孫桐江

(天津市靜海區(qū)第六中學)

解決一些含有導函數(shù)的關系式(或不等式)問題時,經(jīng)常要合理構造函數(shù),利用導數(shù)運算以及導函數(shù)的正負取值情況確定相應函數(shù)的單調(diào)性,再結合函數(shù)的基本性質(zhì)解決與之相關的函數(shù)問題.在解決一些導數(shù)問題中,若已知某個含f′(x)的關系式或不等式,往往可以將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題,這時就需要根據(jù)關系式或不等式的形式,巧妙構造函數(shù),再根據(jù)導數(shù)確定所構造函數(shù)的單調(diào)性,并綜合其他相關知識順利求解問題.本文總結題目類型與解決策略,以期引領并指導數(shù)學學習與復習備考.

1 構造函數(shù)xf(x)或

若問題條件中含有“xf′(x)＋f(x)”或“xf′(x)－f(x)”形式的關系式或不等式,可考慮構造函數(shù)xf(x)或進行求解.

例1(2015年全國Ⅱ卷理12)設函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導函數(shù),f(－1)＝0,當x＞0時,xf′(x)－f(x)＜0,則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是( ).

B.(－1,0)∪(1,＋∞)

C.(－∞,－1)∪(－1,0)

D.(0,1)∪(1,＋∞)

分析根據(jù)題目條件中不等式含有“xf′(x)－f(x)”的形式,合理構造對應的函數(shù),通過求導處理,結合相關代數(shù)式的正負取值情況,利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,以及函數(shù)的零點來解決相應的抽象不等式問題.

解 根據(jù)題意,構造函數(shù)g(x)＝,求導可得g′(x)＝,由于當x＞0時,xf′(x)－f(x)＜0,所以當x＞0時,g′(x)＜0,即函數(shù)g(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減.

又由于函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù),則知函數(shù)g(x)是偶函數(shù),所以函數(shù)g(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞增,且g(－1)＝g(1)＝0,所以當0＜x＜1 時,g(x)＞g(1)＝0,則f(x)＞0 成立;當x＜－1 時,g(x)＜g(－1)＝0,則f(x)＞0成立.

綜上,使得f(x)＞0 成立的x的取值范圍是(－∞,－1)∪(0,1),故選A.

2.公司層面與業(yè)務層面的共同點。公司層面與業(yè)務層面的共同點主要體現(xiàn)在三方面。一是控制遵循的原則基本一致。即都要遵循全面性原則、重要性原則、制衡性原則、適應性原則、成本效益原則；二是控制實現(xiàn)的總體目標是一致的。即都圍繞實現(xiàn)生產(chǎn)經(jīng)營目標、財務目標和合規(guī)目標而實施；三是防范的基本風險是一致。即主要為了經(jīng)營風險、防范戰(zhàn)略風險、法律風險和財務風險。

本題先構造與題目條件相吻合的復合抽象函數(shù),再通過求導并結合題目條件確定新構造函數(shù)的單調(diào)性.根據(jù)題目條件聯(lián)想與之對應的復合函數(shù)是求解問題的關鍵.

2 構造函數(shù)xf(nx)或

若問題的條件中含有“nxf′(nx)＋f(nx)”或“xf′(x)－nf(x)”形式的關系式或不等式,可考慮構造函數(shù)xf(nx)或進行求解.

例2已知偶函數(shù)f(x)(x≠0)的導函數(shù)為f′(x),且滿足f(－1)＝0,當x＞0 時,2f(x)＞xf′(x),則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是_________.

分析本題先根據(jù)題目條件中的不等式“xf′(x)＜2f(x)”合理構造函數(shù)F(x)＝,并結合條件確定函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間,最后由函數(shù)的圖像直觀確定相應不等式的解集.

解根據(jù)題意,構造函數(shù)F(x)＝,求導可得F′(x)＝,由于當x＞0 時,xf′(x)－2f(x)＜0,所以當x＞0時,F′(x)＜0,故函數(shù)F(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,而函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則知F(x)＝為偶函數(shù),所以F(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞增.

由f(－1)＝0,可得F(1)＝F(－1)＝f(－1)＝0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得f(x)函數(shù)的大致圖像,如圖1所示,根據(jù)圖像可知f(x)＞0的解集為(－1,0)∪(0,1).

圖1

題目條件中的不等式為合理構造函數(shù)提供了條件.對于這類問題,經(jīng)常借助題目條件中的關系式,合理變形與構造較為常見的函數(shù),這也是構造函數(shù)解題的基礎.

3 構造函數(shù)

若問題條件中含有“f′(x)－f(x)”形式的關系式或不等式,可考慮構造函數(shù)輔助解題.

例3若函數(shù)y＝f(x)的定義域為R,?x∈R,f′(x)＜f(x),且f(x＋1)為偶函數(shù),f(2)＝1,則不等式f(x)＜ex的解集為_________.

分析根據(jù)題目條件中的不等式“f′(x)＜f(x)”合理構造函數(shù)F(x)＝,再通過求導、結合不等式恒成立的條件確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性.

解構造函數(shù)F(x)＝,求導可得

由?x∈R,f′(x)＜f(x),可得

則函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減.

又由于f(x＋1)為偶函數(shù),則有f(x＋1)＝f(－x＋1),結合f(2)＝1,令x＝1,可得

那么F(0)＝1,由f(x)＜ex,得＜1,即F(x)＜F(0),根據(jù)函數(shù)F(x)是R 上的單調(diào)遞減函數(shù),可得x＞0.

函數(shù)y＝ex的導數(shù)特征為進一步構造與之對應的函數(shù)提供了條件.若所求題目條件中涉及含ex的關系式,通常構造與這類函數(shù)有關的復合函數(shù)進行求解.

4 構造函數(shù)

若問題條件中含有“f′(x)sinx－f(x)cosx”形式的關系式或不等式,可考慮構造函數(shù)進行求解.

例4已知定義在(0,)上的函數(shù)f(x),f′(x)是它的導函數(shù),且恒有f(x)＜f′(x)tanx成立,則( ).

分析根據(jù)題目條件中的不等式“f′(x)tanx＞f(x)”構造函數(shù)g(x)＝,通過求導確定函數(shù)的單調(diào)性,再結合不同的函數(shù)值比較大小.

本題通過關系式的變形與轉(zhuǎn)化,合理構造與三角函數(shù)相關的復合函數(shù)輔助求解.對含三角函數(shù)的關系進行恒等變形時,根據(jù)條件確定與之對應的復合函數(shù),是解決問題的先決條件.

其實,需要根據(jù)題目條件中的不同關系式(或不等式)的形式構造與之相吻合的函數(shù)問題,除以上幾種類型外,還有其他類型,例如,通常利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性來處理一些與函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值有關的問題.在平時的學習中,要善于利用化歸與轉(zhuǎn)化思想解決相應的數(shù)學問題,這對全面提升導數(shù)的綜合應用,培養(yǎng)自身的數(shù)學核心素養(yǎng)大有幫助.

(完)