李琳

三角函數(shù)在高考中通常以中低檔題型出現(xiàn)，難度不大，但由于三角公式的特殊性，解題中往往也涉及一些小的變換技巧，如果處理得當(dāng)，往往可以事半功倍，快速而準(zhǔn)確地得到正確結(jié)論.通常情況下，三角變換應(yīng)從“角度、函數(shù)、常數(shù)、次數(shù)、結(jié)構(gòu)”等幾方面著手解決.

一、三角變換，角為先鋒

三角函數(shù)作為一種特殊函數(shù)，其“角”的特殊性不容忽視，因此我們?cè)谌呛瘮?shù)恒等變換中，應(yīng)該首先注意角的形式，從統(tǒng)一角的角度出發(fā)，往往能夠達(dá)到事半功倍的效果.

例1若0<α<π2，-π2<β<0，cos（π4+α）=13，cos（π4-β2）=33，則cos（α+β2）=.

解析：∵cos（π4+α）=13，0<α<π2，

∴sin（π4+α）=223，

又∵cos（π4-β2）=33，-π2<β<0，

∴sin（π4-β2）=63，

∴cos（α+β2）=cos[（π4+α）-（π4-β2）]

=cos（π4+α）cos（π4-β2）+sin（π4+α）sin（π4-β2）

=13×33+223×63=539.

點(diǎn)評(píng)：（1）解決三角函數(shù)求值問(wèn)題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示.①當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；②當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.

（2）常見(jiàn)的配角技巧：2α=（α+β）+（α-β），α=（α+β）-β，β=α+β2-α-β2，α=α+β2+α-β2，α-β2=（α+β2）-（α2+β）等.

（3）常見(jiàn)互余和互補(bǔ)的角①常見(jiàn)互余的角：π3-α與π6+α；π3+α與π6-α；π4+α與π4-α等.②常見(jiàn)互補(bǔ)的角：π3+θ與2π3-θ；π4+θ與3π4-θ等.

二、名稱(chēng)變換，乃是重點(diǎn)

三角函數(shù)作為一類(lèi)特殊的函數(shù)，其六種三角函數(shù)（當(dāng)今教材要求重點(diǎn)掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)）之間有著密切的聯(lián)系，因此，充分注意函數(shù)之間的關(guān)系，是三角函數(shù)變形的另一個(gè)重點(diǎn).

例2設(shè)α∈（0，π2），β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，則角α，β之間的關(guān)系為β=.

解析：由tanα=1+sinβcosβ

=（sinβ2+cosβ2）2（cosβ2+sinβ2）·（cosβ2-sinβ2）

=sinβ2+cosβ2cosβ2-sinβ2=1+tanβ21-tanβ2

=tan（π4+β2），

又α∈（0，π2），β∈（0，π2），

∴π4+β2∈（π4，π2），故α=π4+β2，即β=2α-π2.

點(diǎn)評(píng)：（1）利用sin2α+cos2α=1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα=tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.

（2）形如asinα+bcosα和asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子分別稱(chēng)為關(guān)于sinα，cosα的一次齊次式和二次齊次式，對(duì)涉及它們的三角變換通常轉(zhuǎn)化為正切（分子分母同除以cosα或cos2α）求解.如果分母為1，可考慮將1寫(xiě)成sin2α+cos2α.

（3）已知tanα=m的條件下，求解關(guān)于sinα，cosα的齊次式問(wèn)題，必須注意以下幾點(diǎn)：①一定是關(guān)于sinα，cosα的齊次式（或能化為齊次式）的三角函數(shù)式.②因?yàn)閏osα≠0，所以可以用cosnα（n∈N*）除之，這樣可以將被求式化為關(guān)于tanα的表示式，可整體代入tanα=m的值，從而完成被求式的求值運(yùn)算.③注意1=sin2α+cos2α的運(yùn)用.

三、常數(shù)化角，曲徑通幽

三角公式中有不少常數(shù)，如1、3、22等，在三角變換中，若能巧妙利用它們與三角函數(shù)式或函數(shù)值之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，往往可以起到意想不到的效果.

例3化簡(jiǎn)1-sin8的結(jié)果是.

分析：注意到sin8可以用二倍角公式展開(kāi)為2sin4cos4，且1可以寫(xiě)為sin24+cos24，此時(shí)不難解決問(wèn)題.

解：1-sin8=（sin4-cos4）2=|sin4-cos4|=cos4-sin4.故答案為：cos4-sin4.

點(diǎn)評(píng)：常數(shù)的變換在輔助角公式中最常見(jiàn)，其他地方的常數(shù)變換相對(duì)更隱蔽，要細(xì)心觀察表達(dá)式的特征，從中尋找蛛絲馬跡.

四、降冪化一，熱點(diǎn)不斷

三角公式中，一次關(guān)系式較多，特別是同角關(guān)系式，以及化一公式等等，因此在觀察函數(shù)關(guān)系式時(shí)，注意其次數(shù)的特征，將高次化為一次，也是解決問(wèn)題的重要途徑.

例4（2017年高考浙江卷）已知函數(shù)f（x）=sin2x-cos2x-23sinxcosx（x∈R）.

（1）求f（2π3）的值.

（2）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

分析：（1）由函數(shù)概念f（2π3）=sin22π3-cos22π3-23sin2π3cos2π3，分別計(jì)算可得；（2）化簡(jiǎn)函數(shù)關(guān)系式得y=Asin（ωx+φ），結(jié)合T=2πω可得周期，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

解：（1）由sin2π3=32，cos2π3=-12，得f（2π3）=（32）2-（-12）2-23×32×（-12），

故f（2π3）=2.

（2）由cos2x=cos2x-sin2x及sin2x=2sinxcosx得

f（x）=-cos2x-3sin2x=-2sin（2x+π6），

所以f（x）的最小正周期是π，endprint

由正弦函數(shù)的性質(zhì)得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，

解得π6+kπ≤x≤4π3+kπ，k∈Z，

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[π6+kπ，4π3+kπ]，k∈Z.

點(diǎn)評(píng)：在進(jìn)行三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值、恒等式證明時(shí)，常常采用切化弦、異名化同名、異角化同角、高次降低次的方法，達(dá)到由不統(tǒng)一轉(zhuǎn)化到統(tǒng)一，消除差異的目的.總之，三角恒等變換說(shuō)到底就是“四變”，即變角、變名、變式、變冪.通過(guò)對(duì)角的分拆，達(dá)到使角相同；通過(guò)轉(zhuǎn)換函數(shù)，達(dá)到同名（最好使式中只含一個(gè)函數(shù)名）；通過(guò)對(duì)式子變形，達(dá)到化簡(jiǎn)（盡可能整式化、低次化、有理化）；通過(guò)冪的升降，達(dá)到冪的統(tǒng)一.

五、和差倍分，注意結(jié)構(gòu)

三角變換中，函數(shù)表達(dá)式結(jié)構(gòu)上的變換也要充分注意，結(jié)構(gòu)式的差異往往隱藏著對(duì)條件和結(jié)論的聯(lián)系.

例5已知sinx2-2cosx2=0.

（1）求tanx的值；

（2）求cos2x2cos（π4+x）·sinx的值.

分析：先化簡(jiǎn)表達(dá)式，利用商數(shù)關(guān)系得到tanx2，再利用倍角公式展開(kāi)tanx，將tanx2代入到化簡(jiǎn)的式子中計(jì)算即可；第二問(wèn)，利用第一問(wèn)的結(jié)論，將所求表達(dá)式化簡(jiǎn)，利用倍角公式、兩角和的余弦公式，化簡(jiǎn)表達(dá)式，再利用齊次式化成關(guān)于tanx的式子，將第一問(wèn)的結(jié)論代入得到所求式子的值.

解析：（1）∵sinx2-2cosx2=0，則cosx2≠0，

∴tanx2=2，

∴tanx=2tanx21-tan2x2=2×21-22=-43.

（2）原式=cos2x-sin2x2（22cosx-22sinx）sinx

=（cosx-sinx）（cosx+sinx）（cosx-sinx）sinx

=cosx+sinxsinx=1+tanxtanx=14.

點(diǎn)評(píng)：本題需要從多角度分析，一是角的倍分關(guān)系，二是函數(shù)的同角變換，最后再利用和差角、齊次式等思想方法，方能正確求解.

六、公式變用，柳暗花明

三角函數(shù)有眾多的公式，我們不僅要會(huì)使用公式，還要會(huì)使用其變形的等價(jià)形式.如cosα=sin2α2sinα，tanα±tanβ=tan（α+β）（1tanαtanβ）等.

例6若（1+tanα）（1+tanβ）=2，則α+β的值是.

解：由已知條件，有（1+tanα）（1+tanβ）=tanα+tanβ+1+tanαtanβ=2，

∴tanα+tanβ=1-tanαtanβ.即1=tanα+tanβ1-tanαtanβ=tan（α+β），

∴α+β=kπ+π4（k∈Z）.

點(diǎn)評(píng)：三角公式是恒等式（當(dāng)?shù)仁絻蛇叾加幸饬x時(shí)），所以，我們不僅要記住公式的原型，還要會(huì)逆用公式，或者變形使用，這需要同學(xué)們對(duì)公式各部分的結(jié)構(gòu)特征都要十分熟悉，才能對(duì)公式的變形使用駕輕就熟.

總體來(lái)說(shuō)，在三角函數(shù)的變換中，各種變換都是穿插進(jìn)行的，許多時(shí)候需要多方位思考，不能拘泥于某一種思維方式，這樣才有利于打開(kāi)思維的空間，找到更加合適的解題方法.endprint