梁展源 吳國(guó)忱 王玉梅

(①中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島 266580； ②中國(guó)石化勝利油田物探研究院， 山東東營(yíng) 257022)

·偏移成像·

基于波動(dòng)方程重建震源子波的三維全波形反演

梁展源*①吳國(guó)忱①王玉梅②

(①中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島 266580； ②中國(guó)石化勝利油田物探研究院， 山東東營(yíng) 257022)

提出一種基于波動(dòng)方程重建震源子波的三維全波形反演方法，通過(guò)提取疊前炮集近炮檢距的直達(dá)波作為波動(dòng)方程求解的邊界條件，重新求解波動(dòng)方程，并記錄震源點(diǎn)處的時(shí)間序列作為地震子波。該方法利用震源波場(chǎng)重建原理模擬震源爆炸沿地表傳播的逆過(guò)程，在逆推過(guò)程中提取近炮檢距直達(dá)波，避免了折射波、反射波以及潛水波等干擾。該方法只使用模型表層速度，可以有效降低對(duì)初始模型的依賴。對(duì)三維SEG/EAGE推覆體模型以及實(shí)際工區(qū)數(shù)據(jù)的測(cè)試結(jié)果表明，基于波動(dòng)方程震源波場(chǎng)重建子波與輸入子波只存在相位差異，經(jīng)過(guò)相位調(diào)整后，將重建子波用于三維全波形反演，全波形反演速度接近真實(shí)速度，特別是在河道處的全波形反演結(jié)果更加可靠，觀測(cè)記錄與模擬記錄在波形、相位等方面均有較好的對(duì)應(yīng)，驗(yàn)證了算法的可行性與適用性。

地震子波 全波形反演 震源波場(chǎng)重建 波動(dòng)方程 SEG/EAGE推覆體模型

1 引言

全波形反演(Full Waveform Inversion，簡(jiǎn)稱FWI)可進(jìn)行高分辨率地震速度成像，近年來(lái)逐漸發(fā)展為勘探地球物理研究的熱點(diǎn)。FWI基于波動(dòng)方程全波場(chǎng)數(shù)值模擬，是一個(gè)局部尋優(yōu)的非線性迭代反演問(wèn)題[1-3]。FWI以觀測(cè)記錄和合成記錄的最小二乘函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，利用地震波的走時(shí)、振幅、相位等全波形信息反演地下介質(zhì)參數(shù)，具有最高分辨率的特性[4-6]。同時(shí)，F(xiàn)WI也存在固有缺陷：一是效率問(wèn)題，主要體現(xiàn)在反演伴隨著巨大計(jì)算量與存儲(chǔ)量；二是局部極小值問(wèn)題，初始速度不準(zhǔn)確、子波不匹配等因素都會(huì)使迭代陷入局部極小值。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，特別是GPU并行程序的應(yīng)用，F(xiàn)WI的計(jì)算效率明顯提高[7-11]，但是巨大的I/O吞吐問(wèn)題依然存在。根據(jù)波動(dòng)方程的求解原理，常采用震源波場(chǎng)重建方法解決存儲(chǔ)問(wèn)題，該方法首先由Gauthier等[12]提出并用于逆時(shí)偏移過(guò)程，在震源波場(chǎng)正傳過(guò)程中存儲(chǔ)邊界波場(chǎng)，存儲(chǔ)的邊界波場(chǎng)的層數(shù)與使用的差分階數(shù)有關(guān)，在檢波點(diǎn)逆時(shí)傳播的同時(shí)進(jìn)行源波場(chǎng)重建。該方法數(shù)值精度高，但是存儲(chǔ)量正比于有限差分算子的階數(shù)。為了進(jìn)一步減少存儲(chǔ)量，F(xiàn)eng等[13]提出一種改進(jìn)方案，只存儲(chǔ)一層網(wǎng)格的邊界波場(chǎng)，采用從外至內(nèi)邊界波場(chǎng)從二階差分逐漸升到高階差分的方法進(jìn)行震源波場(chǎng)重建。

FWI需要匹配正演模擬數(shù)據(jù)與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)，若兩者的子波不匹配，會(huì)嚴(yán)重影響反演精度[14，15]。在FWI中，地震子波的處理策略主要分為以下兩大類。一類是不依賴子波的FWI方法，通過(guò)引入?yún)⒖嫉老卣鹱硬▽?duì)FWI的影響。Lee等[16]在頻率域?qū)⒌卣饠?shù)據(jù)與參考道相除，得到歸一化波場(chǎng)用于消除地震子波的影響，但是當(dāng)?shù)卣饠?shù)據(jù)存在噪聲時(shí)會(huì)明顯降低反演精度[17，18]。Zhou 等[19]提出一種用多道平均作為參考道的策略，通過(guò)疊加可以消除噪聲影響，但在參考道中仍存在零值使反演不穩(wěn)定等問(wèn)題。Choi 等[20]在時(shí)間域提出不依賴子波的FWI，并證實(shí)該方法的抗噪性更好，但是仍需提供精確的初始速度。另一類是在迭代過(guò)程中更新地震子波的方法，首先由Song等[21]提出。在反演迭代過(guò)程中將地震子波作為一個(gè)參數(shù)，同時(shí)反演速度與地震子波，稱為震源信號(hào)的迭代反演方法(Iterative Estimation of the Source Signature，簡(jiǎn)稱IES)。該方法的缺點(diǎn)在于若初始速度不準(zhǔn)確，則每次迭代得到的地震子波也會(huì)存在巨大誤差，最終導(dǎo)致反演失敗。

在實(shí)際應(yīng)用中最直接的獲得地震子波的方法是提取直達(dá)波作為震源信號(hào)。然而，由于實(shí)際介質(zhì)中傳播路徑的影響及透射波、反射波以及散射波等的存在，直達(dá)波并不能作為真正的地震子波[22]。本文提出一種基于波動(dòng)方程重建震源子波的三維FWI方法，通過(guò)提取疊前炮集近炮檢距的直達(dá)波作為波動(dòng)方程求解的邊界條件，重新求解波動(dòng)方程，并記錄震源點(diǎn)處的時(shí)間序列作為地震子波。該方法利用震源波場(chǎng)重建原理模擬震源爆炸沿地表傳播的逆過(guò)程，在逆推過(guò)程中提取近炮檢距直達(dá)波，避免了折射波、反射波以及潛水波等干擾。該方法只使用模型表層速度，可以有效降低對(duì)初始模型的依賴。將重建的地震子波用于三維模型及實(shí)際工區(qū)的FWI中，驗(yàn)證了本文算法求取地震子波的可行性與適用性。

2 方法原理

2.1 FWI方法

在數(shù)學(xué)上FWI可以定義為一種局部尋優(yōu)的最優(yōu)化方法，通過(guò)建立最小二乘目標(biāo)函數(shù)尋找目標(biāo)函數(shù)的全局最小值。定義目標(biāo)函數(shù)E，表示觀測(cè)數(shù)據(jù)d與模擬數(shù)據(jù)的L2范數(shù)[2]，即

(1)

式中F(m)為正演算子，其中m為模型參數(shù)。

在時(shí)間域，正演模擬數(shù)據(jù)一般通過(guò)雙程波波動(dòng)方程獲得，實(shí)際上應(yīng)該考慮波傳播過(guò)程中的衰減、各向異性等因素[23]。然而，由于計(jì)算資源的限制，通常采用減少各向異性參數(shù)的個(gè)數(shù)[24]、甚至選用各向同性介質(zhì)的方法，本文的正演方程為以下常密度聲波方程

(2)

式中：P(x,t)為壓力波場(chǎng)；v(x)為速度參數(shù)，對(duì)應(yīng)式(1)中的m，其中x為模型空間某點(diǎn)的坐標(biāo)；f(x,t)為震源項(xiàng)。

由于FWI的高度非線性，通常采用局部線性最優(yōu)化方法進(jìn)行迭代反演。根據(jù)牛頓迭代法，每次迭代的參數(shù)更新可表示為[25]

(3)

(4)

式中：J為Jacobi矩陣；T為模擬地震數(shù)據(jù)中的最大時(shí)間；λ(x,t)表示殘差反傳波場(chǎng)。

2.2 波動(dòng)方程源波場(chǎng)重建子波

式(2)為常密度聲波方程，在時(shí)間域可以用格林函數(shù)與震源表示該式的解

(5)

式中：ξ為震源的空間位置；τ為時(shí)間；V為體積分域。

求位移的過(guò)程可以看作震源項(xiàng)與格林函數(shù)在時(shí)間域的褶積。在聲介質(zhì)假設(shè)下，式(2)與式(5)用于模擬獲得觀測(cè)數(shù)據(jù)的過(guò)程，如震源激發(fā)后，波傳播至檢波器時(shí)可接收到直達(dá)波(圖1)。

圖1 波傳播示意圖

設(shè)直達(dá)波為dΩ，則重新構(gòu)建的常密度聲波方程為

(6)

式(6)為常密度聲波傳播方程的定解問(wèn)題，與式(2)相比，式(6)中不含震源項(xiàng)。以地表接收到的直達(dá)波為方程求解的邊界條件，并假設(shè)初始條件為零。此過(guò)程模擬震源爆炸沿地表傳播的逆過(guò)程以求取地震子波，若正過(guò)程為震源項(xiàng)與格林函數(shù)在時(shí)間域的褶積，則求取子波的過(guò)程可表示為位移與格林函數(shù)在時(shí)間域的反褶積

(7)

式(7)為直達(dá)波逆時(shí)傳播求取地震子波的積分表示式，由于整個(gè)過(guò)程是數(shù)值求解，不需要求得地震子波的解析解。在重新求解時(shí)，取近炮檢距的直達(dá)波為方程求解的邊界條件，避免了折射波、反射波以及潛水波等干擾。由于利用直達(dá)波為方程求解的邊界條件，故式(6)中的v(x)為地表速度，只要求地表處速度接近真實(shí)速度，降低了對(duì)初始速度的依賴。

數(shù)值求解采用時(shí)間2階、空間N階的有限差分方法，通過(guò)保存不同層數(shù)的邊界值，可用不同的震源波場(chǎng)重建方法求解。文中保存一層邊界的直達(dá)波數(shù)據(jù)，使用Feng等[13]提出的震源波場(chǎng)重建方法，其原理如圖2所示。

圖2 波場(chǎng)重建原理圖

以模型地表處右邊界為例，黑色實(shí)心圓為模型邊界，此邊界在吸收邊界內(nèi)部，d為記錄的直達(dá)波邊界值。由于只記錄一層直達(dá)波值，因此計(jì)算P2用2階差分，計(jì)算P3用4階差分，以此類推，…，計(jì)算PN/2用N階差分。在N/2層內(nèi)，用以上方法計(jì)算，超出N/2層后，計(jì)算PK用N階差分

圖3 FWI流程圖

本文在子波計(jì)算與梯度求取時(shí)均利用了震源波場(chǎng)重建方法(圖3)，前者利用直達(dá)波逆時(shí)回推得到地震子波，后者以計(jì)算代替存儲(chǔ)減少I/O的消耗。

3 數(shù)值試驗(yàn)

3.1 模型測(cè)試

采用三維SEG/EAGE推覆體速度模型(圖4)，其中初始速度(圖4b)由真實(shí)速度(圖4a)經(jīng)過(guò)一定平滑后得到。正演模擬所用子波為雷克子波(見(jiàn)圖7a)，正演模擬采用時(shí)間2階、空間10階有限差分算法。首先，輸入真實(shí)速度體(圖4a)，通過(guò)三維正演模擬得到疊前炮集。正演模擬僅為了得到沿地表傳播的直達(dá)波，因此并不考慮覆蓋次數(shù)以及炮檢距大小。為了避免折射波、潛水波等干擾，通常只考慮近炮檢距直達(dá)波。圖5為震源點(diǎn)位于(0，0，0)處的正演模擬記錄。

截取近炮檢距信噪比較高的直達(dá)波進(jìn)行計(jì)算，以記錄所有炮點(diǎn)得到的震源子波(圖6)。圖7為重建子波與雷克子波。由圖可見(jiàn)，雷克子波與重建子波的頻譜幾乎一致(圖7b)，但兩者在相位上存在差異(圖7a)。因此對(duì)重建子波做一步相位調(diào)整，以使重建子波與雷克子波的相位一致，得到相位校正后的子波(圖8)?？梢?jiàn)重建子波與輸入的雷克子波幾乎只存在相位差別，經(jīng)過(guò)相位校正后，兩者形態(tài)幾乎一致。

圖4 三維SEG/EAGE推覆體模型

以圖左上角自定義三維坐標(biāo)系為依據(jù)，x、y方向網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)均為401，z方向網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為121，x、y、z方向網(wǎng)格尺寸均為10m。震源和檢波器都分布在地表處，共121炮，第一炮位于(0，0，0)處，第一個(gè)檢波點(diǎn)也位于(0，0，0)處。x、y方向的炮間距均為400m，x、y方向的檢波點(diǎn)間距均為100m，炮檢距為 1000m。地震記錄的時(shí)間采樣間隔為0.6ms，時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)為1600

圖5 震源點(diǎn)位于(0，0，0)處的正演模擬記錄

圖6 重建的三維地震子波

以重建的三維地震子波作為正演模擬子波進(jìn)行三維FWI測(cè)試，測(cè)試模型為三維SEG/EAGE推覆體模型(圖4)。觀測(cè)地震數(shù)據(jù)由校正后的雷克子波(圖8中黑線所示)作為震源子波通過(guò)正演模擬獲得，模擬地震數(shù)據(jù)由校正后的重建三維地震子波(圖8中紅線所示)通過(guò)正演模擬獲得。 震源和檢波器都分布在地表，共629炮，第一炮位于(0，0，0)處，第一個(gè)檢波點(diǎn)也位于(0，0，0)處。x、y方向的炮間距均為160m，x、y方向的檢波點(diǎn)間距均為10m，炮檢距為1000m。地震記錄的時(shí)間采樣間隔為0.6ms，時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)為1600。數(shù)值模擬采用時(shí)間2階、空間10階有限差分算法，三個(gè)方向的空間采樣網(wǎng)格尺寸均為10m。

圖7 重建子波與雷克子波及其頻譜

圖8 相位校正后的子波黑線為雷克子波，紅線為重建子波

圖9為不同迭代次數(shù)的三維SEG/EAGE推覆體模型的FWI結(jié)果。由圖9可見(jiàn)，隨著迭代次數(shù)的增大，構(gòu)造細(xì)節(jié)成像越來(lái)越清晰，如明顯恢復(fù)了z=0.6km處切片的河道(藍(lán)色橢圓內(nèi))細(xì)節(jié)。圖10為實(shí)際速度與FWI速度對(duì)比，圖11為河道處單道速度對(duì)比。由圖可見(jiàn)，F(xiàn)WI速度接近真實(shí)速度，特別在河道處(黃色虛線)的FWI結(jié)果更加可靠。

圖9 不同迭代次數(shù)的三維SEG/EAGE推覆體模型的FWI結(jié)果

圖10 真實(shí)速度(a)與FWI速度(b)對(duì)比

圖11 河道處單道速度對(duì)比

4 實(shí)際應(yīng)用

選取中國(guó)東部三維M區(qū)的疊前地震資料進(jìn)行試算。該區(qū)地表起伏平緩，地震資料信噪比較高，所用的初始速度場(chǎng)由偏移速度分析所得，且初始速度場(chǎng)的表層速度接近真實(shí)速度場(chǎng)的表層速度，滿足本文算法的假設(shè)。兼顧計(jì)算機(jī)與三維疊前FWI計(jì)算量與數(shù)據(jù)量的需求，選取較小塊的、觀測(cè)系統(tǒng)相對(duì)規(guī)范的、有井位驗(yàn)證的三維區(qū)塊。所選區(qū)塊共882炮數(shù)據(jù)，炮檢距為 3000m，所獲得的疊前資料做過(guò)地表一致性校正等處理。截取近炮檢距處信噪比較高的直達(dá)波進(jìn)行計(jì)算，記錄所有炮點(diǎn)得到的震源子波(圖12)，可見(jiàn)擬合得到的最終震源子波接近最小相位子波。

用實(shí)際資料重建的三維地震子波(圖12)對(duì)該區(qū)882炮數(shù)據(jù)進(jìn)行三維FWI測(cè)試，圖13為迭代17次得到的速度連井剖面， 該剖面為反演三維速度場(chǎng)中抽取的一條過(guò)井剖面。由圖可見(jiàn)，反演速度與井曲線吻合較好。圖14為觀測(cè)地震記錄與模擬地震記錄對(duì)比。由圖可見(jiàn)，觀測(cè)記錄(圖14a)與模擬記錄(圖14b)在波形、相位等方面均有較好的對(duì)應(yīng)。

圖12 實(shí)際資料重建的三維地震子波

圖13 迭代17次得到的速度連井剖面

圖14 觀測(cè)地震記錄(a)與模擬地震記錄(b)對(duì)比

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種基于波動(dòng)方程重建震源子波的三維FWI方法。應(yīng)用波動(dòng)方程的求解理論，將地表接收到的直達(dá)波作為波動(dòng)方程求解的邊界條件，以地表速度作為波動(dòng)方程的速度參數(shù)，通過(guò)重新求解波動(dòng)方程得到地震子波。該方法模擬震源爆炸沿地表傳播的逆過(guò)程，利用疊前地震資料近炮檢距直達(dá)波信息，避免了折射波、反射波以及潛水波等干擾。并且該方法只假定地表處速度接近真實(shí)速度，降低了對(duì)初始速度的依賴。

利用三維SEG/EAGE推覆體模型進(jìn)行測(cè)試，對(duì)每個(gè)炮點(diǎn)都可以求取對(duì)應(yīng)的地震子波，多個(gè)炮點(diǎn)擬合后得到的地震子波與初始輸入的雷克子波存在相位差異，但振幅譜無(wú)明顯差異，經(jīng)過(guò)相位校正后即可進(jìn)行三維FWI，并可得到較為準(zhǔn)確的速度參數(shù)。利用實(shí)際資料求得的地震子波接近零相位子波，可直接用于FWI反演，通過(guò)與連井曲線對(duì)比，證明了本文算法的可行性與適用性。尚需指出，本文的算法研究是在假定地表速度接近真實(shí)速度的基礎(chǔ)上開(kāi)展的，并且只考慮了速度因素，而影響地震波傳播的因素很多，如衰減、各向異性等，需考慮這些因素才能更好地模擬震源爆炸沿地表傳播的逆過(guò)程，從而求得更準(zhǔn)確的地震子波。因此文中算法只適用于地表起伏平緩的地區(qū)，對(duì)于地表起伏劇烈的地區(qū)不一定適用。

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*山東省青島市黃島區(qū)長(zhǎng)江西路66號(hào)中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，266580。Email:lzy09017216@163.com

本文于2016年11月28日收到，最終修改稿于2017年9月6日收到。

本項(xiàng)研究受國(guó)家“973”重大專項(xiàng)(2013CB228604)和國(guó)家自然科學(xué)基金—石油化工基金聯(lián)合重點(diǎn)項(xiàng)目(U1562215)聯(lián)合資助。

1000-7210(2017)06-1200-08

梁展源，吳國(guó)忱，王玉梅.基于波動(dòng)方程重建震源子波的三維全波形反演.石油地球物理勘探，2017,52(6):1200-1207.

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A

10.13810/j.cnki.issn.1000-7210.2017.06.010

(本文編輯：劉勇)

梁展源 博士研究生，1989年生；分別于2013、2016年獲中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球物理學(xué)專業(yè)學(xué)士學(xué)位、地質(zhì)資源與地質(zhì)工程專業(yè)碩士學(xué)位； 目前在中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院攻讀地質(zhì)資源與地質(zhì)工程專業(yè)博士學(xué)位，研究方向?yàn)閼?yīng)用地球物理正、反演方法。