■江蘇省響水中學(xué)高三(7)班 姜大鵬

展開式系數(shù)求解方法感悟

■江蘇省響水中學(xué)高三(7)班 姜大鵬

求展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)是二項(xiàng)式定理的重要內(nèi)容,也是高考的常考內(nèi)容,下面談?wù)務(wù)归_式系數(shù)的求解方法。

一、利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解

方法感悟:求一個(gè)二項(xiàng)式或兩個(gè)二項(xiàng)式積的展開式的系數(shù),可利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),先由條件確定r,再求出指定項(xiàng)的系數(shù)。

A.6 B.7 C.8 D.9

二、利用賦值法求解

方法感悟:關(guān)于x的二項(xiàng)式(ax+b)n(a,b是常數(shù))的展開式可以看成關(guān)于x的函數(shù),當(dāng)x賦予某一值時(shí),可以得到一個(gè)與系數(shù)有關(guān)的等式,所以,當(dāng)展開式涉及系數(shù),特別是系數(shù)和的問題時(shí),可以利用賦值法求解。

A.-2 B.-1 C.1 D.2

解析：令x=-1,則(1+1)(-2+1)9=a0+a1+a2+…+a11,得a0+a1+a2+…+a11=-2。故選A。

解析：令x=1,得:

0=a0+a1+a2+a3+a4+a5。①

令x=-1,得:

25=a0-a1+a2-a3+a4-a5。②

由①+②得a0+a2+a4=24,①-②得a1+a3+a5=-24。

則(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256。

特別提醒:若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1),常數(shù)項(xiàng)a0=f(0),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a2+a4+…=偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1+a3+a5+…=

三、利用換元法求解

方法感悟:數(shù)學(xué)解題是一個(gè)轉(zhuǎn)化與化簡的過程,利用換元法,可將某些系數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式系數(shù)問題求解。

A.9 B.10 C.-9 D.-10

解析：令t=x+1,則x=t-1,多項(xiàng)式化為t-1( )2+t-1( )10=a0+a1t+…+a9t9+a10t10,則a9=C110-1( )=-10。故選D。

四、利用計(jì)數(shù)原理求解

方法感悟:求幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中某一項(xiàng)的系數(shù),根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則,可利用計(jì)數(shù)原理求解。

A.160 B.240 C.360 D.800

解析：(x2+3x+2)5看成五個(gè)因式(x2+3x+2)的積,含x的項(xiàng)是五個(gè)因式中都不取x2項(xiàng),恰在一個(gè)因式中取3x,從余下的四個(gè)因式中取常數(shù)形成的,則含x的項(xiàng)為,所以x的系數(shù)為240。故選B。

(責(zé)任編輯 徐利杰)