黑龍江 劉成寶

利用分段函數(shù)方法解析元素化合物圖象問題

分段函數(shù)是指對于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的對應法則。在以元素化合物為背景信息的化學圖象問題中，能夠充分體現(xiàn)在不同自變量的取值范圍內所對應的不同化學反應原理。因此可以借助分段函數(shù)的解析方法解決以元素化合物為背景信息的化學圖象問題。

一、例題解析

例1把一塊鎂鋁合金投入到1 mol·L-1HCl溶液里，待合金完全溶解后，再往溶液里加入1 mol·L-1NaOH溶液，生成沉淀的物質的量隨加入NaOH溶液體積變化的關系如圖所示。下列說法中錯誤的是

( )

A.鹽酸溶液的體積為80 mL

B.a的取值范圍為0≤alt;50

C.若a=30時，b值為0.01

D.若a=10時，n(Mg)∶n(Al)=2∶1

解析：由圖象和自變量V(NaOH)的變化范圍將圖象分為0～amL、a～80 mL、80～90 mL、大于90 mL四個階段，所對應的反應過程分別為：

①0～amL：加入NaOH溶液無沉淀生成，說明和合金反應時鹽酸過量，該階段的反應為H++OH-H2O；

②a～80 mL：NaOH與Mg2+、Al3+反應生成沉淀，Mg2++2OH-Mg(OH)2↓、Al3++3OH-Al(OH)3↓；當加入NaOH溶液80mL時，溶液中的溶質只有NaCl；

③80～90 mL：NaOH與Al(OH)3反應Al(OH)3+OH-AlO-2+H2O；

④V(NaOH)gt;90 mL：NaOH過量。

由原子守恒關系可知n[Al(OH)3]=n(Al3+)=n(Al)=(90-80)×10-3L×1 mol·L-1=0.01 mol，則n(Mg)=[(80-a)×10-3L×1 mol·L-1-0.01 mol×3]/2=(0.025-0.000 5a) mol。則a的取值范圍為0≤alt;50；若a=30時，b=n[Al(OH)3]+n[Mg(OH)2]=n(Al)+n(Mg)=0.02；若a=10時，n(Mg)∶n(Al)=2∶1；當加入NaOH溶液80 mL時，溶液中的溶質只有NaCl，由n(HCl)=n(NaCl)=n(NaOH)可計算出鹽酸溶液的體積為80 mL。正確答案為C。

例2在200 mL含Mg2+、Al3+、NH+4、H+、Cl-的溶液中，逐滴加入5 mol·L-1NaOH溶液，所加NaOH溶液的體積(mL)與產(chǎn)生沉淀的物質的量(mol)關系如圖所示。下列敘述不正確的是

( )

A.x-y=0.01mol

B.原溶液中c(NH+4)=0.75 mol·L-1

C.原溶液中c(Cl-)=0.825 mol·L-1

D.原溶液中n(Mg2+)∶n(Al3+)=5∶1

解析：圖象中的四個階段發(fā)生的化學反應及存在的定量關系分別為：

①0～4 mL：H++OH-H2O，n(H+)=4×10-3L×5 mol·L-1=0.02 mol；

②4～30 mL：與Mg2+、Al3+反應生成沉淀，Mg2++2OH-Mg(OH)2↓、Al3++3OH-Al(OH)3↓；

③30～33 mL：沉淀的量未發(fā)生變化，為NH+4與OH-的反應，NH+4+OH-NH3·H2O；n(NH+4)=(33-30)×10-3L×5 mol·L-1=0.015 mol，c(NH+4)=0.075 mol·L-1；

④33～35 mL：與Al(OH)3反應，Al(OH)3+OH-AlO-2+H2O，因此n[Al(OH)3]=n(Al3+)=(35-33)×10-3L×5mol·L-1=0.01 mol；則n(Mg2+)=[(30-4)×10-3L×5 mol·L-1-0.01 mol×3]/2=0.05 mol，n(Mg2+)∶n(Al3+)=5∶1；x-y=n[Al(OH)3]=0.01 mol。

由電荷守恒關系可知n(Cl-)=3n(Al3+)+2n(Mg2+)+n(NH+4)+n(H+)=0.165 mol，c(Cl-)=0.825 mol·L-1，正確答案為B。

例3把由NaOH、AlCl3、MgCl2三種固體組成的混合物溶于足量的水中，有1.16 g白色沉淀析出，向所得的濁液里，逐滴加入0.5 mol·L-1的鹽酸，加入鹽酸的體積和生成沉淀的質量如圖所示：

(1)寫出m～n段反應的離子方程式：

。

(2)混合物中NaOH的物質的量是________，AlCl3的物質的量是________，MgCl2的物質的量是________，P點所表示的加入鹽酸的體積是________mL。

解析：圖象中的三個階段發(fā)生的化學反應及存在的定量關系分別為：

①0～10 mL：加入鹽酸后沉淀量不變，說明NaOH有剩余，發(fā)生的反應為OH-+H+H2O，剩余NaOH的物質的量為n1=10×10-3L×0.5 mol·L-1=0.005 mol，此時AlCl3完全轉化為NaAlO2，沉淀為Mg(OH)2，其物質的量為n[Mg(OH)2]=n(MgCl2)=1.16 g58 g/mol=0.02 mol，溶液中NaCl的物質的量為n(NaCl)=3n(AlCl3)+2n(MgCl2)；

②10～30 mL：沉淀的量增加，發(fā)生的反應為AlO-2+H++H2OAl(OH)3↓，則n(NaAlO2)=n(AlCl3)=(30-10)×10-3L×0.5 mol· L-1=0.01 mol，因此NaCl的物質的量為n(NaCl)=3×0.01 mol+2×0.02 mol=0.07 mol，由Na原子守恒關系可知原混合物中的NaOH的物質的量為n(NaOH)=n1+n(NaCl)+n(NaAlO2)=0.005 mol+0.07 mol+0.01 mol=0.085 mol。

③30 mL～P：沉淀溶解過程，發(fā)生的反應為Mg(OH)2+2H+Mg2++2H2O、Al(OH)3+3H+Al3++3H2O，P點時溶液由NaCl、AlCl3、MgCl2三種物質組成。因此加入的鹽酸與原混合物中的NaOH的物質的量相等，均為 0.085 mol，P點時所加鹽酸溶液的體積為170 mL。

二、方法總結

化學圖象在數(shù)學圖象的基礎上融入了化學信息，解題時需將圖象信息與化學知識進行有效整合。首先將圖象的整體變化、分段變化及圖象中特殊點(起點、拐點、最高點、最低點、終點)與物質的性質相結合，對反應過程進行全面細致的定性分析，明確在不同自變量的取值范圍內所對應的化學反應，然后再進行定量計算。即先進行定性分析而后進行定量計算。

1.對圖象的整體變化及分段變化進行分析，明確反應過程

圖象中縱軸量變的實質是橫軸內不同變量范圍內所對應的不同化學反應，并且是物質反應順序的體現(xiàn)。結合物質的性質和圖象的整體變化、分段變化情況，明確圖象變化過程中物質的反應順序。

如例2中，通過圖象中沉淀量在四個階段的由無到有、增大、不變、減小的變化情況可知，加入NaOH后與NaOH反應的先后順序依次為：H+→Mg2+、Al3+→NH+4→Al(OH)3，其過程表示如下：

Mg2+

Al3+

NH+4

H+NaOHMg2+

Al3+

NH+4

H2ONaOHMg(OH)2↓

Al(OH)3↓

NH+4

H2ONaOHMg(OH)2↓

Al(OH)3↓

NH3·H2O

H2ONaOHMg(OH)2↓

NaAlO2

NH3·H2O

H2O

又如例3的圖象中，加入鹽酸后，沉淀的量先不變而后增加，且導致沉淀量增加的反應只有AlO-2+H++H2OAl(OH)3↓，說明NaOH、AlCl3、MgCl2加水混合后，NaOH有剩余，AlCl3完全轉化為NaAlO2，沉淀中只有 Mg(OH)2。由圖象變化可知，加入鹽酸后反應的先后順序依次為：NaOH→NaAlO2→Mg(OH)2、Al(OH)3，其反應過程表示如下：

MgCl2

AlCl3

NaOHH2OMg(OH)2↓

NaAlO2

NaOH

NaClHClMg(OH)2↓

NaAlO2

NaClHClMg(OH)2↓

Al(OH)3↓

NaClHClMgCl2

AlCl3

NaCl

2.突破特殊點分析，運用守恒關系解題

分段函數(shù)圖象中的特殊點在縱軸上體現(xiàn)的是量的多少，在橫軸上則是某一物質反應的開始或某一物質恰好完全反應的體現(xiàn)。通過橫軸每一分段的變化量計算某種物質的量的多少的同時，還要考慮特殊點時所對應的溶液或沉淀的變化情況，然后利用原子守恒、電荷守恒、電子守恒關系進行判斷或計算，從而簡化計算過程，提高解題效率。

如例1中，當加入的NaOH溶液為80 mL，沉淀量達到最大值，此時溶液中的溶質只有NaCl，由原子守恒關系可知n(HCl)=n(NaCl)=n(NaOH)，從而計算出所加鹽酸的體積為80 mL。

黑龍江省賓縣第一中學)