劉先

摘要：該文分析了無限長均勻雙各向異性圓柱的電磁散射特性，基于柱矢量波函數(shù)和傅立葉變換法得出單軸雙各向異性介質(zhì)內(nèi)部的電磁場特性。單軸雙各向異性圓柱體位于自由空間中受均勻平面波的垂直入射可極化為TE波和TM波，該文以TM為例，得出各區(qū)域用柱矢量波函數(shù)表示的解析表達(dá)式，應(yīng)用雙各向異性介質(zhì)與自由空間分界面上電磁場切向連續(xù)和在導(dǎo)體柱上切向電場等于零的邊界條件，得出單軸雙各性異性介質(zhì)圓柱內(nèi)的電磁場和散射場的系數(shù)所滿足的矩陣方程，通過矩陣方程和貝塞爾函數(shù)的大宗量漸進(jìn)展開式導(dǎo)出其雷達(dá)散射寬度的表達(dá)式，通過fortran編程驗(yàn)證與導(dǎo)出的結(jié)果吻合。

關(guān)鍵詞：單軸雙各向異性介質(zhì)；傅立葉變換；柱矢量波函數(shù)；雷達(dá)散射寬度

中圖分類號：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2017）31-0275-03

The Electromagnetic Scattering Characteristicsof Cylinder Coated With Uniaxial Bianisotropic Materials

LIU Xian

（Hangzhou Dianzi University， Institute of antenna and Microwaves， Hangzhou 310018，China）

Abstract：This paper analyzes the electromagnetic scattering characteristics of infinite uniform bianisotropic cylindrical，Based on the column vector wave function and Fourier transform method， it is concluded that the inner electromagnetic characteristics of uniaxial bianisotropic medium.uniaxial bianisotropic medium cylinder in free space by homogeneity plane wave vertical incidence can be a TE wave and TM wave，this paper， taking TM， it is concluded that all regional expression of the column vector wave functions.Applying the boundary condition of electromagnetic field tangential is continuousin bianisotropic medium and free space boundary surface ，the tangential electrical field is equal to zero in the conductor cylinder， it is concluded that uniaxial bianisotropic medium cylinder of electromagnetic field and scattering field of the coefficient contended equation， through the matrix equation and Bessel function of large amount of gradual expansion export the expressions of the width of the radar scattering，the results are verified through the FORTRAN programming.

Key words：uniaxial bianisotropic medium； the Fourier transformation domain； cylindrical vector-wave-function； the radar cross width

1 概述

今年來，二維柱體的電磁散射問題一直受到人們的關(guān)注，也取得了豐富的成果，有關(guān)這方面的文獻(xiàn)報道很多，但大部分是關(guān)于理想導(dǎo)體住和各向同性介質(zhì)柱[1-2]。今年來各向異性介質(zhì)柱的電磁散射也日益受到了人們的重視，文獻(xiàn)[3-5]分別用時域有限差分法、體源積分方程、反應(yīng)定理、平面波展開法和有限差分法結(jié)合不變性測試方程法計算了自由空間中各向異性介質(zhì)柱的電磁散射。文獻(xiàn)[13]應(yīng)用邊界元法分析了二維各向異性介質(zhì)柱電磁散射特性。本文應(yīng)用各向異性柱矢量波函數(shù)展開的本證矢量與平面波因子乘積的解析表達(dá)式和傅立葉變換、矩陣的本征值和矩陣矢量的特性，對雙各向異性介質(zhì)柱結(jié)構(gòu)的電磁散射進(jìn)行了研究。

2 理論公式

本文所研究的問題如圖1所示，圖1所示的是任意截面形狀的二維導(dǎo)體柱，其外層涂覆有雙各向異性介質(zhì)層，一束TM極化的均勻平面電磁波垂直入射到自由空間中的圓柱上，入射電場和散射電場都沿Z軸取向，電磁場隨時間變化因子為exp（jwt）。

圖1 中區(qū)域2是良導(dǎo)體，區(qū)域1是雙各向異性介質(zhì)，區(qū)域0是自由空間，柱殼的內(nèi)外半徑分別是[a1，a2，]柱體中單軸雙各向異性介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率和交叉耦合張量分別如下：

[ε] = [ε0εt000εt000εz]=[ε1000ε1000ε2] （1）

[μ] = [μ0μt000μt000μz]=[μ1000μ1000μ2] （2）

[ξ] = [μ0ε0ξt000ξt000ξz]=[ξ1000ξ1000ξ2] （3）

[ζ] = [μ0ε0ζt000ζt000ζz]=[ζ1000ζ1000ζ2] （4）

由Maxwell方程組得雙各向異性介質(zhì)（區(qū)域1）中電場所滿足的微分方程

▽×（[μ-1]·▽×E）+jw [▽×（[μ-1·ζ]·E）-[ξ]·[μ-1]（▽×E）] —[w2]（[ε]-[ξ]·[μ-1]·[ζ]）·E = 0 （5）

由式（5）和麥克斯韋方程組、傅立葉變化、譜域中的本征矢量及柱矢量波函數(shù)展開的平面波因子表達(dá)式，可得區(qū)域1中電磁場解析表達(dá)式：

[E（r）=q=12-∞+∞02πn=-∞n=+∞aqnkzm=-∞m=+∞j-mej（m-n）φk×[Aeqkz，φkMlm（r，kq）+Beqkz，φkNlmr，kq+Ceqkz，φkLlmr，kq]dφkdkz ] （6a）

[Hr=q=12-∞+∞02πn=-∞n=+∞aqnkzm=-∞m=+∞j-mejm-nφk×[Ahqkz，φkMlmr，kq+Bhqkz，φkNlmr，kq+Chqkz，φkLlmr，kq]dφkdkz]

（6b）

[M（l）m，N（l）m，L（l）m為第l類]柱矢量波函數(shù)[6]：

[M（l）m=-jmρZlmkρqρρ??ρZlmkρqρφe-jmφ+kzz] （7a）

[N（l）m=1kq-jkz??ρZlmkρqρρ-mkzρZlmkρqρφ+k2ρqZlmkρqρze-jmφ+kzz] （7b）

[L（l）m=??ρZlmkρqρρ-jmρZlmkρqρφ-jkzρZlmkρqρze-jmφ+kzz] （7c）

[Zlm]為第l類m階Bessel函數(shù)，分別為[jmx，ymx，h1mx，h2mx（l=1，2，3，4）]，[kρq]是雙各向異性介質(zhì)的本征值，[Aeq]，[Beq]，[Ceq]和[Ahq，Bhq，Chq]分別是單軸雙各向異性介質(zhì)用柱矢量波函數(shù)展開的電磁場的系數(shù)。

由文獻(xiàn)[7]知，TM波入射場和散射場的表達(dá)式：

[Ei=n0k0m=-∞∞j-mN1mr，k0ejwφ0] （8a）

[ Hi=1k0m=-∞∞j-mjM1mr，k0ejwφ0] （8b）

[Es=1k0m=-∞∞j-m[esmN4mr，k0-jη0hsmM4mr，k0]] （8c）

[Hs=1k0m=-∞∞j-mhsmN4mr，k0+jη0esmM4mr，k0] （8d）

[esm，hsm]是散射場的展開系數(shù)，為待求量，到此，我們得到了導(dǎo)體柱涂覆雙各向異性介質(zhì)的本證柱矢量波函數(shù)的解析表達(dá)式，下面我們利用邊界條件，求出雙各向異性介質(zhì)中電磁場和散射場的展開系數(shù)。

在r=[a1]和r=[a2]時有以下邊界條件：

E[×ρ=0 ] r=[a2] （9a）

（[Hi+Hs]）[×ρ= H×ρ]， [（Ei+Es]）[×ρ= E×ρ] r=[a1] （9b）

分別將雙各向異性介質(zhì)中的電磁場、入射電磁場、散射電磁場的柱矢量波函數(shù)的表達(dá)式帶入上面的兩式，經(jīng)過一系列的數(shù)學(xué)變換，得出雙各向異性介質(zhì)本證函數(shù)的展開系數(shù)滿足以下方程組：

[m=-∞∞n=-∞∞j-mej（m-n）φka11n02π[Ae1（kz，φk）kρ1Z1?m（kρ1ρ）+Ce1（kz，φk）jmρZ1m（kρ1ρ）] +a21n02π[Ae2（kz，φk）kρ2Z1?m（kρ2ρ）+Ce2（kz，φk）jmρZ1m（kρ2ρ）] +a12n02π[Ae1（kz，φk）kρ1Z4?m（kρ1ρ）+Ce1（kz，φk）jmρZ4m（kρ1ρ）] +a22n02π[Ae2（kz，φk）kρ2Z4?m（kρ2ρ）+Ce2（kz，φk）jmρZ4m（kρ2ρ）]}=0] （10a）

[m=-∞∞n=-∞∞j-mej（m-n）φka11n02π[Be1（kz，φk）kρ1Z1m（kρ1ρ）] +a21n02π[Be2（kz，φk）kρ2Z1m（kρ2ρ）] +a12n02π[Be1（kz，φk）kρ1Z4m（kρ1ρ）]+a22n02π[Be2（kz，φk）kρ2Z4m（kρ2ρ）]}=0] （10b）

[m=-∞∞n=-∞∞j-mej（m-n）φka11n02π[Ae1（kz，φk）kρ1Z1?m（kρ1ρ）+Ce1（kz，φk）jmρZ1m（kρ1ρ）] +a21n02π[Ae2（kz，φk）kρ2Z1?m（kρ2ρ）+Ce2（kz，φk）jmρZ1m（kρ2ρ）] +a12n02π[Ae1（kz，φk）kρ1Z4?m（kρ1ρ）+Ce1（kz，φk）jmρZ4m（kρ1ρ）] +a22n02π[Ae2（kz，φk）kρ2Z4?m（kρ2ρ）+Ce2（kz，φk）jmρZ4m（kρ2ρ）]} =m=-∞∞j-m[-jη0hsmZ4?m（k0ρ）]] （10c）

[m=-∞∞n=-∞∞j-mej（m-n）φka11n02π[Be1（kz，φk）kρ1Z1m（kρ1ρ）] +a21n02π[Be2（kz，φk）kρ2Z1m（kρ2ρ）] +a12n02π[Be1（kz，φk）kρ1Z4m（kρ1ρ）]+a22n02π[Be2（kz，φk）kρ2Z4m（kρ2ρ）]} =η0m=-∞∞[j-mesmZ4m（k0ρ）+j-mZ1m（k0ρ）ejwφ0]] （10d）

[m=-∞∞n=-∞∞j-mej（m-n）φka11n02π[Ah1（kz，φk）kρ1Z1?m（kρ1ρ）+Ch1（kz，φk）jmρZ1m（kρ1ρ）] +a21n02π[Ah2（kz，φk）kρ2Z1?m（kρ2ρ）+Ch2（kz，φk）jmρZ1m（kρ2ρ）] +a12n02π[Ah1（kz，φk）kρ1Z4?m（kρ1ρ）+Ch1（kz，φk）jmρZ4m（kρ1ρ）] +a22n02π[Ah2（kz，φk）kρ2Z4?m（kρ2ρ）+Ch2（kz，φk）jmρZ4m（kρ2ρ）]} =m=-∞∞[jZ1?m（k0ρ）]ejwφ0+m=-∞∞[jη0esmZ4?m（k0ρ）]] （10e）

[m=-∞∞n=-∞∞j-mej（m-n）φka11n02π[Bh1（kz，φk）kρ1Z1m（kρ1ρ）] +a21n02π[Bh2（kz，φk）kρ2Z1m（kρ2ρ）] +a12n02π[Bh1（kz，φk）kρ1Z4m（kρ1ρ）]+a22n02π[Bh2（kz，φk）kρ2Z4m（kρ2ρ）]} =m=-∞∞[j-mhsmZ4m（k0ρ）]] （10f）

由式（10）可求出導(dǎo)體柱涂覆雙各向異性介質(zhì)中用本征柱矢量波表示的電磁場的展開系數(shù)，進(jìn)而可求出散射場的散射系數(shù)，最后得出導(dǎo)體住涂覆雙各向異性介質(zhì)的雷達(dá)散射截面。

3 數(shù)值計算結(jié)果

這一部分，我們對前一節(jié)所推導(dǎo)的公式展開數(shù)值計算過程，數(shù)值計算主要計算平面波垂直入射情況下，導(dǎo)體柱涂覆雙各向異性介質(zhì)的雷達(dá)散射截面。對于二維情下，[??z=0，kz=0]，可用如下公式推導(dǎo)出雷達(dá)散射截面寬度[8]：

[σ=limρ→∞2πρ|Es|2|Ei|2]=[limρ→∞2πρ|Hs|2|Hi|2]

為了驗(yàn)證本文理論和數(shù)值計算結(jié)果的正確性，我們計算了當(dāng)導(dǎo)體柱半徑趨于0時，即導(dǎo)體柱的電尺寸為[k0a2=0.0001π]，計算結(jié)果如圖2所示，此時的[k0a1=1.4π]，介質(zhì)具體參數(shù)

[εt=3.6，εz=3.2，ut=2.4， uz=2.2， ξt=0.0，]

[ξz=1.131j， ζt=0.0，ζz=3.016j]。

實(shí)線為本文的計算結(jié)果，虛線為文獻(xiàn)[9]計算結(jié)果，從圖2 可以看出數(shù)值結(jié)果吻合較好。

圖3，為在 TM 均勻平面波垂直照射下的雙基地回波散射寬度的結(jié)果，取入射角[φ0=0.0]，圓柱的尺寸分別為[k0a=1.0π]，[k0a=1.7π]，λ=1m是自由空間的波長，散射體圓柱體是有耗的，介質(zhì)具體參數(shù)為

[εt=2.5-0.36j，εz=2.2-0.48j，ut=3.4-0.15j， ]

[uz=3.2-0.58j， ξt=1.38-1.21j，ξz=1.26-1.131j， ]

[ζt=1.356-0.452j，ζz=1.451-1.016j]

從圖3可以看出，圓柱中填充相同特性的介質(zhì)時，存在兩個現(xiàn)象：一方面，隨著散射體 尺寸的增大，相對應(yīng)的散射寬度的峰峰值之差也逐漸增大；另一方面，隨著散射體尺寸的增 大，雷達(dá)散射寬度結(jié)果的波動的峰數(shù)和谷數(shù)也逐漸增加。

4 結(jié)束語

本文是在單軸雙各向異性介質(zhì)圓柱電磁散射研究的進(jìn)一步擴(kuò)充，進(jìn)一步研究了涂覆單軸雙各向異性介質(zhì)圓柱電磁散射的理論公式和數(shù)值計算結(jié)果。為研究多層介質(zhì)涂覆橢圓柱的電磁散射特性奠定了基礎(chǔ)。

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