文︳長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)濱江小學(xué)數(shù)學(xué)組 瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

“分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題”教學(xué)研究報(bào)告

文︳長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)濱江小學(xué)數(shù)學(xué)組 瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

一、問(wèn)題

“分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題”是人教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)中的教學(xué)內(nèi)容。它是在學(xué)生掌握了分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算、解決問(wèn)題和分?jǐn)?shù)除法計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，是小學(xué)階段解決問(wèn)題中的一大難題。

從教材編排上看，這一類問(wèn)題是“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾是多少”的稍復(fù)雜分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題的延伸。教師在教學(xué)這一類問(wèn)題時(shí)，會(huì)訓(xùn)練學(xué)生按如下步驟進(jìn)行解題：一找關(guān)鍵句，通常是找含有分率的句子；二定單位 1，“的”前“比”（是）后的量為單位1；三列算式，單位1已知用乘法，單位1未知用除法，多則加、少則減，然后進(jìn)行訓(xùn)練。

按照這種方法，學(xué)生似乎只需機(jī)械地記憶并套用公式，但在練習(xí)時(shí)卻頻繁出錯(cuò)。這種情況一直困擾著眾多教師。學(xué)生為什么練習(xí)中會(huì)頻繁出錯(cuò)？我們?cè)撊绾螏椭鷮W(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題，切實(shí)提高學(xué)生解決此類問(wèn)題的能力？為此，我們數(shù)學(xué)組進(jìn)行了思考和實(shí)踐。

1.教學(xué)實(shí)踐中的問(wèn)題

為了切實(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，以及練習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題，我們隨機(jī)抽取了90名六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了教學(xué)前測(cè)。前測(cè)要求是只寫出數(shù)量關(guān)系式，測(cè)試題目和結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

（2）磁懸浮列車的運(yùn)行速度可達(dá)到430千米/時(shí)，普通列車比它慢，普通列車的速度是多少？

（3）有一組互相咬合的齒輪，小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)400周，大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)的周數(shù)比小齒輪少，大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)多少周？

（4）有一組互相咬合的齒輪，大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)80周，比小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)的周數(shù)少，小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)多少周？

題號(hào) 正確率 錯(cuò)誤率找錯(cuò)單位1 審題不清或書寫錯(cuò)誤（1） 84.4% 6.7% 8.9%（2） 82.2% 10% 7.8%（3） 80% 8.9% 11.1%（4） 60% 26.7% 13.3%

從前測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)來(lái)看，學(xué)生未學(xué)習(xí)這一內(nèi)容，在寫“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾是多少”的關(guān)系式時(shí)，正確率在80%左右，而在寫“已知比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)”的關(guān)系式時(shí)，正確率下降到60%。通過(guò)對(duì)學(xué)生的前測(cè)結(jié)果進(jìn)行分析，結(jié)合對(duì)教師的調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)在教與學(xué)中主要存在以下問(wèn)題。

（1）前面的學(xué)習(xí)中沒(méi)有與“比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾”這類數(shù)量關(guān)系相匹配的題型，也就是說(shuō)這一內(nèi)容與學(xué)生之前的學(xué)習(xí)出現(xiàn)了斷層。學(xué)生沒(méi)有可供借鑒的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，出錯(cuò)也就在所難免。

（2）教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法時(shí)直接列式計(jì)算，不要求寫關(guān)系式。很多老師在教學(xué)第一單元分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題時(shí)，訓(xùn)練學(xué)生審題后直接列式計(jì)算。由于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生整體掌握得較好。但是，一旦接觸分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題后，尤其是遇到分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題的對(duì)比練習(xí)時(shí)，學(xué)生難以根據(jù)數(shù)量關(guān)系式找出它們的聯(lián)系與區(qū)別，容易將兩類題混淆，導(dǎo)致出錯(cuò)。

（3）審題不清，錯(cuò)誤地轉(zhuǎn)換單位1。比如：王軍體重50千克，王軍的體重比李明輕，李明有多重？不少學(xué)生會(huì)將“王軍的體重比李 輕”理解為“李明的體重比王軍重”。究其原因，主要有兩點(diǎn)。一是“王軍的體重比李明輕”這句話的意思高度濃縮，學(xué)生難以理解。其實(shí)，這句話的完整表達(dá)是“王軍的體重比李明輕了李明體重的”，單位1是李明，關(guān)系式為：李明的體重-李明的體重×=王軍的體重。二是整數(shù)解決問(wèn)題方法負(fù)遷移的影響。因?yàn)樵诮鉀Q整數(shù)的應(yīng)用題時(shí)，王軍的體重比李明輕20千克，等同于李明的體重比王軍重20千克，即王軍的體重=李明的體重-20，或者李明的體重=王軍的體重+20，用加減法即可解決。受整數(shù)解決問(wèn)題方法的影響，碰到“王軍的體重比李明輕”時(shí)，學(xué)生便會(huì)錯(cuò)誤地將它等同于“李明的體重比王軍重”。正是這一轉(zhuǎn)化過(guò)程中單位1被錯(cuò)誤地轉(zhuǎn)換導(dǎo)致出錯(cuò)。

2.教學(xué)對(duì)策

（1）注重對(duì)學(xué)生審題、寫數(shù)量關(guān)系式的訓(xùn)練。審題是學(xué)生明確題目要求、理清各要素之間關(guān)系的重要步驟。在教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生審題、練習(xí)寫數(shù)量關(guān)系式，包括求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少以及求比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾是多少這兩類數(shù)量關(guān)系式。我們認(rèn)為，注重對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系式，是解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題的關(guān)鍵。比如，

（2）將分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題作為對(duì)比練習(xí)。教學(xué)時(shí)，可以把分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題與分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，理清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，讓學(xué)生在比較的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，數(shù)量關(guān)系式只與關(guān)鍵句有關(guān)。不管單位1是已知還是未知，我們都可以用乘法數(shù)量關(guān)系式解決這些問(wèn)題。求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少以及求比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾是多少這兩種題背后的解題策略是一致的。

按照以上思路，我們進(jìn)行了如下的教學(xué)嘗試。

二、實(shí)踐

1.復(fù)習(xí)引入，解決求比一個(gè)數(shù)少幾分之幾是多少的實(shí)際問(wèn)題。

師：已知爸爸的體重是75千克，你知道小明的體重是多少千克嗎？為什么？

生1：不知道，因?yàn)樯倭艘粭l信息，不知道爸爸的體重和小明的體重之間的關(guān)系。

生1：爸爸重些，小明輕些。

生2：小明比爸爸輕。

師：如果這樣表示爸爸的體重，小明的體重可以怎樣在圖上表示呢？（學(xué)生上臺(tái)畫圖，如下圖所示）

師：那怎樣把小明的體重和爸爸的體重之間的關(guān)系表示出來(lái)呢？

生3：爸爸的體重×（1-）=小明的體重。

師：還有不同的想法嗎？

生4：爸爸的體重-爸爸的體重×小明的體重。

師：這就是爸爸的體重和小明的體重之間的關(guān)系，我們把這種關(guān)系式叫做數(shù)量關(guān)系式。你能根據(jù)數(shù)量關(guān)系式求出小明的體重嗎？（生練習(xí)）

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)你是怎么做的？

生5：把爸爸的體重?fù)Q成75，得：75-75×=35（千克）。

師：用這種方法做的同學(xué)請(qǐng)舉手。有沒(méi)有同學(xué)是根據(jù)另一種關(guān)系式做的？

生6：把爸爸的體重?fù)Q成75，得 75×（1-1=35（千克）。

師：看來(lái)數(shù)量關(guān)系式很重要，它是解決這類問(wèn)題的突破口。

設(shè)計(jì)意圖：課伊始，老師故意隱藏關(guān)鍵句，讓學(xué)生體會(huì)到這個(gè)信息的重要性。接著根據(jù)關(guān)鍵句寫數(shù)量關(guān)系式，再讓學(xué)生匯報(bào)如何根據(jù)關(guān)系式列算式。最后小結(jié)數(shù)量關(guān)系式的重要性，為下一環(huán)節(jié)的教學(xué)埋下伏筆。

2.新授。

師：跟剛才的圖相比，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生7：比爸爸輕沒(méi)有變?，F(xiàn)在知道小明的體重是35千克，要求爸爸的體重是多少千克。

師：你能把這道題的數(shù)量關(guān)系式也寫出來(lái)嗎？（生寫，師巡視）有的同學(xué)是這樣寫的：小明的體重×（1-）=爸爸的體重。你是怎么想的？

生8：把小明的體重看作單位1，得：小明的體重×（1-=爸爸的體重。

師：你們同意他的想法嗎？（不同意）誰(shuí)來(lái)擺一擺？你可以用適當(dāng)?shù)臄?shù)字、適當(dāng)?shù)姆?hào)把這個(gè)關(guān)系式擺出來(lái)。

生9：爸爸的體重×（1-=小明的體重。

生10：小明的體重÷（1-）=爸爸的體重。

師：你們同意嗎？（同意）但是仔細(xì)觀察，這兩種擺法本質(zhì)上是相同的。還有不同的擺法嗎？

生11：爸爸的體重×=小明的體重。

師：大家看看，他這個(gè)數(shù)量關(guān)系式對(duì)不對(duì)？（不對(duì)）他求的是什么？

生12：他求的是比爸爸輕的那部分體重。

師：誰(shuí)能幫他改一改？

生13：爸爸的體重-爸爸的體重×=小明的體重。

師：數(shù)量關(guān)系式整理好了，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：跟前面題的數(shù)量關(guān)系式是一樣的！

師：也就說(shuō)明它們的數(shù)量關(guān)系沒(méi)有改變?，F(xiàn)在請(qǐng)你們根據(jù)這個(gè)數(shù)量關(guān)系式列出算式并計(jì)算。（生練習(xí)后匯報(bào)）

師：你是怎么列出算式的？為什么？

生14：因?yàn)榘职值捏w重不知道，我把爸爸的體重設(shè)為x千克。我的算式是x-x=35。

師：如何在圖上體現(xiàn)？（生在黑板上對(duì)線段圖進(jìn)行調(diào)整，如圖所示）

師：如何體現(xiàn)到數(shù)量關(guān)系式當(dāng)中呢？

生15：x-x×=小明的體重。

師：也就是說(shuō)我們要把相應(yīng)的量替換出來(lái)。剛才爸爸的體重是75千克，我們就換成75?，F(xiàn)在爸爸的體重不知道，我們就用x代替。這樣就根據(jù)數(shù)量關(guān)系式列出了方程，只要解出方程就順利解答出問(wèn)題了。看來(lái)用數(shù)量關(guān)系式可以有效地解決這類問(wèn)題。細(xì)心的同學(xué)有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，之前的練習(xí)和現(xiàn)在的例題有什么異同？

生16：它們的條件不同，關(guān)鍵句相同，數(shù)量關(guān)系式也相同。

師：也就是說(shuō)同樣的關(guān)鍵句可以解決兩類問(wèn)題，一類是單位1已知的情況，另一類是單位1未知的情況，都可以通過(guò)數(shù)量關(guān)系式找到突破口。

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生結(jié)合圖示寫數(shù)量關(guān)系式的基礎(chǔ)上，教師展示錯(cuò)誤轉(zhuǎn)換單位1的情況，師生一同對(duì)數(shù)量關(guān)系式糾錯(cuò)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系式的理解。再結(jié)合數(shù)量關(guān)系式，選擇合適的方法解決問(wèn)題。

3.鞏固練習(xí)。

師：你學(xué)會(huì)用數(shù)量關(guān)系式解決問(wèn)題了嗎？我們來(lái)試試看。

②有一組互相咬合的齒輪，小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)400周，大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)的周數(shù)比小齒輪少。大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)多少周？

③有一組互相咬合的齒輪，大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)80周，比小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)的周數(shù)少。小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)多少周？

課后，我們對(duì)鞏固練習(xí)②③題的完成情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果見(jiàn)下表。

題號(hào) 正確率 錯(cuò)誤率錯(cuò)誤轉(zhuǎn)換單位1 審題或計(jì)算錯(cuò)誤② 91.1% 4.5% 4.4%③ 82.2% 11.1% 6.7%

從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看，相對(duì)于前測(cè)，學(xué)生解決問(wèn)題的正確率有了一定的提高。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生不再只關(guān)注單位1已知還是未知，用乘法還是用除法，而是更加重視理解題意，找出數(shù)量關(guān)系式，體會(huì)到了用方程解決問(wèn)題的優(yōu)越性。

三、討論

經(jīng)過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐，我們對(duì)這節(jié)課的教學(xué)有了進(jìn)一步的思考。

1.重視數(shù)量關(guān)系式的理解與應(yīng)用。

寫出數(shù)量關(guān)系式對(duì)解決此類問(wèn)題有事半功倍的效果。借助數(shù)量關(guān)系式，可以溝通已知量和未知量之間的聯(lián)系，從整體上對(duì)問(wèn)題進(jìn)行把握和建構(gòu)。學(xué)生難以寫出數(shù)量關(guān)系式時(shí)，教師需要放慢速度，結(jié)合線段圖幫助學(xué)生理解。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題時(shí)就要給學(xué)生充足的時(shí)間練習(xí)寫數(shù)量關(guān)系式，包括“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”和“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾是多少”兩類題型。在這一過(guò)程中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，如果正確寫出了數(shù)量關(guān)系式，解題時(shí)直接將數(shù)據(jù)代入數(shù)量關(guān)系式即可。有了這樣的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生只需將這一方法進(jìn)行遷移，把數(shù)量關(guān)系式中未知的量換成x，問(wèn)題就能迎刃而解。最后引導(dǎo)學(xué)生歸納，不管單位1已知還是未知，我們都可以用這兩類數(shù)量關(guān)系式解決這些問(wèn)題。在后續(xù)練習(xí)中，教師要將分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題進(jìn)行交叉重組，幫助學(xué)生理清兩種問(wèn)題的區(qū)別與聯(lián)系，選擇合適的解題策略，從而建立有效的解題模型。

2.借助數(shù)量關(guān)系式用方程解決這類問(wèn)題。

解決這類問(wèn)題通常有兩種方法。一種是用分?jǐn)?shù)除法列式解答，這是一種算術(shù)思維。實(shí)際教學(xué)中，教師習(xí)慣于按照“一找關(guān)鍵句、二定單位1，單位1已知用乘法、單位1未知用除法，多則加、少則減”的方式讓學(xué)生進(jìn)行操練，并告訴學(xué)生用對(duì)應(yīng)分量÷對(duì)應(yīng)分率=標(biāo)準(zhǔn)量，即量率對(duì)應(yīng)法則。這種解題模式過(guò)分注重迅速?gòu)念}中提取數(shù)據(jù)，尋求數(shù)據(jù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，淡化了學(xué)生解題過(guò)程中的理解和感悟，不利于學(xué)生解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)和思維的發(fā)展。另一種是列方程解決問(wèn)題，這是一種代數(shù)思維，也是一種關(guān)系思維，是通過(guò)把已知的和未知的關(guān)系用等式刻畫出來(lái)，然后代入數(shù)據(jù)，逐步解答。最新的人教版數(shù)學(xué)教材將分?jǐn)?shù)除法的解決問(wèn)題部分由原來(lái)的算術(shù)解法修改為引入方程解決問(wèn)題。在教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)方程的確能有效地降低除法逆運(yùn)算的思維難度。在后續(xù)用百分?jǐn)?shù)解決濃度或利潤(rùn)問(wèn)題時(shí)，數(shù)量關(guān)系更加復(fù)雜。比如：在10千克濃度為20%的食鹽水中加入5%的食鹽水和白開(kāi)水各若干千克，得到了濃度為10%的食鹽水。如果加入的食鹽水是白開(kāi)水質(zhì)量的2倍，那么加入白開(kāi)水多少千克？毋庸置疑，遇到這種更復(fù)雜的問(wèn)題，引入方程的思路十分有必要。用方程解決問(wèn)題是一種順向思維，可以直接通過(guò)數(shù)量關(guān)系式找到突破口，解決問(wèn)題的方法更符合學(xué)生的思維特點(diǎn)，普適性更強(qiáng)。所以，我們認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該從這里開(kāi)始進(jìn)行方程的入門練習(xí)，從易到難，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（執(zhí)筆：謝凝、吳波勇、余鋇、陳雷、陳澤榮、羅朝霞、鄭志剛、徐旺、李闖）