袁利江

(浙江省嵊州市教育體育局教研室 312400)

在一些數學問題中，雖然涉及到許多量，但其中有幾個量是可以獨立取值的，而其他量則是這些量的函數．我們把任意一組可以獨立取值的量作為基本量，從而數學問題就演變?yōu)閮H僅研究這些基本量之間的關系了．我們提出的“基本量思想”，其操作模式的思維方式是通過減少未知量個數，以求獲得問題的解的過程．它是從問題組成的若干個量出發(fā)有針對性的研究數學對象的一種思維方法．

基本原理

若m(m∈N*)個變量滿足n(n∈N*，n

這種操作思想，具有模式化的效用，采用的方法是逐步消元，能起到化難為易、化繁為簡的作用．至于選哪m-n個量作為選定的基本量，可視具體問題的研究方便而定．

1 單個基本量問題

1．1 運用于求值

例1(浙江省2016學年第一學期9+1高中聯(lián)盟高三年級期中考，第8題)

已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c(a，b，c均為非零整數)，且f(a)=a3，f(b)=b3，a≠b，則c=

A．16 B．8 C．4 D．1

例2(2016年北京大學博雅計劃自主招生考試數學試題第5題)

若方程x2-3x-1=0的根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，則a+b-2c的值為( )

A．-13 B．-9

C．-5 D．前三個答案都不對

解析1設方程x2-3x-1=0的兩根為x1，x2∈R，方程x4+ax2+bx+c=0的另外兩個實根為x3，x4∈R，由根與系數的關系式得：x1，x2，x3，x4滿足x1+x2=3，x1x2=-1，以及

解法2設x4+ax2+bx+c=(x2-3x-1)·(x2+mx+n)，其中m，n∈R．于是x4+ax2+bx+c=x4+(m-3)x3+(n-3m-1)x2-(m+3n)x-n，

上述方程組共涉及5個量a，b，c，m，n，滿足4個方程，從而有1個基本量，不妨選n，則a=n-10，b=-3-3n，c=-n．從而a+b-2c=-13．

點評上述解法1中，變量x1，x2，x3，x4的引入是立足于方程的實根；解法2中，則是利用了已知兩方程之間的實根之間聯(lián)系，而引入兩個新的變量m，n．不難看出，由于變量的選擇(引入)不同，使得問題解決的方式和效果也顯然不同．有時為了問題達到數學化表述的需要，需要引入必要的變量，從而使得問題產生了不同的基本量選擇，這也是產生“一題多解”的重要原因之一．但至少可以肯定的是，有基本量思想的指引，一定會在正確的解題線路上，即目標意識不會缺失，只是能走多遠的問題罷了．

1．2 運用于確定最值或范圍

例3在等比數列{an}中，已知(a1+a4)-(a2+a3)=3，若an+1>an，求a6-a5的最小值．

所以

解法2因為(a1+a4)-(a2+a3)=3等價于(a4-a3)-(a2-a1)=3，而數列{an+1-an}是等比數列，公比也為q，故a2-a1可以看作一個獨立的量．

點評從上述解法中我們不難發(fā)現(xiàn)，單個基本量思想運用于代數式范圍或最值的確定，與函數思想有“異曲同工”之功效，其基本原理是相通的．

1．3 運用于解決實際問題

例4(高考題)如圖是某汽車維修公司的維修點環(huán)形分布圖，公司在年初分配給A、B、C、D四個維修點某種配件各50件，在使用前發(fā)現(xiàn)需將A、B、C、D四個維修點的這批配件分別調整為40、45、54、61件，但調整只能在相鄰維修點之間進行，那么要完成上述調整，最少的調動件次(n件配件從一個維修點調整到相鄰維修點的調動件次為n)為( )

A．18 B．17 C．16 D．15

解析設A→B件數為x1(x1<0時，為B→A，以下同)，B→C為x2件，C→D為x3件，D→A為x4件，則

解得x2=x1+5，x3=x1+1，x4=x1-10．

故調動總件數為|x1|+|x1+5|+|x1+1|+|x1-10|．

f(x1)=(|x1|+|-1-x1|)+(|x1+5|+|10-x1|)≥|x1-1-x1|+|x1+5+10-x1|=16．

當且僅當-1≤x1≤0時等號取到，故x1=0或x1=-1．

從而，有兩種調動方案．

(1)x1=0時，方案如下：

由x1=0，x2=5，x3=1，x4=-10得

調動件次為：0+5+1+|-10|=16．

(2)x1=-1時，方案如下：

從表7可以看出，錫石多金屬硫化礦主要礦石礦物的吸波能力存在顯著差異，其中，脆硫銻鉛礦的吸波能力最強，其次是黃鐵礦，再次是錫石，閃鋅礦和脈石礦物的吸波能力最差。因此，錫石多金屬硫化礦主要礦石礦物的吸波能力差異奠定了錫石多金屬硫化礦的微波選擇性加熱的基礎。

由x1=-1，x2=4，x3=0，x4=-11得

調動件次為： |-1|+4+0+|-11|=16．

點評本題是一個實際問題，為了數學化，我們引進了4個變量x1，x2，x3，x4，并用這些變量將問題中的數量關系符號化，由此便得到題中的4個方程，實則3個獨立性方程，從而產生1個基本量．本解法，從理論上嚴格論證了調動件次最少的兩種方案．

2 兩個基本量問題

2．1 運用于求解最值或范圍

例5(2016年中國奧林匹克希望聯(lián)盟夏令營試題)

已知函數f(x)=x4+ax3+bx2+ax+1(a，b∈R)至少有一個零點．求a2-b的最小值．

即x0=1，a=-1，b=0，或x0=-1，a=1，b=0時，a2-b取到最小值1．

點評當基本量個數有2個時，在基本量思想的操作下，目標式被轉化為二元多項式，為得到最后的解，需要對目標式進行逐個消元(即基本量)處理方能得到最后的值．本題是采用配方法達到逐個消元的目的．

例6(2017年浙江高考數學調測試卷第17題)

已知函數f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)在區(qū)間(0，1)內有兩個零點，求3a+b的取值范圍．

于是3a+b=-3(x1+x2)+x1x2=(3-x1)·(3-x2)-9．

因為x1，x2∈(0，1)，所以3-x1∈(2，3)，3-x2∈(2，3)，

于是(3-x1)(3-x2)∈(4，9)，

故3a+b=(3-x1)(3-x2)-9∈(-5，0)．

點評本例中，我們引進x1，x2與題中a，b共產生4個變量，根據條件共建立2個方程，從而有2個基本量．由于目標式是關于a，b的多項式，所以選擇x1，x2作為基本量較為妥當．值得一提的是，本題中的條件也可以等價轉換為

然后利用線性規(guī)劃的有關知識求解．

2．2 運用于證明恒等式

分析條件方程共涉及3個量α，β，γ，滿足1個方程，有2個基本量，顯然選α，β為基本量后，由已知解出cos2γ較為簡單，然后代入求證式的右邊，再化簡可得左邊，從而等式成立．

點評對于條件等式的證明，往往有多種思路，有一定的難度．用基本量思想，只需將cos2γ用α，β的三角式表示后，代入目標式中化簡即可，這樣就把條件等式問題簡化為絕對等式問題了．

3 多個(超過2個)基本量問題3．1 運用于求最值或范圍

例8已知a，b，c，x，y滿足ax+by+2c=0，c≠0，ab-c2≥0，求xy的最大值．

解析1此題滿足2個數量關系式a+by+2c=0與ab-c2≥0，共涉及5個量，可以認定為3個基本量，可取為x，b，c．

點評求解多個基本量問題，一般采用逐步調整消元法．此題條件中共有2個數量關系(1個等式，1個不等式)，出現(xiàn)5個變量，故有3個基本量．不等關系的介入，使得問題相對于等量關系更為復雜，變量之間相互表示也變得困難，尤其是單項式的次數是2次(甚至超過2次)時，變量之間的關系就變得更加緊密而難以分離，這在某種程度上使得部分基本量的選擇失去了其該有的靈活性．也就是說，方程變?yōu)橄鄳牟坏仁?，會隨著單項式次數的升高，使得基本量難以表示所有的非基本量，加上條件關系式又少，從而使得問題變得更為抽象復雜，而難以解決．本題中，我們利用方程解出y代入目標式，可以達到消元的目標，但不等式關系卻難以實現(xiàn)單個參變量的代換，因為變量a，b符號的不確定性使不等式不能直接除以a或b予以實現(xiàn)，如本題兩種解法中，目標式xy均是關于a，b，c，x的多項式，基本量雖是3個，但變量卻留下了4個．所以，在解析1中，我們是對條件不等關系先進行變形，把變量a，b與b，c先整合在一起，然后整體代入，再通過逐步放縮消元得到目標式的最大值；而解析2中，我們則先利用基本量思想消去y，然后通過配方消去變量x，再利用條件不等關系ab-c2≥0放縮求得目標式的最值．

基于基本量思想的運用原理，條件等式一般是在問題求解之初使用，但在多個基本量問題中的運用，則不能循規(guī)蹈矩，需要隨具體情況而論，或整合參變量，或滯后代入．

3．2 運用于確定數組個數

例9(中等數學2016年第7期第40頁，數學奧林匹克高中訓練題(205)第8題)

結合yz≥1，從而正整數y，z須滿足y=z=1．

上述1個方程涉及3個量，有2個基本量，不妨選a，b．

若b≥2，則a≥b≥2，結合a≥c有

2a+b+4c+10≤7a+10≤7a+5a=12a<8ab≤8abc，矛盾；

綜上所述，滿足條件的六元數組(a，b，c，x，y，z)的個數為0．

4 感悟

數學中的思想，它可以是一種解題的方法，但又高于方法．因為數學思想是蘊涵在數學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括．數學知識的教學應注重背后數學思想方法的提煉與應用，重視數學思想方法的教學是數學教學者必須遵守的重要原則．當然，數學思想與數學方法也不能混為一談．數學思想可以認為是基于思維活動概括總結得到的處理數學問題的一種基本觀點，是數學策略的一種，而數學方法是指人們?yōu)榱诉_到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式．它們之間的本質區(qū)別，其實就在于是否有數學思維活動的介入．

本文中提到的基本量思想，它可以理解為操作層面的一種解題方法，但其解題思維具有一定的普遍性，所以筆者稱之為“思想”．“數學知識好比是人的肌肉，數學思想方法好比是人的血液，沒有血液的流動，肌肉則是僵的”．借用章建躍博士的話來形容，就是道與術的關系，“道”即“思想”．我們要數學解題教學需要追求的，便是教學中的“道”！