郭明明，楊瑞峰，張鵬，郭晨霞

（1.中北大學(xué)儀器與電子學(xué)院，太原030051；2.山西省自動(dòng)化檢測(cè)裝備與系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，太原030051）

0 引 言

在工業(yè)自動(dòng)化領(lǐng)域中，永磁同步電機(jī)因具有優(yōu)良的機(jī)械特性被廣泛應(yīng)用，可是在電機(jī)工作的過(guò)程中，不可避免的會(huì)出現(xiàn)參數(shù)變化、外界干擾等不確定擾動(dòng)，尤其是當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩發(fā)生變化時(shí)，電機(jī)的位置信號(hào)會(huì)受到很大干擾，影響電機(jī)的正常工作和系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)［1］。因此，在一些對(duì)魯棒性和抗擾性能要求較高的永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)中，為了確保電機(jī)工作的高性能和高效率，需要采用有效的方法對(duì)這些擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)和抑制。

常用的干擾估計(jì)及抑制方法有滑?？刂品ǎ?］、自抗擾控制法［3］、觀測(cè)器法［4］、前饋控制法［5］、H∞控制器［6］、等價(jià)輸入干擾（EID）估計(jì)方法［7］等。其中，基于線性系統(tǒng)的EID估計(jì)方法可以在干擾完全未知的情況下，將不確定干擾等效為系統(tǒng)的輸入擾動(dòng)并進(jìn)行補(bǔ)償，而且系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，便于設(shè)計(jì)。雖然永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性系統(tǒng)，但是已有的非線性系統(tǒng)的線性化方法已經(jīng)非常成熟，可以先對(duì)電機(jī)非線性模型進(jìn)行線性化，再將EID估計(jì)算法應(yīng)用于永磁同步電機(jī)的控制系統(tǒng)中［8-9］。本文將EID估計(jì)算法應(yīng)用于永磁同步電機(jī)位置伺服系統(tǒng)，并在backstepping控制保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上引入電流前饋控制［10-11］，與EID估計(jì)器相互配合，以提升系統(tǒng)的抗擾性能，尤其是負(fù)載力矩突變時(shí)的性能，并將仿真結(jié)果與傳統(tǒng)的PID控制結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 永磁同步電機(jī)線性化模型

1.1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機(jī)內(nèi)部存在復(fù)雜的電磁耦合關(guān)系，故假設(shè)電機(jī)磁性線路中鐵芯的磁飽和忽略不計(jì)；電機(jī)中的渦流損耗和磁滯損耗忽略不計(jì)；轉(zhuǎn)子上無(wú)阻尼繞組，轉(zhuǎn)子磁通呈正弦波分布，忽略磁場(chǎng)的高次諧波；定子繞組的空載電勢(shì)為正弦波?；谏鲜黾僭O(shè)，通過(guò)一系列坐標(biāo)變換和計(jì)算［12］，可以得出永磁同步電機(jī)在同步旋轉(zhuǎn)dq坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，其狀態(tài)空間表示如式（1）所示。

式中w為電機(jī)轉(zhuǎn)子電角頻率；np為轉(zhuǎn)子磁極對(duì)數(shù)；“.”為微分算子；Rs為定子電阻；Ls為 d，q軸的等效電感；Ψf為轉(zhuǎn)子磁鏈；Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)債量；Bs為電機(jī)的摩擦系數(shù)。

1.2 精確線性化方法

考慮到等價(jià)輸入干擾估計(jì)算法僅適用于線性系統(tǒng)，所以通過(guò)反饋線性化方法對(duì)電機(jī)模型進(jìn)行線性化。對(duì)于式（1）所示的永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，取其狀態(tài)變量 x＝［idiqw］T，輸入量 u＝［uduq］T，輸出量y＝［idw］T，對(duì)輸出量連續(xù)求微分，直到式子中出現(xiàn)輸入量為止，得到的結(jié)果如式（2）所示。

2 干擾估計(jì)

2.1 估計(jì)原理

式（3）所示的永磁同步電機(jī)的線性化模型與等價(jià)輸入干擾估計(jì)（EID）估計(jì)算法所要求的線性結(jié)構(gòu)具有相同的形式，如式（4）所示，故可以采用EID估計(jì)算法來(lái)進(jìn)行干擾估計(jì)器的設(shè)計(jì)。其主要思想是對(duì)被控對(duì)象受到的擾動(dòng)總和進(jìn)行估計(jì)并等效到輸入端加以補(bǔ)償，通過(guò)控制器調(diào)整輸入量u來(lái)抑制干擾［13］。

式中 x∈Rn為狀態(tài)變量；u∈Rn為輸入量；y∈Rn為輸出量；d∈Rn為外部干擾量；“.”為微分算子；A、B、C、Bd均為常系數(shù)矩陣?；诖斯烙?jì)算法的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示，由被控對(duì)象、狀態(tài)觀測(cè)器、濾波器、反饋增益和控制器組成。

圖1 帶EID估計(jì)器的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Structure block diagram of the control system with the EID estimator

2.2 參數(shù)設(shè)計(jì)

按照?qǐng)D1所示結(jié)構(gòu)，觀測(cè)器增益L，反饋增益Kp、Kr以及濾波器F（s）的設(shè)計(jì)如下。

在設(shè)計(jì)中，為保證穩(wěn)定性，要求矩陣（A-LC）的特征值實(shí)部均為負(fù)且‖F(xiàn)（s）G（s）‖∞＜1，可通過(guò)極點(diǎn)配置的方法得到參數(shù)矩陣L。

設(shè)計(jì)濾波器時(shí)考慮其切換角頻率應(yīng)為干擾最高角頻率的5～10倍，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證一階低通濾波器可以滿足要求，一般取

在設(shè)計(jì)參數(shù) Kp、Kr時(shí)，采用線性二次型調(diào)節(jié)（LQR）最優(yōu)控制方法［14］，令輸入 r＝0，干擾 d＝0，不考慮控制器，得到輸出誤差為xk＝r－y。選取適合的性能指標(biāo)，可以得到如式（6）所示的最優(yōu)控制量。

其中，P為式（7）所示里卡蒂方程的解。

選取合適的參數(shù)Qk、Rk值，通過(guò)計(jì)算可以得到參數(shù)矩陣 Kp、Kr。

3 控制器

使用EID估計(jì)算法時(shí)，估計(jì)器和控制器可以相互獨(dú)立設(shè)計(jì)，因而可以根據(jù)不同控制系統(tǒng)的不同特點(diǎn)和要求采取多種控制方法，為控制器設(shè)計(jì)帶來(lái)很大便捷。本設(shè)計(jì)方案中采用backstepping算法設(shè)計(jì)控制器，保證系統(tǒng)在受到擾動(dòng)時(shí)仍具有良好的穩(wěn)定性，又通過(guò)電流前饋應(yīng)對(duì)負(fù)載力矩的突變，與估計(jì)器共同作用于系統(tǒng)，加快系統(tǒng)響應(yīng)速度的同時(shí)減小負(fù)載突變帶來(lái)的振蕩和其他干擾。backstepping算法的主要思想是將整個(gè)控制系統(tǒng)拆分為幾個(gè)低階子系統(tǒng)，采用李雅普諾夫第二方法，以系統(tǒng)穩(wěn)定性為前提反向遞推構(gòu)造子系統(tǒng)各階的李雅普諾夫函數(shù)和各階之間的虛擬控制量進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)。

對(duì)于本位置伺服系統(tǒng)，采用id＝0矢量控制，并取 x1＝id，x2＝p（p為電機(jī)電角位移），x3＝w，x4＝iq，將整個(gè)系統(tǒng)拆分成一個(gè)包含x1的一階子系統(tǒng)和一個(gè)包含x2、x3、x4的三階子系統(tǒng)，根據(jù)式（3）可以得到：

對(duì)變量x1取誤差變量為e1＝x1－x*1＝id－i*d，選擇李雅普諾夫函數(shù)如式（9）所示：

對(duì)變量x2取位置誤差量，選擇李雅普諾夫函數(shù)如式（11）所示：

對(duì)式（11）求導(dǎo)并將式（8）代入得：

對(duì)式（13）求導(dǎo)并將式（8）代入得：

對(duì)式（15）求導(dǎo)并將式（8）代入得：

C4＞0，則W4負(fù)定，則可由李雅普諾夫穩(wěn)定性定理判定該子系統(tǒng)的各階漸進(jìn)穩(wěn)定，則該子系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

綜上，可以得到控制器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及其輸出V＝［v1v2］T。

4 仿真分析

對(duì)所設(shè)計(jì)的抗擾控制方案建立相應(yīng)的MATLAB模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，將外部干擾轉(zhuǎn)化為干擾量d，初始負(fù)載為0，在仿真時(shí)間t＝0.5 s處加入一個(gè)小幅高斯噪聲作為干擾量，在仿真時(shí)間t＝0.7處以階躍突變的的形式加入一Tl＝10 Nm的負(fù)載力矩，分別觀察輸入位置指令為階躍信號(hào)和正弦波信號(hào)時(shí)的輸出響應(yīng)曲線，并與傳統(tǒng)PID控制進(jìn)行對(duì)比，仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。

圖2 PID控制系統(tǒng)的位置階躍響應(yīng)及局部放大Fig.2 Position stepping response of the PID control system and the partial amplification

圖3 采用抗擾控制策略的系統(tǒng)的位置階躍響應(yīng)及局部放大Fig.3 Position stepping response of system with designed disturbance suppression control method and the partial amplification

圖4 PID控制系統(tǒng)的正弦跟蹤信號(hào)及局部放大Fig.4 Sinusoidal tracking signal of PID control system and the partial amplification

圖5 采用抗擾控制策略的系統(tǒng)的正弦跟蹤信號(hào)及局部放大Fig.5 Sinusoidal tracking signal of system with designed disturbance suppression control method and the partial amplification

圖5中，p*為給定的位置信號(hào)，p為輸出的位置信號(hào)，PID控制系統(tǒng)的位置階躍響應(yīng)超調(diào)為5.9%，調(diào)節(jié)時(shí)間為0.163 s，在加入干擾（即 t＝0.5 s）后無(wú)明顯波動(dòng)，加入負(fù)載（即t＝0.7 s）后出現(xiàn)峰值為0.005 rad的微小尖峰脈沖，隨后立刻恢復(fù)；采用抗擾控制策略的系統(tǒng)的位置階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間為0.117 s，在加入干擾（即 t＝0.5 s）后無(wú)明顯波動(dòng)，加入負(fù)載（即t＝0.7 s）后出現(xiàn)峰值為0.002 rad的微小波動(dòng)，隨后立刻恢復(fù)；對(duì)比可以看出后者具有更快更好的調(diào)節(jié)作用。比較兩系統(tǒng)的正弦信號(hào)跟蹤曲線也可以看出，采用抗擾控制策略的系統(tǒng)的快速跟蹤能力更優(yōu)。

5 結(jié)束語(yǔ)

運(yùn)動(dòng)過(guò)程的穩(wěn)定性對(duì)于位置伺服系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是非常重要的考慮因素，抑制負(fù)載變化等未知的干擾尤為重要。本文所采用的EID估計(jì)算法不要求擾動(dòng)信號(hào)已知，對(duì)系統(tǒng)所受干擾具有很好的估計(jì)和抑制作用，與backstepping控制和電流前饋相互配合，既充分保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又使系統(tǒng)具有了良好的抗干擾性能。所設(shè)計(jì)的抗擾控制策略經(jīng)仿真驗(yàn)證具有良好的控制效果，為永磁同步電機(jī)位置伺服系統(tǒng)的抗擾控制提供了一種可行的方法。