毋飛鵬，張 波，劉子龍，唐 禹

(武漢理工大學(xué) 理學(xué)院 物理系，武漢 430070)

T矩陣方法計(jì)算雙層球形粒子的受力

毋飛鵬，張 波，劉子龍*，唐 禹

(武漢理工大學(xué) 理學(xué)院 物理系，武漢 430070)

為了分析聚焦光束對(duì)多層粒子的捕獲效率，結(jié)合矢量衍射積分、T矩陣方法以及Maxwell應(yīng)力張量積分，通過理論推導(dǎo)給出了雙層球形粒子的T矩陣的詳細(xì)表達(dá)式，并對(duì)雙層球形粒子在聚焦光場(chǎng)中的受力進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，詳細(xì)分析了內(nèi)層折射率和內(nèi)層尺寸對(duì)光場(chǎng)捕獲效率的影響。結(jié)果表明，只有內(nèi)層折射率在一定范圍內(nèi)，聚焦光束對(duì)雙層球形粒子才具有捕獲作用，隨著內(nèi)層折射率增加，最大后向捕獲效率先增加后減小至零，對(duì)于空心粒子，內(nèi)層尺寸越大，聚焦光束對(duì)粒子的捕獲作用越弱，且平面波的捕獲作用比高斯光束更強(qiáng)。此雙層球形粒子的受力計(jì)算可以拓展到多層的復(fù)雜粒子的情形。

激光技術(shù)；光學(xué)捕獲；T矩陣；雙層球形粒子

引 言

自從ASHKIN在實(shí)驗(yàn)中首次觀察到激光對(duì)微粒的輻射力、并利用一束強(qiáng)聚焦激光對(duì)微粒實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定的3維捕獲以來[1-2]，光鑷技術(shù)得到了巨大的發(fā)展，并廣泛運(yùn)用到原子物理學(xué)、生物醫(yī)藥、生命科學(xué)等領(lǐng)域[3-5]。光鑷技術(shù)已被用于細(xì)胞分選[6]、測(cè)量細(xì)胞彈性[7]、研究染色體轉(zhuǎn)錄[8]、研究驅(qū)動(dòng)蛋白[9]、測(cè)量液體粘滯系數(shù)[10]等。在光鑷技術(shù)的相關(guān)研究領(lǐng)域中，理論上計(jì)算各種微粒的受力具有重要的指導(dǎo)意義。射線模型和瑞利模型可以計(jì)算尺寸遠(yuǎn)大于和遠(yuǎn)小于入射波長(zhǎng)的粒子的受力[11-12]，對(duì)于尺寸近似波長(zhǎng)的粒子，可以利用多種數(shù)值方法來計(jì)算散射場(chǎng)，并利用麥克斯韋應(yīng)力張量積分求得粒子的受力[13-16]。

T矩陣方法于1965年被首次提出[17]，并在1971年得到進(jìn)一步完善[18]，在1974年被推廣到求多層粒子的散射場(chǎng)[19]，之后T矩陣得到了巨大的發(fā)展，被廣泛運(yùn)用到計(jì)算光鑷對(duì)多種微粒的捕獲力上。T矩陣只與粒子的形狀和物理性質(zhì)有關(guān)，適用于任意形狀的粒子，且能夠適用的粒子的尺寸范圍較廣。T矩陣方法可以用來計(jì)算介質(zhì)均勻的橢球粒子在光場(chǎng)中的受力[20]，也可以用于分析桿狀粒子在光場(chǎng)中所受的力與力矩[21]，如今已可以利用工具箱計(jì)算常見粒子的受力[22]。光鑷捕獲和操縱生物粒子或鍍有金屬膜層的納米粒子時(shí)，這類粒子通常具有多層結(jié)構(gòu)。在計(jì)算光鑷的捕獲力時(shí)，如果將粒子處理為單層結(jié)構(gòu)，得到的結(jié)果是不夠準(zhǔn)確的。目前，利用T矩陣方法計(jì)算多層粒子在光場(chǎng)中的受力的相關(guān)研究比較少，粒子各部分的參量對(duì)捕獲力的影響也沒有得到詳細(xì)的分析。雙層球形粒子的受力計(jì)算可以進(jìn)一步推廣到任意光源對(duì)多層球形粒子的受力和力矩，因此，多層粒子受力的計(jì)算是以雙層結(jié)構(gòu)的計(jì)算為基礎(chǔ)的。

本文中給出了雙層球形粒子的T矩陣的表達(dá)式，利用T矩陣方法結(jié)合矢量衍射積分和麥克斯韋應(yīng)力張量積分計(jì)算了雙層球形粒子在聚焦光場(chǎng)中的受力，分析了內(nèi)層折射率和內(nèi)層尺寸對(duì)粒子受力的影響，討論了空心粒子在光場(chǎng)中的捕獲與運(yùn)動(dòng)軌跡。首先介紹了T矩陣方法計(jì)算粒子受力的相關(guān)理論；然后計(jì)算了雙層球形粒子在光場(chǎng)中的受力，并對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了詳細(xì)的討論；最后結(jié)合理論和數(shù)值結(jié)果總結(jié)了本文中的工作。

1 理論分析

利用T矩陣方法計(jì)算粒子受力的基本原理是將粒子周圍的入射場(chǎng)Einc(r)和散射場(chǎng)Esca(r)都展開如下式所示的矢量球形波函數(shù)的疊加，其中入射場(chǎng)的展開系數(shù)amn,bmn和散射場(chǎng)的展開系數(shù)pmn,qmn可以通過T矩陣聯(lián)系起來，通過amn,bmn和T矩陣可以得到散射場(chǎng)，進(jìn)而得到粒子周圍的場(chǎng)分布，然后通過麥克斯韋應(yīng)力張量積分得到粒子的受力。

T矩陣方法中入射場(chǎng)Einc(r)一般是透鏡系統(tǒng)形成的聚焦場(chǎng)。如圖1所示，入射光經(jīng)過一個(gè)高數(shù)值孔徑的透鏡聚焦之后入射到一個(gè)雙層球形粒子之上，利用Richard-Wolf矢量衍射積分方法以及角譜展開方法將聚焦之后的場(chǎng)展開為一系列平面波的疊加，利用平面波的展開系數(shù)[23]，可得入射場(chǎng)的展開系數(shù)為:

Fig.1 The particles trapped by the focused beam

(2)式給出了粒子表面入射場(chǎng)的展開系數(shù)，為了得到散射場(chǎng)，還需要求得雙層球形粒子的T矩陣。雙層粒子的T矩陣可以表示為:

T12=(-K1,Ⅰ,ⅠK1,Ⅰ,Ⅲ-1+K1,Ⅲ,ⅠK2,Ⅰ,ⅠK2,Ⅰ,Ⅲ-1K1,Ⅰ,Ⅲ-1)×

(1-K1,Ⅲ,ⅢK2,Ⅰ,ⅠK2,Ⅰ,Ⅲ-1K1,Ⅰ,Ⅲ-1)-1=

式中，T1和T2為外層界面S1和內(nèi)層界面S2構(gòu)成的單一均勻球形粒子的T矩陣，T12是雙層粒子的T矩陣，K是一個(gè)與T矩陣等大小的矩陣[23]，其下標(biāo)中的第1個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示積分界面的標(biāo)號(hào)，后面兩個(gè)羅馬數(shù)字表示求解過程中矢量球形波函數(shù)的形式，矩陣K由4個(gè)子塊J1，J2，J3，J4組成:

在雙層球形粒子的情況下，J2≡0，J3≡0，

式中,δmm′nn′為Kronecker函數(shù)(m=m′，且n=n′時(shí)取1；否則取0)，相對(duì)折射率ny,y-1=ny/ny-1(ny和ny-1分別表示第y層和第y-1層介質(zhì)的絕對(duì)折射率)，定義參量xy=k0ryny-1/n0(ry表示第y層球形界面的半徑)，函數(shù)fu和fv在各種情況下的形式為:

通過雙層粒子的T矩陣與入射場(chǎng)的展開系數(shù)可求得散射場(chǎng)的展開系數(shù)，進(jìn)一步得到粒子外的場(chǎng)分布，利用麥克斯韋應(yīng)力張量積分，可以求得粒子的受力F。

式中,〈〉表示求時(shí)域平均，D,E,B,H分別為電位移矢量、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度，I為單位張量，中括號(hào)的第2項(xiàng)為并矢，dS為積分的面積元矢量，上標(biāo)*表示取相應(yīng)矢量的共軛。

2 數(shù)值結(jié)果分析

2.1 內(nèi)層折射率的影響

根據(jù)以上的理論分析，假設(shè)周圍環(huán)境的折射率n0=1.33(在水中捕獲微粒)，透鏡的焦距f=1mm，透鏡的數(shù)值孔徑為1.25。通過數(shù)值模擬，分別計(jì)算了雙層球形粒子在聚焦平面波和聚焦高斯光束中的受力情況，并繪制了捕獲效率Q與位置的關(guān)系曲線，Q=Fc/(n0P)(c為真空中的光速，P為光功率)無量綱。若平面波作為入射光源，真空波長(zhǎng)λv=1064nm(對(duì)應(yīng)生物粒子的透明波長(zhǎng))，振幅l0=1(歸一化)，沿x方向偏振。設(shè)粒子的外層半徑r1=1μm(第3類粒子)，內(nèi)層半徑r2=0.5μm，外層折射率n1=1.43，內(nèi)層折射率分別取空氣、水和聚苯乙烯的折射率，即n2為1,1.33和1.59，分別對(duì)應(yīng)空心粒子、內(nèi)層折射率小于和大于外層的3種情形。這3種情況下，微粒在光軸上的軸向捕獲效率Qz以及在焦平面x軸上橫向捕獲效率Qx如圖2所示，其中Qb,m為最大后向捕獲效率。

從圖2可以看到，當(dāng)n2=1(空心粒子，實(shí)線)，粒子在軸上有兩個(gè)平衡點(diǎn)，分別位于z=-1.02μm和z=1.43μm(后面的討論中將-z軸和+z軸的平衡點(diǎn)分別稱為A和B)，粒子的橫向平衡點(diǎn)處于離軸的位置x=0.78μm。此時(shí)，粒子的內(nèi)層折射率小于外層，甚至小于環(huán)境折射率，由于內(nèi)層結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的梯度力都會(huì)將粒子推離焦點(diǎn)[24]，而外層折射率大于環(huán)境，外層產(chǎn)生的梯度力將粒子拉回焦點(diǎn)。由于兩者的共同作用，在光軸上產(chǎn)生了兩個(gè)平衡點(diǎn)，同理在橫向上也有兩個(gè)橫向平衡點(diǎn)(對(duì)稱性導(dǎo)致-x軸上還有一個(gè)平衡點(diǎn)，預(yù)測(cè)y軸上情況類似，而且這里的平衡點(diǎn)只是橫向上受力平衡)。在此處因外層結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的梯度力會(huì)將粒子拉向光軸，而內(nèi)層結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的力則會(huì)將粒子推離光軸，在粒子偏離光軸時(shí)，推離的力會(huì)隨著光強(qiáng)的減弱而變小，最后與拉向光軸力達(dá)到平衡，形成一個(gè)偏離光軸的橫向平衡點(diǎn)。當(dāng)n2=1.33時(shí)(點(diǎn)線)，粒子的受力曲線及平衡點(diǎn)產(chǎn)生的原因與n2=1時(shí)是相似的。當(dāng)n2=1.59時(shí)(點(diǎn)劃線)，在軸向上只有一個(gè)平衡點(diǎn)位于z=0.07μm，而橫向上平衡點(diǎn)位于光軸上，因?yàn)榇藭r(shí)內(nèi)層的折射率大于外層(也大于環(huán)境)，光場(chǎng)對(duì)內(nèi)層與外層的梯度力都指向焦點(diǎn)處，所以只有一個(gè)軸向平衡點(diǎn)，橫向上由于對(duì)稱性導(dǎo)致平衡點(diǎn)位于光軸上。

Fig.2 Trapping efficiency of plane wave with different n2

前面的分析發(fā)現(xiàn)n2=1時(shí)在軸上有兩個(gè)平衡點(diǎn)，為了判斷兩個(gè)平衡點(diǎn)是否都能穩(wěn)定的捕獲粒子，圖3給出了平面波入射時(shí)，粒子在y-O-z平面上受力的矢量圖。圖中箭頭的長(zhǎng)度代表受力的大小，箭頭的方向代表受力的方向，插圖的箭頭只表示受力的方向而不表示大小。

由圖3可以看出，粒子在焦平面的y軸上的橫向受力和x軸類似，在離軸位置有一個(gè)橫向平衡點(diǎn)(只是橫向受力為0，軸向受力不為0)，和前面預(yù)期的結(jié)果是一致的。而左下角的插圖表明，在平衡點(diǎn)A處，粒子的橫向受力平衡但是不穩(wěn)定，粒子在受到環(huán)境因素?cái)_動(dòng)的情況下會(huì)逐漸遠(yuǎn)離A點(diǎn)。右下角的插圖表示粒子在平衡點(diǎn)B處的橫向和軸向都處于穩(wěn)定狀態(tài)。所以，位于B點(diǎn)附近的微粒會(huì)直接移動(dòng)到B點(diǎn)，并被穩(wěn)定捕獲在該位置。而位于A點(diǎn)附近的粒子會(huì)先向A點(diǎn)移動(dòng)，然后由于環(huán)境干擾和布朗運(yùn)動(dòng)，沿著圖3實(shí)線所示的路徑緩慢移動(dòng)到B點(diǎn)并被穩(wěn)定捕獲。綜上所述，只有+z軸的B點(diǎn)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，內(nèi)層折射率n2為1,1.33,1.59時(shí)，聚焦的平面波可以將粒子分別穩(wěn)定地捕獲在z為1.43μm,0.86μm,0.07μm處。

Fig.3 Vector graph of trapping force of particles iny-O-zplane(enlarged: directions of trapping force nearAandB)

如果入射光是高斯光束并且束腰位于出瞳位置，束腰半徑w0=1mm，只將振幅分布改為高斯分布，其它條件不變。如圖4所示，在3種情況下粒子的受力曲線以及各個(gè)平衡點(diǎn)的形成原因與平面波相似。需要注意的是：n2=1(實(shí)線)時(shí)不再形成B平衡點(diǎn)。射線模型可以用來解釋這個(gè)現(xiàn)象，光束中的所有光線經(jīng)過透鏡聚焦后，靠外的光線提供了更大的梯度力[11]。高斯光束相比于平面波而言，靠外的光線的功率占比很小，靠?jī)?nèi)的光線的功率占比較大，導(dǎo)致高斯光束提供的梯度力較小，不能形成平衡點(diǎn)B。當(dāng)粒子位于-z軸時(shí)，內(nèi)層的空心結(jié)構(gòu)使得粒子被沿-z方向推離焦點(diǎn)，而外層提供的梯度力和散射力都沿+z軸指向焦點(diǎn)，兩者達(dá)到平衡，形成了平衡點(diǎn)A。

Fig.4 Trapping efficiency of Gaussian beam with different n2

2.2 內(nèi)層尺寸的影響

除了內(nèi)層折射率的影響，內(nèi)層尺寸也是一個(gè)影響捕獲效率的因素。利用平面波和高斯光作為捕獲光源，設(shè)外層折射率n1=1.43，內(nèi)層折射率n2=1，外層半徑r1=1μm，內(nèi)層半徑r2分別為0.2μm,0.4μm,0.6μm，0.8μm，其它參量不變。微粒軸向和橫向上的捕獲效率如圖5所示。

Fig.5 Trapping efficiency with different r2

a—plane wave, axial b—plane wave, transverse c—Gaussian beam, axial d—Gaussian beam, transverse

如圖5a所示，當(dāng)r2=0.2μm時(shí)(實(shí)線)，粒子在+z軸有一個(gè)平衡點(diǎn)位于z=0.78μm。參照第2.1節(jié)中對(duì)平面波的分析，由于內(nèi)層結(jié)構(gòu)尺寸更小，粒子更接近于一個(gè)均勻的介質(zhì)球，所以該平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。而粒子內(nèi)層結(jié)構(gòu)提供的推離焦點(diǎn)的力過小使得此時(shí)沒有-z軸的平衡點(diǎn)A。當(dāng)r2=0.4μm時(shí)(虛線)，粒子的受力與第2.1節(jié)中r2=0.5μm時(shí)相似。當(dāng)r2=0.6μm(點(diǎn)線)和r2=0.8μm(點(diǎn)劃線)時(shí)，在光軸上都只有不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)A，分別在z=-1.15μm和z=-1.58μm，由于內(nèi)層結(jié)構(gòu)尺寸過大，外層提供的拉向焦點(diǎn)的力不能平衡內(nèi)層提供的推離焦點(diǎn)的力，所以不能形成穩(wěn)定的平衡點(diǎn)B。從圖5a中看出,r2=0.6μm時(shí)，平衡點(diǎn)B剛好消失，說明當(dāng)內(nèi)層尺寸在0μm～0.6μm之間時(shí)，聚焦的平面波可以對(duì)雙層球形粒子進(jìn)行穩(wěn)定的3維捕獲。橫向上，內(nèi)層尺寸為0μm時(shí)，粒子相當(dāng)于一個(gè)單層粒子，平衡位置位于光軸上，隨著內(nèi)層尺寸的增加，焦平面上橫向的平衡位置越來越遠(yuǎn)離光軸。

若高斯光束作為捕獲光源，內(nèi)層尺寸變化對(duì)捕獲效率的影響如圖5c和圖5d所示，粒子的受力曲線和平面波的結(jié)果非常相似。其中r2=0.4μm時(shí)，高斯光束提供的后向捕獲效率已經(jīng)非常小，捕獲作用十分微弱，所以當(dāng)內(nèi)層尺寸在0μm～0.4μm之間時(shí)，聚焦高斯光束可以對(duì)雙層球形粒子進(jìn)行穩(wěn)定的3維捕獲，內(nèi)層尺寸繼續(xù)增加時(shí)不再穩(wěn)定捕獲。

2.3 對(duì)最大后向捕獲效率的影響

前面分析了幾種情況下粒子捕獲效率與位置的關(guān)系曲線，現(xiàn)在將進(jìn)一步分析內(nèi)層折射率和內(nèi)層尺寸與最大后向捕獲效率Qb,m的關(guān)系。如圖6a所示，只有內(nèi)層折射率處于一定的范圍內(nèi)，粒子才能被穩(wěn)定捕獲，參考文獻(xiàn)[25]中在單層粒子的情況下也得到了相似的結(jié)論，隨著內(nèi)層折射率增加，內(nèi)層界面上功率反射率先減少后增加，相應(yīng)的散射力也按同樣的規(guī)律變化，導(dǎo)致捕獲效率先增加再減小，如圖6a所示。平面波入射時(shí)(實(shí)線)，只有內(nèi)層折射率處于1≤n2≤2.1，粒子(r1=1μm，r2=0.5μm，n1=1.43)才能被聚焦的平面波捕獲，最大后向捕獲效率先增加然后減小至0。而當(dāng)入射光束為高斯光束時(shí)(虛線)，只有內(nèi)層折射率在1.05～1.9之間時(shí)，粒子才能被聚焦的高斯光束穩(wěn)定捕獲，且最大后向捕獲效率變化趨勢(shì)與平面波的情況類似，可見，平面波捕獲的粒子的內(nèi)層折射率變化范圍比高斯光束要大。而對(duì)于同一個(gè)內(nèi)層折射率，聚焦平面波的最大后向捕獲效率要比聚焦高斯光束更大，其原因如前面的分析。

Fig.6 The maximum backward trapping efficiency of plane wave and Gaussian wave

a—refractive indexn2of the inner layer b—sizer2of the inner layer

如圖6b所示，若內(nèi)層折射率為1(即為空心粒子)，Qb,m會(huì)隨著內(nèi)層尺寸增加而減小直至為0。平面波入射時(shí)(實(shí)線)，內(nèi)層尺寸在0μm≤r2≤0.6μm范圍內(nèi)的粒子可以被捕獲；高斯光束入射時(shí)，內(nèi)層尺寸變化范圍較小(0μm～0.45μm)，這和前面的結(jié)論是相符的?？梢钥闯?，相同內(nèi)層尺寸的情況下，平面波的捕獲效果要比高斯光束更好。

3 結(jié) 論

通過T矩陣方法給出了雙層球形粒子的T矩陣的表達(dá)式，其結(jié)果可以推廣至任意多層球形粒子，通過數(shù)值計(jì)算給出了聚焦光場(chǎng)中不同位置的粒子所受的捕獲效率，并分析了粒子內(nèi)層折射率以及內(nèi)層尺寸對(duì)捕獲效率的影響。計(jì)算結(jié)果表明：粒子內(nèi)層的折射率和尺寸都對(duì)捕獲效率有明顯的影響，平面波和高斯光束都可以捕獲雙層球形粒子，但是粒子的內(nèi)層折射率需要處在一定范圍內(nèi)，平面波作為捕獲光源時(shí)的范圍更大；隨著內(nèi)層折射率的增加，最大后向捕獲效率會(huì)先增加然后減小到零；粒子的內(nèi)層折射率一定的情況下，內(nèi)層尺寸也會(huì)明顯影響捕獲效率，對(duì)于空心粒子，內(nèi)層的空心越大，捕獲效果越弱；對(duì)同一個(gè)粒子，平面波的捕獲效果要比高斯光束更好。

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Calculationoftrappingforceondouble-layersphericalparticlesusingTmatrixmethod

WUFeipeng,ZHANGBo,LIUZilong,TANGYu

(Department of Physics, School of Science, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China)

In order to analyze the trapping efficiency of multi-layer particles in a focused beam, theTmatrix of the double-layer spherical particle was deduced. The trapping force on double-layer spherical particles was numerically calculated by means of the vector diffraction integral combining theTmatrix method and the Maxwell stress tensor integral. Effect of the refractive index and size of the inner layer on trapping efficiency was discussed in detail. The focused beam can trap the double-layer spherical particles only when the refractive index of the inner layer is appropriate. The maximum backward trapping efficiency will increase at first and decrease to zero finally when the refractive index increases. For hollow particles, the bigger the hollow is, the weaker the trap is. Besides, the trap formed by plane wave is stronger than Gaussian beam. The calculation method of the force on double-layer spherical particles can be expanded to the case of multilayer complex particles.

laser technique; optical trapping;Tmatrix; double-layer spherical particle

1001-3806(2018)01-0072-06

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(WUT:2016-IA-008)

毋飛鵬(1991-)，男，碩士研究生，主要從事光鑷技術(shù)的研究。

*通訊聯(lián)系人。E-mail:zlliu_72@whut.edu.cn

2017-03-31；

2017-05-09

O436

A

10.7510/jgjs.issn.1001-3806.2018.01.014