劉永江

(北京市第九中學 100041)

在講完《四邊形》一章之后就想給學生講一個關(guān)于“新定義四邊形”的專題，其中有一道題是北京市09年朝陽區(qū)的中考模擬題，題目如下：

如圖①，將一張直角三角形紙片ABC折疊，使點A與點C重合，這時DE為折痕，△CBE為等腰三角形；再繼續(xù)將紙片沿△CBE的對稱軸EF折疊，這時得到了兩個完全重合的矩形(其中一個是原直角三角形的內(nèi)接矩形，另一個是拼合成的無縫隙、無重疊的矩形)，我們稱這樣兩個矩形為“疊加矩形”.

圖①

圖②

圖③

(1)如圖②，正方形網(wǎng)格中的△ABC能折疊成“疊加矩形”嗎？如果能，請在圖②中畫出折痕；

(2)如圖③，在正方形網(wǎng)格中，以給定的BC為一邊，畫出一個斜三角形ABC，使其頂點A在格點上，且△ABC折成的“疊加矩形”為正方形；

(3)如果一個三角形所折成的“疊加矩形”為正方形，那么它必須滿足的條件是；

(4)如果一個四邊形一定能折成“疊加矩形”，那么它必須滿足的條件是.

在選擇這道題時，感覺是這道題目的設計還是挺有新意的，既有對軸對稱的應用又有對中位線、矩形、正方形的判定，甚至在第四問中還體現(xiàn)了對轉(zhuǎn)化意識的考察.湊巧的是就在進行這個專題講座的前幾天，接到了區(qū)里的通知，要求市骨干教師面向全區(qū)的教師獻一節(jié)課，可能是先入為主的原因吧，思之再三，我決定以這道題為素材來設計一節(jié)公開課.

在認真地做完這道題之后，發(fā)現(xiàn)如果僅滿足于這道題的解答的話，其實該題的難度并不大.首先，圖①中直角三角形的示范非常有利于學生對“重疊矩形”的理解，同時也為問題一的解決提供了模仿的暗示；再者，圖②圖③中的網(wǎng)格也為學生作圖提供了操作上的便利；還有，問題2實際上是對問題1的“一般化”的過程，同時問題2的解決也在為問題3的解決在做鋪墊，換個角度說，問題3實際上是對問題2的一般化的過程.最后，問題4的解決就需要學生具有一定的轉(zhuǎn)化意識，其實直角三角形的示范與問題1的解決已經(jīng)在暗示做題者要有轉(zhuǎn)化的意識，因而學生只要意識到用兩個三角形“造”一個四邊形就不難發(fā)現(xiàn)“對角線垂直”這一規(guī)律了.

通過以上分析，開始有了這樣的感覺：這道題是不是有點“太單薄”了，這怎么能講一節(jié)課呢？于是就“理所當然”地開始了追求數(shù)量的“加厚”階段.第一個改造沖動就是想讓題目變得不那么容易，直接的做法就是拆掉原題中的“腳手架”：第一步是把圖①中的示范改成了問題：

你能把一張直角三角形的紙片折疊成一個雙層的矩形嗎？要求這兩層矩形全等，且其中一層是一個與折疊前圖形內(nèi)接的矩形，另一層是一個拼合后無縫隙、無重疊的矩形.

這種設計首先使得“雙層矩形”的概念變得更加抽象，因而對學生的理解能力提出了更高的要求；另外，我認為把“重疊矩形”的叫法改為“雙層矩形”可能更有利于新問題的敘述，也一定程度上提高了學生動手折紙嘗試的指向性；再者，這種改變把對“轉(zhuǎn)化”的暗示適當?shù)碾[藏起來，但更有助于加深學生對“直角三角形——斜三角形——四邊形”這一轉(zhuǎn)化鏈條的體驗與領(lǐng)悟.也正因此，新問題的解決就成為了本問題得到逐層解決的第一塊多米諾骨牌.拆掉的第二個“腳手架”是把原題中的問題1去掉改造成了如下問題：

直角三角形已經(jīng)可以折成“雙層矩形”，那么斜三角形是否也可以折成“雙層矩形”呢？在圖中畫出你的設計示意圖：

① ②

這種設計使得學生的思考不再局限于只對原題中給定斜三角形的處理，而是促使學生在動手操作的基礎(chǔ)上對更一般的斜三角形進行思考.從另一個角度看這種處理實際上也使得整個問題的轉(zhuǎn)化鏈條更加清晰.

拆掉的第三個“腳手架”就是去掉了原題的第2問，而是把第2、3問合并改造成了一個新問題：

如果要求點A必須要折到線段BC上，那么當“雙層矩形”為正方形時，符合要求的三角形ABC的頂點A的軌跡是什么？請在圖中畫出來.

這種設計首先使得原問題中的第2、3問都成為了新問題的一部分，這樣就使得學生的思考容量得到了增強；其次，對A點軌跡的追問又使得學生的思維深度得到了進一步的深化.

除了拆掉“腳手架”使問題變得不再“弱不禁思”，我還采取了另外一種“加厚”的措施——引導學生揭示現(xiàn)象后的數(shù)學本質(zhì).產(chǎn)生這一想法的原因可能是基于自己平時比較關(guān)注對學生思維能力的培養(yǎng)的習慣，同時，本題中更利于模仿的呈現(xiàn)方式和近乎明確的“轉(zhuǎn)化”暗示的確對培養(yǎng)學生思維能力稍顯力道不足.鑒于以上兩點思考，在新設計的三個問題和原題中保留下來的問題4中都增加了這樣環(huán)環(huán)相扣的三個問題：“你是怎樣折的？你這樣折的合理性是什么？你是怎樣想到這種設計方案的？”這三個刨根問底的問題對于學生對軸對稱性質(zhì)的深刻理解和對中位線以及特殊平行四邊形的判定方法的靈活運用都將起到很好的促進作用.

在做了以上的“加厚”工作后，感覺題目好像更值得玩味了，但是，如果一節(jié)課只講這一道題又感覺還是不夠厚重，關(guān)鍵是還有一個很重要的問題：這節(jié)課的教學意圖是什么？難道只是一節(jié)習題課？能不能站位更高些？除了對數(shù)學知識的刨根問底，這節(jié)課還能在方法與思想上給學生點兒什么啟示？其實說白了就一件事：這節(jié)課的魂在什么地方？你拿什么去打動別人？

在這個問題上，我?guī)缀跸萑肓艘环N焦慮的狀態(tài)，從哪兒尋找突破呢？思來想去，注意力突然集中在了“折疊”這個詞上，能不能設計一節(jié)與折紙相關(guān)的課呢？如果把“雙層矩形”的折疊問題不是停留在“想”方案的層面上而是還原成真實的折紙操作，這樣的話不僅可以豐富學生的感性體驗從而促進學生的理性思考，而且還可以還原數(shù)學問題的生活背景加深學生對“數(shù)學源于生活”的理解；從另外一個角度講，動手能力又的確是學生比較薄弱的地方，作為教師的我們有責任為學生創(chuàng)造體驗“現(xiàn)實的數(shù)學”的機會，而不應該僅讓學生去做那些“提純”后的干巴巴的數(shù)學題.順著這樣的思路，能不能在折紙方面再補充一些素材呢？事實上，關(guān)于折紙的數(shù)學題還是很容易找到的，但又不甘心于把這節(jié)課設計成一節(jié)折紙專題的習題課，在這里也是最讓人費心思的地方.后來，我又回到對原問題的審視上來，想到自己改造這道題的一個初衷就是要揭示折雙層矩形背后的數(shù)學原理，而這道題中涉及到的“軸對稱性質(zhì)”的應用顯然對所有折紙問題都具有普適性，由此一來，“軸對稱”不就可以起到串聯(lián)所有折紙問題主線的作用？再者，在論證“雙層矩形”的合理性時，又涉及到了中位線、矩形、正方形的判定等與《四邊形》相關(guān)的知識點.這兩個特點一下子激發(fā)了我的想象——以折紙活動為依托，把《四邊形》一章的復習合理地融入到對折紙結(jié)果的剖析中去，從而改變以前為了復習而復習的“知識歸納+習題訓練”的章節(jié)復習模式.至此，好像找到了點兒感覺，這節(jié)課最起碼有了一個明確的教學意圖和設計的亮點.但是，如果一節(jié)課僅僅以知識的復習為立意還是顯得難有魅力可言，于是又順著由下位到上位的順序開始思考在這節(jié)課中應該滲透什么樣的數(shù)學方法與思想.順著這個路子，原題中濃厚的轉(zhuǎn)化暗示一下子讓人明確：清晰地在本課中滲透轉(zhuǎn)化的意識不正好和自己一直向?qū)W生推銷的兩個轉(zhuǎn)化——陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的；復雜的轉(zhuǎn)化為簡單的不謀而合了嗎？

從以上兩個方面看，本節(jié)課似乎又增添了一點兒“靈氣”， 但是僅憑一道題就完成《四邊形》一章的復習使人感覺又有點單薄，最起碼還缺少菱形和梯形的知識的呈現(xiàn)(其實，在思考到這一階段時還沒有意識到折疊雙層矩形的過程實際上是可以包容到所有特殊四邊形的知識的).到哪里去找菱形呢？這時候就在不久前講過的一道課本上的習題映入了我的腦海，原題是這樣的：

如圖，把一張矩形紙片沿著對角線折疊，重合部分是什么形狀？試說明理由.

這個圖中的等腰三角形EAC不恰恰可以生成一個菱形嗎?于是也把這道題還原成了一個真實的折紙活動，為了培養(yǎng)學生的作圖能力特意加入了畫折疊示意圖的環(huán)節(jié)；另外，為了加強學生的思維深度，又增加了找菱形的創(chuàng)造環(huán)節(jié)，題目改造如下：

1.請大家把A4紙沿著一條對角線折疊，然后在右圖中畫出折疊后的示意圖.

2.在折疊后的示意圖中隱藏著一個菱形，你能找到它嗎？請說明你的理由.

需要說明的是，在設計這一環(huán)節(jié)時，還沒有設計出本節(jié)課的導入環(huán)節(jié)——折紙飛機的問題，從事后看，本環(huán)節(jié)的設計實際上是對折紙飛機環(huán)節(jié)的一種深化的過程，它不僅要求學生進行折紙操作和畫示意圖，而且把找菱形的過程變成了一個由隱到現(xiàn)的逐層探究的認知過程，相對于導入環(huán)節(jié)的畫完示意圖的“看圖說話”顯得就更有深意.

到這里，應該說知識體系的建立已經(jīng)比較完整，但還是感覺如果僅以找菱形作為本節(jié)課的初始環(huán)節(jié)稍顯突兀和不夠生動，于是又把注意力轉(zhuǎn)移到對導入環(huán)節(jié)的設計上來.我理解的導入應該有兩個作用，一是為整節(jié)課的展開做鋪墊，二是能夠盡快的幫助學生進入學習的狀態(tài).因而應該設計一個活動最好，當然這個活動應該與后面的教學環(huán)節(jié)一脈相承——都是折紙活動.什么折紙活動離學生的生活經(jīng)驗最近呢？我想到了自己小時候常玩的折紙飛機的游戲，說實話自己還從來沒有從數(shù)學的角度來審視過它，于是我拿了一張A4紙折了一架紙飛機，一邊折一邊尋找在折紙過程中可能出現(xiàn)的圖案的形狀，整個過程下來令人驚喜地發(fā)現(xiàn)：原來一個簡簡單單的折紙飛機的過程竟然包括了除菱形之外的所有特殊四邊形，這個結(jié)果讓人興奮不已.折紙飛機的游戲很多學生都會(當然折紙飛機的方法有很多，這就要求老師在課堂上及時引導發(fā)現(xiàn)適合授課意圖的折法)，即便個別的同學不熟悉，也可以在別人的帶動下進行操作，說不定會更感興趣.這一活動的設計不僅可以為本節(jié)課對《四邊形》一章的復習做好鋪墊，活動中的趣味性也顯然有利于克服下午第一節(jié)課學生普遍狀態(tài)不佳的問題，可謂一舉兩得.導入環(huán)節(jié)的設計如下：

1.請你用A4紙折一架紙飛機，然后在圖中畫出前兩步的設計圖案.折疊示意圖的作圖要求：看得見的線畫實的，被遮住的線畫虛的，折疊后原來的位置畫虛線，展開后的折痕畫虛線.請在下圖中畫出前兩步的示意圖：

2.在第二步的折疊示意圖中你能發(fā)現(xiàn)哪些特殊四邊形？

3.你覺得四邊形FBHG是正方形的理由是什么？

需要說明的是，學生在折紙飛機的操作上問題不大，但根據(jù)經(jīng)驗，他們在畫折疊圖形的示意圖上肯定功力還不夠(事實證明學生的確存在操作過關(guān)但畫示意圖困難的現(xiàn)象，甚至在第三個問題中出現(xiàn)了能直觀感知圖形形狀卻無法說清個中緣由的現(xiàn)象.)因而特意明確了作圖的四點要求，這實際上也為后面幾個作圖環(huán)節(jié)打下了基礎(chǔ).從另外一個角度看，把實際操作轉(zhuǎn)化為平面圖形的過程本身也能夠很好地考查學生對軸對稱的理解程度.

至此，這節(jié)課終于可以稱之為一節(jié)比較完整的設計了，我也有了松了一口氣的感覺.按照常理，下面就應該是精雕細刻的磨課階段了，而也正是因為對設計素材的再度審視才讓我經(jīng)歷了此次教學設計中的最震撼的階段：

震撼一：關(guān)于三角形ABC中A點的軌跡問題，原以為應該是兩條與BC平行的直線，但事實上卻應該是兩條與BC平行且長度相等的線段.原因如下：根據(jù)轉(zhuǎn)化的觀念，從銳角三角形的三個頂點都可以向?qū)呑鞲邚亩鴮⑷切畏指畛蓛蓚€一邊共線的直角三角形，從而實現(xiàn)“雙層矩形”的折疊，但是，鈍角三角形只能從鈍角的頂點作對邊的高線才可以把三角形分割成兩個一邊共線的直角三角形，從而實現(xiàn)“雙層矩形”的折疊，這是因為我們規(guī)定的雙層矩形必須有一層是原圖形的內(nèi)接矩形，而鈍角三角形的內(nèi)接矩形只能有一種作法，所以滿足條件的三角形的∠ABC和∠ACB都不能是鈍角，這就導致A點的軌跡只能是兩條到BC距離與BC等長且長度也與BC相同的兩條線段(如下圖A).由此看來對于一個自己改編出來的問題，采取審慎的態(tài)度是多么重要，事實上，正是因為在磨課階段真的拿各種形狀的三角形紙片進行了折紙的操作，才發(fā)現(xiàn)：如果不嚴格要求雙層矩形有一層與原圖形內(nèi)接的話，其實鈍角三角形也可以象銳角三角形一樣有三種折疊的方案，有興趣的讀者可以自己試一試.

圖A

圖B

震撼二： 問題4中關(guān)于折成雙層矩形的四邊形滿足的條件原題中給出的標準答案是“對角線垂直的四邊形”，這個答案如果從轉(zhuǎn)化的角度看，只要把兩個等底的三角形拼在一起就可以了(當然，鈍角三角形需要把最長的邊對接)，從這個角度看，答案好像沒什么問題，最初的時候也沒有對這個答案進行質(zhì)疑，但就在磨課的階段，嘗試著問自己：還有沒有別的符合條件的四邊形呢？這種追問促使我開始了對符合條件的其他四邊形的探索，按照由特殊到一般的常規(guī)思路，首先對特殊的四邊形進行了驗證，菱形和正方形肯定沒問題，因為它們都滿足對角線垂直的條件，接下來對矩形進行了驗證，不難發(fā)現(xiàn)矩形是可以折成雙層矩形的，但長寬比不為一的矩形的對角線是不垂直的呀？正因為出現(xiàn)了這種情況，我開始對標準答案產(chǎn)生了懷疑，于是把考查轉(zhuǎn)向更一般的平行四邊形和梯形.剛開始的時候由于受內(nèi)接矩形條件的限制，沒有很快解決除矩形和菱形之外的平行四邊形的折雙層矩形的問題，但很快通過對等腰梯形的驗證找到了更一般梯形的折疊辦法——把梯形分割成兩個直角三角形和一個矩形(但下底上的角為鈍角時是無法用這種方法解決的).綜合矩形和梯形的研究結(jié)果，感覺一組對邊平行的四邊形應該也可以折成雙層矩形，但是在沒有解決平行四邊形的折疊問題的情況下，這個猜想還不能下定論.在如何破解平行四邊形的折疊問題上一度陷入了困境，在不斷的觀察自己畫出的折疊完的雙層矩形的示意圖時，突然意識到能不能先設計出一個折疊后的雙層矩形，然后再采取逆向倒推的方式還原出原來的圖形呢？例如：三角形的折疊問題就可以象右圖那樣產(chǎn)生折疊方案(如上圖B).

當然，采取逆向思維的方式推導原圖形的辦法最關(guān)鍵的問題是要明白兩個問題：首先，必須明確選擇哪幾條邊作翻折時的對稱軸，這也意味著同一個折疊后的雙層矩形與其對應的原圖形可能并不唯一；其次，必須明白上圖中A、F、C以及A、E、B三點共線的道理.

按照以上的思路設計了一個這樣的折疊后的雙層矩形，如圖所示.在選擇不同的對稱軸后，還原成了截然不同的兩個圖形——平行四邊形和梯形.

事實上，由于我們界定了雙層矩形必須有一層內(nèi)接于原圖形，因而折疊后的重合點只能落在矩形的內(nèi)部或邊框上，這就為我們逆向探究提供了構(gòu)造的依據(jù)，而不論重合點落在哪兒，矩形的四個邊都有可能成為對稱軸——折痕.基于以上的道理，又嘗試著設計出了梯形的更一般的情況,如下圖.這樣，下底上的角為鈍角的梯形也就可以解決折疊的問題了.事實證明“有一組對邊平行”的四邊形的確也是可以折成雙層矩形的.

看來，原題中“對角線垂直”的答案顯然是被“轉(zhuǎn)化”的暗示捆住了手腳，限制了思維，而逆向思考的方式則打破了這種局限，使得思維更加開放，從而更富有創(chuàng)意，這顯然是對轉(zhuǎn)化的意識的一種補充，鑒于這種逆向思維的重要性，我又調(diào)整了原有的教學設計，在原來知識復習與滲透轉(zhuǎn)化意識的基礎(chǔ)上加入了滲透逆向思維的教學目標，這就使得在數(shù)學方法與思想層面上正面轉(zhuǎn)化與逆向思維互為補充、相得益彰.結(jié)合這兩種研究方法再研究下去，便可以很自然地得到能折成雙層矩形的五邊形和六邊形.我把這個問題設計成了課后的思考題；另外，在三角形中折雙層矩形的過程實際上也是證明三角形內(nèi)角和定理的過程，由此設計了另一道課后思考題.再者，由于后來“有一組對邊平行的四邊形的”的發(fā)現(xiàn)讓我意識到課堂的容量有些太多，于是又把探尋A點軌跡的問題調(diào)整成為了課后思考題.最后，自己把給本課起名字的任務也交給了學生，希望起名字的過程能夠成為他們總結(jié)這節(jié)課的過程.于是形成了本節(jié)課的課后思考題：

(1)請根據(jù)本課的內(nèi)容為本課起個名字：.

(2)回顧一下把三角形紙片折成“雙層矩形”的過程，其實，在這一過程我們無意間證明了一個非常重要的幾何定理，你能猜出是什么定理嗎？

(3)如果雙層矩形不要求必須“內(nèi)接”，那么鈍角三角形有幾種方案可以折成“雙層矩形”呢？

(4)如果要求點A必須要折到線段BC上，那么當“雙層矩形”為正方形時，符合要求的三角形ABC的頂點A的軌跡是什么？

(5)你能構(gòu)造出一個能折成“雙層矩形”的五邊形和六邊形嗎？

至此，這節(jié)公開課的教學設計終于得以成形，一節(jié)公開課的呈現(xiàn)其實也就是45分鐘的事情，但這背后的百味陳雜卻只有授課者本人才清楚,然而，也正是這種不斷的否定、改進、修正、完善的磨課經(jīng)歷才恰恰是公開課能夠留給我們的最寶貴的財富！的確，磨課的過程有時真得讓人苦不堪言，但每一點改進和突破卻同樣讓我驚喜莫狀，感謝磨課！感謝充實并快樂著的美好！