摘 要：計(jì)算機(jī)圖形可視化顯示技術(shù)是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)研究的一個(gè)重要研究方向，有限元分析是一種廣泛應(yīng)用于各種科學(xué)技術(shù)領(lǐng)城的計(jì)算方法。本文分析了有限元分析計(jì)算結(jié)果的計(jì)算機(jī)圖形可視化顯示，介紹有限元分析和計(jì)算機(jī)圖形可視化技術(shù)，分析了各自的特點(diǎn)，最后對(duì)市場(chǎng)應(yīng)用做了總結(jié)。

關(guān)鍵詞：有限元分析；計(jì)算機(jī)圖形；可視化顯示

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391.41 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-4706（2018）06-0102-03

Abstract：The visualization display technology of computer graphics is an important research direction in computer graphics. Finite element analysis is a kind of calculation method widely used in various science and technology leading cities. This paper analyzes the visual display of the computer graphics of the finite element analysis and calculation results，introduces the finite element analysis and the computer graphics visualization technology，analyzes their respective characteristics，and summarizes the market application at last.

Keywords：finite element analysis；computer graphics；visualization display

0 引 言

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的不斷增強(qiáng)，科技事業(yè)的迅速發(fā)展，計(jì)算機(jī)技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、工程技術(shù)、軟件技術(shù)以及層出不窮的新技術(shù)，將人類(lèi)社會(huì)推向了信息化發(fā)展的高潮。在諸多領(lǐng)域的科學(xué)計(jì)算中，存在著大量的數(shù)據(jù)，研究人員通過(guò)圖形設(shè)備將計(jì)算結(jié)果圖形化、可視化，進(jìn)而獲取其中有用信息?？茖W(xué)計(jì)算可視化技術(shù)越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算的各個(gè)領(lǐng)域，各種領(lǐng)域需要的圖形分析軟件應(yīng)運(yùn)而生，其中具有代表性有INFEGAS、SUPERTAP及SUPERSAP等，這些都是有限元計(jì)算領(lǐng)域中包含可視化軟件的功能的軟件。

1 有限元分析、計(jì)算機(jī)圖形可視化介紹[1]

1.1 有限元法

有限元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）是對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)采用一種數(shù)學(xué)近似法進(jìn)行模擬?；诤?jiǎn)單而又相互關(guān)聯(lián)的單元，實(shí)現(xiàn)有限數(shù)量的未知量去擬合無(wú)限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。簡(jiǎn)而言之，有限元分析就是用較簡(jiǎn)單的問(wèn)題代替復(fù)雜的問(wèn)題后再求解。將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，就是有限元分析計(jì)算的最大特點(diǎn)。

有限元的傳統(tǒng)核心具體來(lái)說(shuō)有兩個(gè)：一是求解PDE（偏微分方程）的近似解，二是離散化（discretization）。

（1）數(shù)值近似，計(jì)算中通常希望用簡(jiǎn)化的方法求解PDE近似解，PDE近似求解有Weak form Galerkin、Strong form Galerkin及Rayleigh Ritz method等方法。主要算法都是設(shè)一個(gè)已知的近似方程，然后帶入原PDE或functional求解unknown coefficients?；赟trong form Galerkin的近似方程需要滿足所有的邊界條件，包括essential和natural，而Weak form和Rayleigh Ritz則僅僅需滿足essential boundary condition，所以有限元通常使用Weak form和Rayleigh Ritz兩種求解方法。

（2）離散化，一個(gè)連續(xù)體被離散成基本幾何單元（elements），這些單元通過(guò)節(jié)點(diǎn)（nodes）相互聯(lián)系，通過(guò)節(jié)點(diǎn)聯(lián)系將單元的結(jié)果組合成實(shí)際物理問(wèn)題的結(jié)果。通過(guò)早在幾個(gè)世紀(jì)前有限元的思想就已經(jīng)萌芽并得到了應(yīng)用，如圓的周長(zhǎng)就是用多邊形（有限個(gè)直線單元）來(lái)逼近的，近期更是作為一種新的分析計(jì)算方法正式被提出。在國(guó)際上，1943年，Courant發(fā)表了第一篇使用三角形區(qū)域的多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)求解扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的論文；1956年波音公司的Turner，Clough，Martin和Topp在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)時(shí)系統(tǒng)地研究了離散桿、梁、三角形的單元?jiǎng)偠缺磉_(dá)式。1960年，Clough在處理平面彈性問(wèn)題時(shí)，首次提出并使用“有限元方法”（finite element method）。1965年，國(guó)內(nèi)學(xué)者馮康在《應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)》上發(fā)表的《基于變分原理的差分格式》一文，創(chuàng)立了中國(guó)獨(dú)立于西方系統(tǒng)的有限元法。

有限元軟件廣泛應(yīng)用在航空航天、土木建筑、汽車(chē)、國(guó)防軍工、船舶、電子電器、機(jī)械制造、鐵道、能源改造及能源和科學(xué)研究等領(lǐng)域。從僅限于單一的結(jié)構(gòu)工程強(qiáng)度分析領(lǐng)域到幾乎所有的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，正驗(yàn)證著有限元法是一種實(shí)用高效的數(shù)值方法。

需要強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，高性能計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展有力地促進(jìn)了有限元的發(fā)展，有限元的理論在1970之后隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展。而今，發(fā)展迅速的計(jì)算力學(xué)也受益于高性能計(jì)算機(jī)的發(fā)展。當(dāng)某一天計(jì)算機(jī)處理的速度強(qiáng)大到人們可以用最復(fù)雜、最密集的單元完美快速地模擬任意結(jié)構(gòu)，就不必?fù)?dān)心精度的問(wèn)題了。所以本研究認(rèn)為有限元的核心還需要借助計(jì)算機(jī)技術(shù)高速發(fā)展的成果發(fā)展。下面介紹計(jì)算機(jī)相關(guān)知識(shí)。

1.2 計(jì)算機(jī)圖形[2]

計(jì)算機(jī)圖形，是一種利用數(shù)學(xué)算法將二維或三維圖形轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)顯示器的柵格形式的科學(xué)。通俗地說(shuō)，如何在計(jì)算機(jī)中顯示圖形、利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行圖形的處理及計(jì)算的相關(guān)原理與算法是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容。

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的誕生至今已有四十多年的歷史。1950年，作為美國(guó)麻省理工學(xué)院（MIT）旋風(fēng)I號(hào)（Whirlwind I）計(jì)算機(jī)的附件—誕生第一臺(tái)圖形顯示器。該顯示器采用一個(gè)陰極射線管（CRT）來(lái)顯示一些基本圖形。該時(shí)期計(jì)算機(jī)圖形學(xué)處于醞釀和準(zhǔn)備時(shí)期，稱之為“被動(dòng)式”圖形學(xué)。MIT林肯實(shí)驗(yàn)室的Ivan E.Sutherland在1962年發(fā)表了一篇題為“Sketchpad：一個(gè)人機(jī)交互通信的圖形系統(tǒng)”的博士論文，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)“Computer Graphics”這一術(shù)語(yǔ)在該論文中首次使用。相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)的基本規(guī)則被美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)化局（ANSI）在“與機(jī)器無(wú)關(guān)的圖形技術(shù)”的工作會(huì)議上提出。真實(shí)感圖形學(xué)和實(shí)體造型技術(shù)的出現(xiàn)亦是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)另外兩個(gè)重要進(jìn)展。熱輻射工程中的輻射度方法分別被美國(guó)和日本的學(xué)者引入到計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，并用輻射度方法成功地模擬了理想漫反射表面間的多重漫反射效果。光線跟蹤算法和輻射度算法的引入標(biāo)志著真實(shí)感圖形的顯示算法已日漸完善。

計(jì)算機(jī)圖形的出現(xiàn)，可以實(shí)現(xiàn)從概念設(shè)計(jì)到結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的全過(guò)程。例如，公司要開(kāi)發(fā)一個(gè)軟件，傳統(tǒng)的方法是先在草稿圖上設(shè)計(jì)草圖，有不精確之處還需要重新再設(shè)計(jì)，牽一發(fā)而動(dòng)全身，改動(dòng)一處，其它地方也需要再確認(rèn)。而利用計(jì)算機(jī)圖形技術(shù)設(shè)計(jì)概念草圖，不必在細(xì)節(jié)上耗時(shí)費(fèi)力—如精確的坐標(biāo)點(diǎn)，而把重點(diǎn)放在結(jié)構(gòu)的風(fēng)格和性能上，一旦結(jié)構(gòu)確定，標(biāo)出正確的尺寸就能得到合適的設(shè)計(jì)。計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力的提高加快了圖形處理的效率，進(jìn)而促進(jìn)圖形學(xué)的各個(gè)研究方向發(fā)展?？茖W(xué)計(jì)算可視化、動(dòng)畫(huà)設(shè)計(jì)、影視娛樂(lè)及CAD/CAM等領(lǐng)域都可看到圖形學(xué)的身影。

1.3 可視化顯示[3]

可視化分為數(shù)據(jù)可視化、圖形可視化。數(shù)據(jù)可視化主要利用圖形化手段，有效便捷地交流信息，圖形可視化是由數(shù)據(jù)可視化轉(zhuǎn)變而來(lái)的，是將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成圖形或圖像，并在屏幕上顯示出來(lái)。數(shù)據(jù)可視化的目的其實(shí)就是直觀地展現(xiàn)數(shù)據(jù)，比如把花費(fèi)數(shù)小時(shí)甚至更久時(shí)間才能系統(tǒng)化顯示的數(shù)據(jù)量，轉(zhuǎn)化成一眼就能讀懂的數(shù)值；通過(guò)各類(lèi)公式權(quán)衡計(jì)算得到的數(shù)據(jù)差異，用不同的顏色區(qū)域、長(zhǎng)短大小等直觀圖形形成對(duì)比；數(shù)據(jù)可視化是一個(gè)溝通復(fù)雜信息最鮮明的武器。通過(guò)可視化信息，我們能夠更好地讀取、分析和保存有效信息，增加對(duì)信息的直觀印象。

數(shù)據(jù)可視化不是極端復(fù)雜難懂或枯燥乏味，在保證有效地傳達(dá)中心思想的前提下，美學(xué)形式與功能應(yīng)齊頭并進(jìn)。直觀地傳達(dá)關(guān)鍵的方面與特征，從而讓人對(duì)復(fù)雜的數(shù)據(jù)圖形化一目了然。數(shù)據(jù)可視化與信息可視化、信息圖形、統(tǒng)計(jì)圖形以及科學(xué)可視化密切相關(guān)。當(dāng)前，可視化在研究、教學(xué)和科技開(kāi)發(fā)領(lǐng)域備受歡迎，這一技術(shù)實(shí)現(xiàn)了成熟的科學(xué)可視化領(lǐng)域與較年輕的信息可視化領(lǐng)域的統(tǒng)一。

2 有限元分析的計(jì)算機(jī)圖形可視化顯示[4]

有限元分析計(jì)算是將一個(gè)連續(xù)體結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)單元，這些單元體在節(jié)點(diǎn)處相互連接，把荷載作用在相關(guān)節(jié)點(diǎn)上，計(jì)算在外荷載作用下各節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)，進(jìn)而計(jì)算各單元的響應(yīng)。用離散體的解答近似代替原連續(xù)體解答，當(dāng)單元?jiǎng)澐值米銐蛎軙r(shí)，它與真實(shí)解是接近的，但又不屬于真實(shí)解，只是一種近似值的存在。有限元的分析計(jì)算結(jié)果只有專業(yè)的人士才能看懂，而非專業(yè)的人士對(duì)于有限元的了解相對(duì)較少。例如，要建造一座公益性大橋，首先由專業(yè)人士使用有限元計(jì)算方法對(duì)大橋的結(jié)構(gòu)、長(zhǎng)度、厚度進(jìn)行專業(yè)計(jì)算，計(jì)算結(jié)果需要面向社會(huì)公開(kāi)展示。但使用有限元分析計(jì)算后的結(jié)果，一般人表示根本看不懂這些數(shù)據(jù)和公式。所以，計(jì)算機(jī)圖形可視化顯示，很好的解決了這一問(wèn)題，將建造大橋所測(cè)量出來(lái)的數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)變?yōu)橛?jì)算機(jī)圖形可視化。將原本很復(fù)雜的數(shù)據(jù)、公式，用圖形的模式展示出來(lái)，使人一目了然，就連未來(lái)大橋的形狀也可以清晰的傳播給社會(huì)各界人士。科學(xué)計(jì)算結(jié)果的計(jì)算機(jī)圖形可視化顯示是提高計(jì)算效率，減少勞動(dòng)強(qiáng)度，保證設(shè)計(jì)正確的有效方法，同時(shí)將復(fù)雜、專業(yè)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)易明了的圖像，是其魅力所在。

3 有限元分析的計(jì)算機(jī)圖形可視化顯示展望

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，有限元方法橫向上已由工程強(qiáng)度分析拓展到各種科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，成為一種高效、便捷的數(shù)值分析方法（CAE）；縱向上基于數(shù)值分析方法的完善和計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度的提升，求解運(yùn)算的時(shí)間正在變少，而數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和運(yùn)算結(jié)果的顯示問(wèn)題卻日益突出。后處理作為建立有限元模型的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，需要考慮的問(wèn)題和運(yùn)作時(shí)間越來(lái)越多。

運(yùn)算結(jié)果需要快速方便地得到形象的，一目了然的2D圖表、3D動(dòng)畫(huà)顯示。然而動(dòng)輒幾百M(fèi)B甚至幾個(gè)GB的運(yùn)算結(jié)果文件的整理費(fèi)時(shí)費(fèi)力，最好交給軟件自動(dòng)或者人性化地半自動(dòng)提取生成位移曲線、應(yīng)力云圖、動(dòng)畫(huà)圖像，并且還能幫助研究者便捷地生成報(bào)告。因此后處理軟件的好壞直接關(guān)系到研究者對(duì)結(jié)果的提取和報(bào)告的編寫(xiě)。由此可見(jiàn)，后處理工作也是CAE工作的重頭戲。

研究者在后處理工作中普遍使用meta這一工具，因?yàn)樗哂斜容^完善的可視化功能：（1）可使用變形、矢量圖、云圖、等值面和截面云圖等表現(xiàn)結(jié)果；（2）支持變形、線性、復(fù)合以及瞬態(tài)動(dòng)畫(huà)顯示；（3）直接生成JPG、TIFF、BMP、EPS、等格式的圖形文件，或者通用的動(dòng)畫(huà)格式。友好的用戶界面可以迅速找到問(wèn)題，同時(shí)提高評(píng)估的效率。另外可以在以下幾個(gè)方面得到進(jìn)一步發(fā)展：NVH計(jì)算功能、CFD功能、Durability和碰撞功能及自動(dòng)報(bào)告生成。

未來(lái)有限元分析的計(jì)算機(jī)圖形可視化顯示的趨勢(shì)和基本特征為：

（1）高速處理計(jì)算結(jié)果；（2）支持多種格式的結(jié)果文件；（3）高效的圖像處理能力；（4）定制化的用戶界面方便用戶；（5）多種2D繪圖工具和3D顯示、多窗口、多切片、等值云圖和爆炸圖等；（6）多種模型比對(duì)工具，如視頻同步等；（7）報(bào)告和表格生成；（8）NVH計(jì)算功能；（9）CFD功能。

4 結(jié) 論

隨著有限元方法在橫向和縱向上的迅猛發(fā)展，有限元技術(shù)已成為工程設(shè)計(jì)中的必選項(xiàng)，數(shù)值試驗(yàn)已成為解決復(fù)雜工程問(wèn)題的一種有效手段，民用汽車(chē)、航海巨輪、航天飛機(jī)的設(shè)計(jì)必然要經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次數(shù)值分析—相對(duì)于真實(shí)試驗(yàn)，這既節(jié)約了成本，又提高了效率。計(jì)算機(jī)圖形顯示經(jīng)歷了四十年的發(fā)展，作為這兩個(gè)學(xué)科的交叉點(diǎn)，科學(xué)計(jì)算結(jié)果的計(jì)算機(jī)圖形可視化是保證設(shè)計(jì)正確、減少勞動(dòng)強(qiáng)度及提高計(jì)算效率的有效方法。從市場(chǎng)應(yīng)用來(lái)看，相關(guān)的專業(yè)人員還是十分短缺，為此，我們更應(yīng)該加強(qiáng)研究，做好人才規(guī)劃。

總之，有限元分析計(jì)算與計(jì)算機(jī)圖形可視化顯示技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣闊，與人們生活緊密相連。相信在不久的將來(lái)，這兩種技術(shù)將更廣泛地應(yīng)用到社會(huì)的方方面面，來(lái)豐富我們的文化、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、政治生活。

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作者簡(jiǎn)介：魯英春（1978-），女，四川三臺(tái)人，講師，碩士。從事計(jì)算機(jī)圖形圖像處理研究。