng)進(jìn)行平方，利用向量數(shù)量積的知識(shí)進(jìn)行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一個(gè)工具型的知識(shí)，具備代數(shù)和幾何特征，在做這類(lèi)問(wèn)題時(shí)可以使用數(shù)形結(jié)合的思想，會(huì)加快解題速度.

考點(diǎn)8數(shù)量積運(yùn)算

例8（1）[2017年·新課標(biāo)II]已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA·（PB+PC）的最小值是（）

（A）-2（B）-32（C）-43（D）-1

（2）[2017年·天津]在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2.若BD=2DC，AE=λAC-AB（λ∈R），且AD·AE=-4，則λ的值為.

分析：（1）建立坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)法將其轉(zhuǎn)化為解析幾何最值問(wèn)題；（2）以向量AB與AC為基底，將AD與AE線(xiàn)性表示，繼而把AD·AE=-4轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的方程.

解：（1）建立如圖坐標(biāo)系，以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

∴A（0，3），B（-1，0），C（1，0）.

設(shè)P（x，y），PA=（-x，3-y），PB=（-1-x，-y），PC=（1-x，-y），

∴PA·（PB+PC）=2x2-23y+2y2=2[x2+（y-32）2-34]，

則其最小值為2×（-34）=-32，此時(shí)x=0，y=32.

（2）因?yàn)锳B·AC=3×2×cos60°=3，

由BD=2DC得，AD=13AB+23AC，

所以AD·AE=（13AB+23AC）（λAC-AB）=λ3×3+2λ3×4-13×9-23×3=113λ-5，

所以113λ-5=-4，解得λ=311.

評(píng)注：對(duì)于平面向量數(shù)量積問(wèn)題，一般可采用基底法和坐標(biāo)法.而平面向量中有關(guān)最值問(wèn)題的求解通常也有兩種思路：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決.

（作者：王佩其，太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué)）endprint