姜學(xué)杰

摘要：拋物線焦點(diǎn)弦問(wèn)題蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想，對(duì)這一問(wèn)題的研究有助于挖掘拋物線的性質(zhì)，也有助于學(xué)生拓展解題思路、掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。

關(guān)鍵詞：拋物線；焦點(diǎn)弦；中點(diǎn)軌跡

二次曲線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)軌跡的求法是平面解析幾何中最常見(jiàn)、最基本的方法之一。對(duì)該問(wèn)題的切入點(diǎn)不同，相應(yīng)的求解方法也不同，而不同的方法又體現(xiàn)著不同的數(shù)學(xué)思想，因而對(duì)這一問(wèn)題的深入研究對(duì)深刻理解二次曲線以及學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法大有大有裨益。本文以拋物線為例來(lái)談這一問(wèn)題。

例 求拋物線y2=2px過(guò)焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡方程。

思路一：常規(guī)解法（線線相交，找交點(diǎn)連線的中點(diǎn)），用韋達(dá)定理

解法一：如圖，PQ是過(guò)焦點(diǎn)F的弦，M是PQ的中點(diǎn)，設(shè)M（x，y），這P（x1，y1），Q（x2，y2）。

設(shè)PQ所在直線的方程為

①

由 得 ，代入①得

，化簡(jiǎn)得

②

由韋達(dá)定理，有

③

代入①并化簡(jiǎn)得

這就是所求的M的軌跡方程。

思路二：用點(diǎn)線從屬關(guān)系和韋達(dá)定理

解法二：P、Q、M、F滿足的關(guān)系式為

由④、⑤求出x1、x2并代入③化簡(jiǎn)得

⑥

④+⑤得

⑦

⑦+⑥×2得

上式即為所求軌跡方程。

解法三：解法二中⑤-④得

代入解法一的①得 。

思路三：定義法

解法四：分別過(guò)P、Q作準(zhǔn)線的垂線PR、QS于R、S，過(guò)F作PQ的垂線FT交準(zhǔn)線于T，連接PT、QT，易知⊿RFS、⊿PTQ都是直角三角形，且FK、FT分別是它們斜邊上的高，所以

│FT│2=│PF│·│QF│，即

解法五：由上圖可知，

即 ，

化簡(jiǎn)得 。

思路四：用四點(diǎn)共線求解

解法六：

將 代入上式并化簡(jiǎn)得 ，endprint