一、填空題

1.sin25π6+cos25π3+tan（-25π4）=.

2.已知函數(shù)y=cosx與y=sin（2x+φ）（0≤φ<π），它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為π3的交點(diǎn)，則φ的值是.

3.設(shè)a、b是兩個(gè)不共線向量，AB=2a+pb，BC=a+b，CD=a-2b，若A、B、D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為.

4.已知|a|=2|b|，|b|≠0且關(guān)于x的方程x2+|a|x-a·b=0有兩相等實(shí)根，則向量a與b的夾角是.

5.在ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，

點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則AP·DM的取值范圍是.

6.若函數(shù)f（x）=x2+2xtanθ-1在[-1，3]上為單調(diào)函數(shù)，則θ的取值范圍.

7.已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ），g（x）=3cos（ωx+φ），若對(duì)任意x∈R都有f（π3+x）=f（π3-x），則g（π3）=.

8.在△ABC中，已知tanA=14，tanB=35，若△ABC最大邊的長(zhǎng)為17，則其最小邊的長(zhǎng)為.

9.在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，則BC等于.

10.在△ABC中，AB=2，AC=1，D為BC的中點(diǎn)，則AD·BC=.

11.已知函數(shù)y=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線x=5π3對(duì)稱，則函數(shù)y=asinx+cosx的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.

12.存在x∈[0，2π]，使（4-m）sin（x-π3）-（2m-3）=0成立，則m的取值范圍是.

13.在△ABC中，AB=1，AC=2，O為△ABC外接圓的圓心，則AO·BC=.

14.關(guān)于x的不等式a2+2a-sin2x-2acosx>2的解集是全體實(shí)數(shù)，則a的取值范圍是.

二、解答題

15.已知銳角△ABC中的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C.

（1）設(shè)BC·CA=CA·AB，求證：△ABC是等腰三角形；

（2）設(shè)向量s=（2sinC，-3），t=（cos2C，2cos2C2-1），且s∥t，若sinA=13，求sin（π3-B）的值.

16.在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，

且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.

（1）求A的大??；

（2）若sinB+sinC=1，試判斷△ABC的形狀.

17.已知函數(shù)f（x）=sin（3x+π4）.

（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若α是第二象限角，f（α3）=45cos（α+π4）cos2α，求cosα-sinα的值.

18.某海上有四個(gè)旅游島嶼A，B，C，D，D在A的正東方向，距A 10海里，C在A的北偏東45°方向，在D的北偏東θ方向（sinθ=55（θ∈（0，π2）），B在C的正西方向，BD=2010海里.

（1）一游艇從A到C行駛了1小時(shí)，求游艇的速度；

（2）求AB兩個(gè)島嶼之間的距離.

19.已知函數(shù)f（x）=m（sinx+cosx）-4sinxcosx，x∈[0，π2]，m∈R.

（1）設(shè)t=sinx+cosx，x∈[0，π2]，將f（x）表示為關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式g（t），并求出t的取值范圍；

（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥0對(duì)所有的x∈[0，π2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）若關(guān)于x的方程f（x）-2m+4=0在[0，π2]上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

20.已知兩個(gè)不共線的向量a，b的夾角為θ，且|a|=3，|b|=1，x為正實(shí)數(shù).

（1）若a+2b與a-4b垂直，求tanθ；

（2）若θ=π6，求|xa-b|的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值，并指出向量a與xa-b的位置關(guān)系；

（3）若θ為銳角，對(duì)于正實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程|xa-b|=|ma|有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，且x≠m，求m的取值范圍.

參考答案

一、填空題

1.0

2.π6

3.-1

4.2π3

5.[-12，12]

6.（kπ-π2，kπ-π3]∪[kπ+π4，kπ+π2）（k∈Z）

7.0

8.2

9.82

10.-32

11.x=kπ-π6（k∈Z）

12.[-1，73]

13.32

14.a<-2-6或a>2

二、解答題

15.（1）因?yàn)锽C·CA=CA·AB，所以CA·（BC-AB）=0，

又AB+BC+CA=0，所以CA=-（AB+BC），所以-（AB+BC）·（BC-AB）=0，所以AB2-BC2=0，

所以|AB|2=|BC|2，即|AB|=|BC|，故△ABC為等腰三角形.

（2）∵s∥t，∴2sinC（2cos2C2-1）=-3cos2C，

∴sin2C=-3cos2C，即tan2C=-3，

∵C為銳角，∴2C∈（0，π），∴2C=2π3，

∴C=π3.

∴A=2π3-B，

∴sin（π3-B）=sin[（2π3-B）-π3]

=sin（A-π3），endprint

又sinA=13，且A為銳角，∴cosA=223，

∴sin（π3-B）=sin（A-π3）

=sinAcosπ3-cosAsinπ3=1-266.

16.解：（1）由已知，根據(jù)正弦定理得

2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，

即a2=b2+c2+bc，

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，

故cosA=-12，A=120°.

（2）由（1）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.

又sinB+sinC=1，得sinB=sinC=12，

因?yàn)?°

故B=C，

所以△ABC是等腰的鈍角三角形.

17.解：（1）由2kπ-π2≤3x+π4≤2kπ+π2，k∈Z得23kπ-π4≤x≤23kπ+π12，k∈Z，

所以，f（x）=sin（3x+π4）的單調(diào)遞增區(qū)間為

[23kπ-π4，23kπ+π12]，k∈Z.

（2）由f（α3）=45cos（α+π4）cos2α得sin（α+π4）=45cos（α+π4）cos2α，

因?yàn)閏os2α=sin（2α+π2）=sin[2（α+π4）]

=2sin（α+π4）cos（α+π4），

所以sin（α+π4）=85sin（α+π4）cos2（α+π4），

又α是第二象限角，即2kπ+π2<α<2kπ+π，k∈Z，

得2kπ+3π4<α+π4<2kπ+5π4，k∈Z，

所以sin（α+π4）=0或cos2（α+π4）=58，

①由sin（α+π4）=0得α+π4=2kπ+π，k∈Z，即α=2kπ+3π4，k∈Z，

所以cosα-sinα=-22-22=-2.

②由cos2（α+π4）=58得cos（α+π4）=-522，

所以cosα-sinα=2cos（x+π4）=2·（-522）=-52.

綜上，cosα-sinα=-2或cosα-sinα=-52.

18.解：（1）sin∠ADC=sin（π2+θ）=cosθ=255，

sin∠ACD=sin（π4-θ）=1010，

在△ACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC=ADsin∠ACD，即AC255=101010，則AC=202，

所以游艇的速度為202海里/小時(shí).

（2）在△ACD中，由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC×ADcos∠CAD，計(jì)算得CD=105.

法一：在△BCD中，由正弦定理得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD，即105sin∠CBD=2010cosθ，

得sin∠CBD=1010，因?yàn)锽C∥AD，所以∠BDA=∠CBD，cos∠BDA=31010，

在△ABD中，由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD×ADcos∠BDA，計(jì)算得AB=1029，

所以AB兩個(gè)島嶼之間的距離為1029海里.

法二：在△BCD中，由余弦定理得

BD2=BC2+CD2-2BC×CDcos∠BCD，

即4000=BC2+500-2×105×BC×55，得BC=70，

因?yàn)锽C∥AD，所以∠BCD=∠CAD=45°，

在△BCA中，由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC×ACcos∠BCA，計(jì)算得AB=1029，所以AB兩個(gè)島嶼之間的距離為1029海里.

19.解：（1）因?yàn)閠=sinx+cosx，故t2=（sinx+cosx）2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，

所以sinxcosx=t2-12.

所以f（x）=m（sinx+cosx）-4sinxcosx

=mt-4×t2-12=-2t2+mt+2.

所以g（t）=-2t2+mt+2.

由于t=sinx+cosx=2sin（x+π4），x∈[0，π2]，

所以x+π4∈[π4，3π4]，sin（x+π4）∈[22，1]，

所以t=2sin（x+π4）∈[1，2].

（2）因?yàn)殛P(guān)于x的不等式f（x）≥0對(duì)所有的x∈[0，π2]恒成立，

據(jù)（1）可知f（x）=g（t），x∈[0，π2]，t∈[1，2]，

所以g（t）=-2t2+mt+2≥0對(duì)所有的t∈[1，2]恒成立，

所以g（1）≥0，g（2）≥0，解得m≥2.

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）.

（3）因?yàn)殛P(guān)于x的方程f（x）-2m+4=0在[0，π2]上有實(shí)數(shù)解，

據(jù)（1）可知f（x）=g（t），x∈[0，π2]，t∈[1，2]，

所以關(guān)于t的方程-2t2+mt+2-2m+4=0在t∈[1，2]上有實(shí)數(shù)解，

即關(guān)于t的方程2t2-mt+2m-6=0在t∈[1，2]上有實(shí)數(shù)解，

所以Δ=m2-16（m-3）≥0，即m≤4或m≥12.

令h（t）=2t2-mt+2m-6，開口向上，對(duì)稱軸t=m4，

①當(dāng)m≥12時(shí)，對(duì)稱軸t=m4≥3，函數(shù)h（t）在[1，2]上單調(diào)遞減，

故h（1）≥0，h（2）≤0，解得m不存在.

②當(dāng)m≤4時(shí)，對(duì)稱軸t=m4≤1，函數(shù)h（t）在[1，2]上單調(diào)遞增，

故h（1）≤0，h（2）≥0，解得2+2≤m≤4.

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2+2，4].

20.解：（1）由題意得，（a+2b）（a-4b）=0，

即a2-2a·b-8b2=0，

得32-2×3×1×cosθ-8×12=0，得cosθ=16，

又θ∈（0，π），故θ∈（0，π2），因此，

sinθ=1-cos2θ=1-（16）2=356，

tanθ=sinθcosθ=35.

（2）|xa-b|=（xa-b）2=x2a2-2xa·b+b2

=9x2-2x×3×1×cosπ6+1

=9（x-36）2+14，

故當(dāng)x=36時(shí)，|xa-b|取得最小值為12，

此時(shí)，a·（xa-b）=xa2-a·b

=36×9-3×1×cosπ6=0，

故向量a與xa-b垂直.

（3）對(duì)方程|xa-b|=|ma|兩邊平方整理，

得9x2-（6cosθ）x+1-9m2=0，①

設(shè)方程①的兩個(gè)不同正實(shí)數(shù)解為x1，x2，

則由題意得，

Δ=（6cosθ）2-4×9×（1-9m2）>0，x1+x2=6cosθ9>0，x1x2=1-9m29>0.

解之得，13sinθ

若x=m，則方程①可以化為-（6cosθ）x+1=0，

則x=16cosθ，即m=16cosθ.

而x≠m，故得m≠16cosθ.

令13sinθ<16cosθ<13，

得sin2θ<1，cosθ>12，得0°<θ<60°，且θ≠45°，

當(dāng)0°<θ<60°，且θ≠45°時(shí)，

m的取值范圍為{m|13sinθ

當(dāng)60°≤θ<90°，或θ=45°時(shí)，

m的取值范圍為{m|13sinθ

（作者：吳雅琴，如皋市第一中學(xué)）