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深度剖析“帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”的三類問(wèn)題

帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，雖然在最近兩年的新課標(biāo)命題中有一些變化，由壓軸題角色變?yōu)檫x擇題，計(jì)算量和綜合度下降，但是考查學(xué)生基本方法的目標(biāo)未變，所以該部分內(nèi)容在高三復(fù)習(xí)依然是重中之重。本文就帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行分析，希望讀者領(lǐng)悟其中的方法。

一、帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

【例1】如圖1所示，在同時(shí)存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)的空間中取正交坐標(biāo)系Oxyz(z軸正方向豎直向上)，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電小球從原點(diǎn)O以速度v沿x軸正方向出發(fā)。下列說(shuō)法正確的是

( )

圖1

A．若電場(chǎng)、磁場(chǎng)分別沿z軸正方向和x軸正方向，小球只能做曲線運(yùn)動(dòng)

B．若電場(chǎng)、磁場(chǎng)均沿z軸正方向，小球有可能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

C．若電場(chǎng)、磁場(chǎng)分別沿z軸正方向和y軸負(fù)方向，小球有可能做勻速直線運(yùn)動(dòng)

D．若電場(chǎng)、磁場(chǎng)分別沿y軸負(fù)方向和z軸正方向，小球有可能做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)

【解析】四個(gè)選項(xiàng)如表1所示：

表1

【答案】BCD

【感悟】力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因，所以分析粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)首先要熟知力的特點(diǎn)。

(1)三種場(chǎng)力：重力大小為G=mg，總是豎直向下，為恒力，做功只取決于初末位置的高度差。是否考慮重力看具體的問(wèn)題而定。電場(chǎng)力大小為F=qE，方向與場(chǎng)強(qiáng)方向及電性有關(guān)，做功只取決于初末位置的電勢(shì)差，要注意電荷分為正負(fù)電荷兩種，不同電荷受力方向不同。洛倫茲力大小F洛=qvB(v⊥B)，方向用左手定則判定，洛倫茲力永不做功，速度變化時(shí)，洛倫茲力也要發(fā)生變化。

(2)粒子做直線運(yùn)動(dòng)還是曲線運(yùn)動(dòng)要看粒子受到的合力方向與速度方向是不是共線。

(3)粒子受到的合力為0，粒子處于平衡狀態(tài)；粒子受到的合力為恒力，做勻變速運(yùn)動(dòng)，若合力方向與速度共線，為勻變速直線運(yùn)動(dòng)；粒子只受重力作用且初速度方向與重力垂直，粒子做平拋運(yùn)動(dòng)(類平拋運(yùn)動(dòng)是合力恒定且方向與初速度方向垂直)；粒子受到的合力大小恒定，方向總是指向圓心并與速度方向垂直，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)。

總之，正確分析帶電粒子的受力及運(yùn)動(dòng)特征是解決問(wèn)題的前提。本題中的D項(xiàng)有些同學(xué)誤以為速度變化，洛倫茲力變化而排出D項(xiàng)。所以畫出受力分析圖示就清晰了。

二、帶電粒子在有界場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

( )

圖2

圖3

【答案】D

【總結(jié)】(1)直線邊界，如圖4所示，粒子從某一邊界射入磁場(chǎng)時(shí)和從同一邊界射出時(shí)，速度方向與邊界的夾角相等。

圖4

(2)平行邊界，如圖5所示，存在臨界條件。一種是與邊界線的臨界，甲圖中O1圓對(duì)應(yīng)的軌跡與邊界相切；另一種是與邊界的臨界，甲圖中O2圓對(duì)應(yīng)的軌跡與邊界點(diǎn)相交。

圖5

【例3】(圓形界問(wèn)題)如圖6所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)帶電粒子以速度v從A點(diǎn)沿直徑AOB方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)過(guò)Δt時(shí)間從C點(diǎn)射出磁場(chǎng)，OC與OB成60°角。現(xiàn)將帶電粒子的速度變?yōu)関/3，仍從A點(diǎn)沿原方向射入磁場(chǎng)，不計(jì)重力，則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間變?yōu)?/p>

( )

圖6

圖7

【答案】B

【總結(jié)】(1)帶電粒子沿半徑方向射入圓形磁場(chǎng)的粒子，必沿半徑方向射出。

(2)如圖8所示，粒子速度的偏向角φ等于回旋角α，且等于AC弦與切線的夾角(弦切角)θ的兩倍，即φ=α=2θ。

(3)如圖8所示，相對(duì)的弦切角相等，與相鄰的弦切角互補(bǔ)，即：θ+θ′=180°。

圖8

( )

圖9

圖10

【答案】AB

【總結(jié)】帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，常常遇到磁場(chǎng)的有界而產(chǎn)生臨界問(wèn)題，對(duì)于此類問(wèn)題采用以下兩種方法。

(1)動(dòng)態(tài)放縮法：當(dāng)帶電粒子射入磁場(chǎng)的方向確定，但射入時(shí)的速度v大小或磁場(chǎng)的強(qiáng)弱B變化時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r隨之變化。在確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情景時(shí)，可以以入射點(diǎn)為定點(diǎn)，將軌道半徑放縮，作出一系列的軌跡，從而探索出臨界條件。如圖11所示，粒子進(jìn)入長(zhǎng)方形邊界OABC形成的臨界情景為②和④。

圖11

(2)定圓旋轉(zhuǎn)法：當(dāng)帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速率v大小一定，但射入的方向變化時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r是確定的。在確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情景時(shí)，可以以入射點(diǎn)為定點(diǎn)，將軌跡圓旋轉(zhuǎn)，作出一系列軌跡，從而探索出臨界條件，如圖12所示為粒子進(jìn)入單邊界磁場(chǎng)時(shí)的情景。

圖12

三、帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

【例5】(2017·山東省濰坊模擬)在如圖13所示的坐標(biāo)系中，第一和第二象限(包括y軸的正半軸)內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；第三和第四象限內(nèi)存在平行于y軸正方向、大小未知的勻強(qiáng)電場(chǎng)。p點(diǎn)為y軸正半軸上的一點(diǎn)，坐標(biāo)為(0，l)；n點(diǎn)為y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，坐標(biāo)未知。現(xiàn)有一帶正電的粒子由p點(diǎn)沿y軸正方向以一定的速度射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，該粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后以與x軸正半軸成45°角的方向進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，該粒子恰好垂直于y軸經(jīng)過(guò)n點(diǎn)。粒子的重力忽略不計(jì)。求：

圖13

(1)粒子在p點(diǎn)的速度大?。?/p>

(2)第三和第四象限內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大??；

(3)帶電粒子從由p點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到第三次通過(guò)x軸的總時(shí)間。

【解析】粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖14所示

圖14

(1)由幾何關(guān)系可知

rsin45°=l

由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有

聯(lián)立以上方程解得

故粒子從開始到第三次通過(guò)x軸所用時(shí)間為

【總結(jié)】常見的組合場(chǎng)問(wèn)題主要表現(xiàn)為以下兩種情形。

(1)先電場(chǎng)后磁場(chǎng)模型

表2

表3

(2)先磁場(chǎng)后電場(chǎng)模型

對(duì)于粒子從磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)，常見的有兩種情況：①進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)粒子速度方向與電場(chǎng)方向相同或相反；②進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)粒子速度方向與電場(chǎng)方向垂直。(如圖15所示)

圖15

上海市七寶中學(xué))