平面向量的數(shù)量積是向量知識中的重要內(nèi)容，也是高考平面向量的主要考點，考題中往往會涉及到求值或者取值范圍的小題或大題.那么面對平面向量的數(shù)量積問題，同學(xué)們一般可采用哪些方法呢？本文教你三法，助你“完勝”平面向量數(shù)量積！

一、定義法

直接利用平面向量的數(shù)量積運算的定義：a·b=|a|·|b|·cosθ.此法必須先根據(jù)幾何或代數(shù)關(guān)系求非零向量的模和夾角.

例1（1）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為1，則AD·DB=.

（2）已知向量a與b的夾角為60°，且a=（-2，-6），b=10，則a·b=.

分析：（1）根據(jù)正六邊形的幾何特征易求|AD|，|DB|，以及兩向量夾角，但是要注意起點一致，代入數(shù)量積定義可求.（2）先求|a|，再代入數(shù)量積定義即可求得.

解：（1）根據(jù)正六邊形性質(zhì)，有∠ADB=30°，于是向量AD與DB的夾角為150°，且|AD|=2，|DB|=3，所以，AD·DB=|AD|·|DB|·cos150°=2×3×（-32）=-3.

（2）因為a=（-2，-6），

所以|a|=（-2）2+（-6）2=210，

又|b|=10，向量a與b的夾角為60°，

所以a·b=|a|·|b|·cos60°=210×10×12=10.

點評：利用定義求兩個非零向量數(shù)量積，關(guān)鍵要先搞清向量的夾角和模，尤其在圖形中找向量夾角時，必須要注意兩個向量的方向.否則極易把它們的夾角的補角當(dāng)作它們的夾角.

二、坐標(biāo)法

設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a·b=x1x2+y1y2，用此法求平面向量數(shù)量積時，必須先建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，把向量坐標(biāo)化，特別注意，當(dāng)遇到特殊三角形或四邊形時可以多考慮建系，以達(dá)到事半功倍的效果.

例2（1）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinC2=63，a=b=3，點P是邊AB上的一個三等分點，則CP·CB+CP·CA=.

（2）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則|PA+3PB|的最小值為.

分析：（1）由已知條件可求△ABC的高，和底邊AB的長，根據(jù)對稱關(guān)系，以AB所在的直線為x軸，高所在直線為y軸建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示相關(guān)點，用坐標(biāo)求數(shù)量積.（2）建立平面直角坐標(biāo)系，利用點坐標(biāo)表示出各向量，或用向量的關(guān)系一一代換得出最簡式，從而求出最小值.

解：（1）過點C作CO⊥AB，垂足為O.如圖所示，

∵sinC2=63，∴cosC2=1-sin2C2=33.

∴CO=AC·cosC2=3·33=3.

∴AO=OB=32-（3）2=6.

∴C（0，3），A（-6，0），B（6，0），

取點P靠近點B的三等分點.則P（63，0）.

∴CP·CB+CP·CA=CP·2CO

=2（63，-3）·（0，-3）=6.

同理取點P靠近點A的三等分點答案也是6.

∴CP·CB+CP·CA=6.

（2）以D為原點，分別以DA、DC所在直線為x、

y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=a，DP=x.

∴D（0，0），A（2，0），C（0，a），B（1，a），P（0，x），

∴PA=（2，-x），PB=（1，a-x），∴PA+3PB=（5，3a-4x），

∴|PA+3PB|2=25+（3a-4x）2≥25，∴|PA+3PB|的最小值為5.

點評：用坐標(biāo)法求平面向量數(shù)量積可以簡化解題過程，坐標(biāo)法思想能否靈活使用以及坐標(biāo)系建立的恰當(dāng)與否是解題關(guān)鍵.

三、分解轉(zhuǎn)化法

分解轉(zhuǎn)化法，也叫基底法，就是利用平面向量基本定理將所求向量用基底表示，在不含坐標(biāo)系或者不宜建系的情況下，通過向量運算得到解題結(jié)果.這種方法也比較常見，應(yīng)予以重視.

例3（1）在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=6，若D點在斜邊BC上，CD=2DB，則AB·AD的值為.

（2）已知向量AB與AC的夾角為120°，且|AB|=3，|AC|=2.若AP=λAB+AC，且AP⊥BC，則實數(shù)λ的值為.

分析：（1）由向量加法三角形法則和向量共線定理將AD用基底AB，AC表示，代入AB·AD中求解.（2）以向量AB與AC為基底，把BC寫成AC-AB，再由AP⊥BC得AP·BC=0，將AP與BC代入，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ得方程.

解：（1）AD=AC+23CB=AC+23（AB-AC）=23AB+13AC，

∴AB·AD=AB·（23AB+13AC），

由于∠BAC=90°，∴AB·AC=0，

因此AB·AD=23AB2=23×36=24.

（2）因為BC=AC-AB，AP=λAB+AC，

由于AP⊥BC，所以AP·BC=0，

即（λAB+AC）·（AC-AB）=-λAB2+AC2+（λ-1）AB·AC=0，

即-9λ+4+（λ-1）×3×2×（-12）=0，解得λ=712.

點評：利用分解轉(zhuǎn)化法求平面向量數(shù)量積，關(guān)鍵是選基底，基底的選擇決定解題成功與否.一般的，當(dāng)已知條件中不共線的兩個向量的模和夾角確定時，它們往往可以構(gòu)成一組基底.

（作者：侯仰古，太倉市明德高級中學(xué)）endprint