苗春梅，張曉穎

(長(zhǎng)春大學(xué) 理學(xué)院, 長(zhǎng)春 130022)

合作學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)建模在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用

苗春梅，張曉穎

(長(zhǎng)春大學(xué) 理學(xué)院, 長(zhǎng)春 130022)

常微分方程是高等院校數(shù)學(xué)類、信息與計(jì)算科學(xué)等專業(yè)的重要專業(yè)基礎(chǔ)課之一。如何使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中掌握常微分方程的思想方法、具備以常微分方程為理論工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是常微分方程教學(xué)與改革中必須要解決的問(wèn)題。本文結(jié)合常微分方程課程的特質(zhì)，探討合作學(xué)習(xí)模式與數(shù)學(xué)建模思想融入其教學(xué)過(guò)程的機(jī)理與方式，培養(yǎng)學(xué)生研究學(xué)習(xí)與創(chuàng)造學(xué)習(xí)的思維與能力。

常微分方程；合作學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)建模思想；教學(xué)改革

“高等教育面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革計(jì)劃”的目標(biāo)是培養(yǎng)具有以創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為核心的綜合素質(zhì)的高級(jí)人才。具有創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的人才必須掌握現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)研究的方法和數(shù)學(xué)技術(shù)，而數(shù)學(xué)技術(shù)主要由數(shù)學(xué)分析技術(shù)、數(shù)學(xué)建模技術(shù)、數(shù)學(xué)軟件技術(shù)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)技術(shù)等組成[1]。

常微分方程源于對(duì)物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)研究，是一門(mén)應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，在物理、生物、機(jī)械工程等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。比如，導(dǎo)彈彈道計(jì)算與飛機(jī)飛行中的穩(wěn)定性研究，生物種群穩(wěn)定性的研究等都?xì)w為常微分方程模型[2]。就信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)而言，“常微分方程”是“數(shù)學(xué)分析”、“高等代數(shù)”和“解析幾何”的后繼課程，又是“數(shù)學(xué)建?！?、“數(shù)值分析”等課程的先修課程，是從理論向應(yīng)用過(guò)渡的紐帶課程。因此，如何在常微分方程課程的教學(xué)中突出其應(yīng)用性與數(shù)學(xué)模型的思想，是其教學(xué)亟待解決的重要問(wèn)題。長(zhǎng)期以來(lái)，以理論推導(dǎo)與計(jì)算為主導(dǎo)的教學(xué)模式消解了常微分方程的實(shí)踐性，以至學(xué)生對(duì)其應(yīng)用性缺乏認(rèn)識(shí)。

基于此，本文提出“合作學(xué)習(xí)模式”與“數(shù)學(xué)建模思想”相結(jié)合的教學(xué)模式，引入開(kāi)放性題，讓學(xué)生通過(guò)合作學(xué)習(xí)模式、應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、合作能力與研究能力。

1 合作學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)建模

1.1 合作學(xué)習(xí)模式

合作學(xué)習(xí)興起于20世紀(jì)70年代的美國(guó)，經(jīng)過(guò)30多年的理論研究和實(shí)踐發(fā)展，合作學(xué)習(xí)已成為世界上許多國(guó)家普遍采用的教學(xué)理論與實(shí)踐策略，被認(rèn)為是“當(dāng)代教育理論、研究和實(shí)踐中影響最大和成果最多的領(lǐng)域之一”。

不同的學(xué)者對(duì)合作學(xué)習(xí)的有著各具特色的研究與推進(jìn)。美國(guó)約翰霍布金斯大學(xué)的Slavin提出了“學(xué)生小組成就區(qū)分法”，“合作學(xué)習(xí)是指使學(xué)生在小組中從事學(xué)習(xí)活動(dòng)，并依據(jù)他們整個(gè)小組的成績(jī)獲取獎(jiǎng)勵(lì)或認(rèn)可的課堂教學(xué)技術(shù)”[3]。美國(guó)明尼蘇達(dá)大學(xué)的約翰遜兄弟認(rèn)為：“合作學(xué)習(xí)就是在教學(xué)中運(yùn)用小組，使學(xué)生共同活動(dòng)以最大程度地促進(jìn)他們自己以及他人的學(xué)習(xí)。”[4]

20世紀(jì)80年代末、90年代初，我國(guó)學(xué)者開(kāi)始關(guān)注合作學(xué)習(xí)的研究與應(yīng)用。王坦認(rèn)為：“合作學(xué)習(xí)是一種旨在促進(jìn)學(xué)生在異質(zhì)小組中互相合作，達(dá)到共同的學(xué)習(xí)目標(biāo)，并以小組的總體成績(jī)?yōu)楠?jiǎng)勵(lì)依據(jù)的教學(xué)策略體系。”[5]黃政杰認(rèn)為：“合作學(xué)習(xí)是學(xué)生一起工作達(dá)成其共同的目標(biāo)，此目標(biāo)不但有利于己，也有利于其他人。合作學(xué)習(xí)采取小組學(xué)習(xí)方式，學(xué)生一起學(xué)習(xí)進(jìn)而擴(kuò)大自己和他人的學(xué)習(xí)。在合作學(xué)習(xí)中，所有成員式相互得力的，你的成功也就是我的成功，我的失敗也正是你的失敗，這是一種命運(yùn)共同體的狀態(tài)，是屬于積極互賴的情景?！盵6]

合作學(xué)習(xí)的課堂實(shí)施是合作學(xué)習(xí)理論在課堂教學(xué)中的應(yīng)用與實(shí)踐，但是國(guó)內(nèi)大部分的合作學(xué)習(xí)的課堂案例都是中小學(xué)課程教學(xué)，缺乏在大學(xué)課堂教學(xué)中的優(yōu)秀案例。

1.2 合作學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的關(guān)系

數(shù)學(xué)建模于20世紀(jì)六七十年代進(jìn)入西方國(guó)家的大學(xué)，80年代初開(kāi)始進(jìn)入我國(guó)大學(xué)。數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力、合作能力、研究能力和創(chuàng)新能力的有效途徑，近年來(lái)受到數(shù)學(xué)教育者的廣泛關(guān)注。

合作學(xué)習(xí)，即“學(xué)生在小組中從事學(xué)習(xí)活動(dòng)，并以他們小組的表現(xiàn)為依據(jù)獲得獎(jiǎng)勵(lì)或認(rèn)可的課堂教學(xué)技術(shù)”。在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)中，合作學(xué)習(xí)主要體現(xiàn)在教師與學(xué)生的合作學(xué)習(xí)、學(xué)生與學(xué)生的合作學(xué)習(xí)兩個(gè)方面，即在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生以小組為單位進(jìn)行學(xué)習(xí)。因此，合作學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)重要的組織模式。

2 設(shè)置常微方程開(kāi)放性題目

在常微分方程教材中，習(xí)題基本上是為了使學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)結(jié)論而設(shè)計(jì)的。在這種情況下，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往容易產(chǎn)生以死記硬背代替主動(dòng)參與、以機(jī)械方法代替智力活動(dòng)的傾向。要改變這種情況，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更多地體現(xiàn)以學(xué)生為主體的積極探究精神，適當(dāng)增加開(kāi)放題，讓學(xué)生以合作學(xué)習(xí)的方式，應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的思想解決問(wèn)題是必要的。

2.1 開(kāi)放題的設(shè)置原則

(1)問(wèn)題導(dǎo)出理論、理論深化問(wèn)題。常微分方程課程教學(xué)的開(kāi)放題設(shè)置要與教材內(nèi)容有機(jī)結(jié)合起來(lái)，而不是做成各自獨(dú)立的兩套系統(tǒng)。比如在講授一階和二階常微分方程內(nèi)容時(shí)，設(shè)置相關(guān)的應(yīng)用性開(kāi)放題，使學(xué)生了解問(wèn)題背景，能夠?qū)W以致用。另一方面，開(kāi)放題的設(shè)置應(yīng)與微分方程發(fā)展的主流相結(jié)合，使學(xué)生了解前沿問(wèn)題的研究進(jìn)展。這要求教師要對(duì)微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)和非線性科學(xué)領(lǐng)域的主流問(wèn)題有所研究，從而滲透到起奠基性作用的常微分方程課程的教學(xué)中。

(2)針對(duì)實(shí)際能力、引導(dǎo)探索興趣。地方高等院校是一個(gè)基礎(chǔ)和能力有較大差異的學(xué)生群體，大約可以分成三類：A類，基礎(chǔ)和能力較強(qiáng)；B類，基礎(chǔ)和能力一般；C類，基礎(chǔ)和能力相對(duì)較弱。因此，常微分方程課程教學(xué)中開(kāi)放題的設(shè)置，也要根據(jù)學(xué)生的能力和水平分層設(shè)置，不能“一刀切”。

2.2 開(kāi)放題的解決方法

學(xué)生要以小組的形式進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，結(jié)合數(shù)學(xué)建模的思想，在老師的指導(dǎo)下解決問(wèn)題。以下根據(jù)筆者的研究方向，選取常微分方程課程教學(xué)中的開(kāi)放題，通過(guò)指導(dǎo)學(xué)生解決這兩類問(wèn)題的過(guò)程，闡釋課程教學(xué)中開(kāi)放題的解決方法。

(1)生物種群模型。生物種群模型的穩(wěn)定性問(wèn)題是筆者一直研究的課題，在常微分方程課程教學(xué)中引入相關(guān)的生物模型作為開(kāi)放題，能夠使學(xué)生更好地掌握一階常微分方程理論、應(yīng)用和前景。Logistic模型[7]

(2.1)

是一階非線性常微分方程，是生物學(xué)中最簡(jiǎn)單的單種群模型，最早由比利時(shí)數(shù)學(xué)家Verhulst于1838年提出的描述種群增長(zhǎng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。1920年，美國(guó)人口學(xué)家Pearhe和Reed在研究美國(guó)人口問(wèn)題時(shí)再次提出這個(gè)方程，稱之為Verhulst-pearl阻滯方程，后來(lái)被稱為L(zhǎng)ogistic模型。學(xué)生學(xué)習(xí)了一階常微分方程的基本理論之后能夠求解該方程。

首先，對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組。共7個(gè)人：3個(gè)A類學(xué)生，2個(gè)B類學(xué)生，2個(gè)C類學(xué)生。其次，提出問(wèn)題，建立模型。由2個(gè)B類學(xué)生查閱資料，分析數(shù)據(jù)，建模。然后，解決問(wèn)題。由2個(gè)C類學(xué)生根據(jù)所學(xué)的一階常微分方程理論求解。最后，分析問(wèn)題。由3個(gè)A類學(xué)生做如下幾方面的工作：① 結(jié)合模型的建立和求解，分析問(wèn)題，并提出修改和推廣建議。② 在老師的指導(dǎo)下，查閱該問(wèn)題的研究進(jìn)展和發(fā)展前景。③ 撰寫(xiě)成文。

(2)振動(dòng)問(wèn)題。1831年，英國(guó)曼徹斯特的布勞頓橋上一隊(duì)士兵齊步通過(guò)的時(shí)候橋突然坍塌。1940年，美國(guó)華盛頓塔克馬大橋突然發(fā)生振動(dòng)，振幅達(dá)到28英尺。振動(dòng)是工程中常見(jiàn)現(xiàn)象，研究振動(dòng)規(guī)律有著極其重要的意義。近些年，筆者關(guān)注經(jīng)典的振動(dòng)方程

mx″+kx′+hx=f(x).

(2.2)

的研究。根據(jù)我們的研究成果，在常微分方程課程教學(xué)中引入經(jīng)典的振動(dòng)方程(2.2)作為二階常微分方程理論的開(kāi)放題，以使學(xué)生更好地掌握二階常微分方程理論、應(yīng)用和前景。對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組解決開(kāi)放問(wèn)題(2.2)的過(guò)程和方法同問(wèn)題(2.1).

3 結(jié)語(yǔ)

在常微分方程課程的教學(xué)中，通過(guò)設(shè)置諸如以上的應(yīng)用性問(wèn)題作為開(kāi)放題目，組織學(xué)生分組合作進(jìn)行研討，提出建模的基本思路，然后教師結(jié)合常微分方程的思想方法與學(xué)生進(jìn)行深入研討，推進(jìn)問(wèn)題的解決。在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，一方面，教師能夠結(jié)合具體問(wèn)題很好地具體向?qū)W生解釋常微分方程的基本理論，形成學(xué)生對(duì)常微分方程的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)與邏輯把握；另一方面，學(xué)生在互動(dòng)中真正體會(huì)到合作的意義，在爭(zhēng)議與碰撞中表現(xiàn)了自己的創(chuàng)造性思考與團(tuán)隊(duì)意識(shí)，形成了創(chuàng)新思考的內(nèi)在動(dòng)力和修正思想的自覺(jué)意識(shí)。同時(shí)，設(shè)置開(kāi)放題應(yīng)該注意以下兩個(gè)問(wèn)題：一是避免流于形式，問(wèn)題不要過(guò)大，要注重精細(xì)；二是教師要對(duì)開(kāi)放題有一定的研究。

[1] 石永福，王立群. 現(xiàn)代數(shù)學(xué)技術(shù)及其影響 [J]. 西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005(2)：94-97.

[2] JI.C.龐特里亞金.常微分方程 [M].林武忠，倪明康，譯.北京：高等教育出版社，2006.

[3] M.C. Wittrock. The cognitive movement in instruction [M]. Educational Psychology, 1978(71)：60-66.

[4] 大衛(wèi).W. 約翰遜，羅格.T. 約翰遜，卡爾. A.史密斯.合作學(xué)習(xí)的原理與技巧：在教與學(xué)中組建有效的團(tuán)隊(duì)[M].劉春紅，譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2002.

[5] 王坦. 合作學(xué)習(xí)導(dǎo)論 [M]. 北京：教育科學(xué)出版社，1994.

[6] 黃政杰，林佩璇. 合作學(xué)習(xí) [M].臺(tái)北：五南出版社，1996.

[7] 余愛(ài)華. Logistic模型的研究 [D]. 南京：南京林業(yè)大學(xué)，2003.

責(zé)任編輯：劉 琳

ApplicationofCooperativeLearningandMathematicalModelinginOrdinaryDifferentialEquationTeaching

MIAO Chunmei, ZHANG Xiaoying

(College of Science, Changchun University, Changchun 130022, China)

Ordinary differential equation is one of the important professional basic courses in mathematics as well as informational and calculative science in universities. It is a fundamental problem in teaching and reform to make students get the thinking methods of the ordinary differential equations and have the ability to solve practical problems by using ordinary differential equalities as theoretical tools. This paper, combining with the characteristics of ordinary differential equation course, discusses the mechanism and way of integrating the thought of cooperative learning and mathematical modeling into ordinary differential equation teaching, trying to cultivate the thinking and ability of students’ research learning and creative learning.

ordinary differential equation; cooperative learning; mathematical modeling thought; teaching reform

2017-04-06

吉林省教育科學(xué)規(guī)劃課題(GH170133)；吉林省高等教育學(xué)會(huì)2017年度高教科研課題(JGJX2017B28)

苗春梅(1977-)，女，遼寧大連人，副教授，博士，主要從事常微分方程理論研究。

G642

A

1009-3907(2017)10-0088-03