吳 萌

（91404部隊(duì) 秦皇島 066000）

基于Toeplitz矩陣的MIMO雷達(dá)DOA估計(jì)?

吳 萌

（91404部隊(duì) 秦皇島 066000）

多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）雷達(dá)在目標(biāo)識(shí)別和參數(shù)估計(jì)方面具有獨(dú)到的優(yōu)勢(shì)，DOA估計(jì)是MIMO雷達(dá)參數(shù)估計(jì)的重要內(nèi)容。從MIMO雷達(dá)接收信號(hào)模型出發(fā)，推導(dǎo)了發(fā)射正交信號(hào)，在接收端匹配濾波的過(guò)程，提出了一種接收信號(hào)協(xié)方差toeplitz矩陣的構(gòu)造方法以實(shí)現(xiàn)信號(hào)解相干?；诟叻直孀涌臻gMUSIC方法對(duì)算法估計(jì)性能進(jìn)行了對(duì)比研究，仿真結(jié)果表明，在相同的條件下所提出的算法能夠?qū)崿F(xiàn)低信噪比條件下目標(biāo)信號(hào)解相干，可以估計(jì)相鄰目標(biāo)方位，具有較好的估計(jì)能力。

MIMO雷達(dá)；DOA估計(jì)；toeplitz矩陣

1 引言

多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Out?put，MIMO）雷達(dá)是近年提出的一種新體制雷達(dá)，其顯著特點(diǎn)是具有空間分集和信號(hào)分集特征。MIMO雷達(dá)能夠抑制目標(biāo)信號(hào)閃爍和信道衰落的影響，擴(kuò)展雷達(dá)有效陣列孔徑，增大系統(tǒng)自由度，在目標(biāo)識(shí)別及參數(shù)估計(jì)方面具有獨(dú)到的優(yōu)勢(shì)［1～3］。

確定目標(biāo)的方位，即回波到達(dá)方位（DOA）估計(jì)，是MIMO雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的主要內(nèi)容，受到研究者極大關(guān)注，由此發(fā)展了多種估計(jì)方法。傳統(tǒng)的常規(guī)波束形成方法受瑞利限（Rayleigh Limita?tion）制約，無(wú)法分辨位于同一波束內(nèi)的目標(biāo)，其估計(jì)能力有限。而后發(fā)展的高分辨率空間譜估計(jì)方法突破了瑞利限的限制，具有多信號(hào)同時(shí)測(cè)向、超分辨率、測(cè)向精度高等顯著優(yōu)點(diǎn)，已成為DOA估計(jì)的主要方法。其中的子空間類(lèi)算法，如經(jīng)典的MU?SIC、ESPRIT等算法因計(jì)算方便、估計(jì)性能優(yōu)越而獲得廣泛的應(yīng)用［4～6］。子空間類(lèi)算法的原理是將接收信號(hào)相關(guān)矩陣分解為信號(hào)子空間和噪聲子空間，利用信號(hào)及噪聲子空間的正交特性進(jìn)行DOA估計(jì)。子空間類(lèi)算法在非相干信號(hào)環(huán)境中有很好的估計(jì)性能，但在相干信號(hào)環(huán)境中，由于接收信號(hào)相關(guān)矩陣秩的退化，實(shí)際目標(biāo)方向向量張成的信號(hào)子空間與陣列數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣推得的信號(hào)子空間不一致，實(shí)際方向向量張成的信號(hào)子空間與噪聲子空間不再正交，導(dǎo)致子空間類(lèi)算法性能下降甚至完全失效［7～8］。

針對(duì)這一問(wèn)題，眾多學(xué)者提出了許多接收信號(hào)解相干方法，來(lái)彌補(bǔ)子空間類(lèi)DOA估計(jì)方法的缺陷，主要包括降維與非降維兩類(lèi)方法［9～11］。采用降維類(lèi)方法如空間平滑法解相干時(shí)損失了雷達(dá)陣列的物理孔徑，導(dǎo)致目標(biāo)分辨力下降。而非降維類(lèi)方法避免這一問(wèn)題，且沒(méi)有特定條件限制，成為解相干處理的重要方法。本文分析了MIMO雷達(dá)信號(hào)模型的特點(diǎn)，提出一種非降維類(lèi)Toeplitz矩陣解相干算法，將其應(yīng)用于MIMO雷達(dá)DOA估計(jì)，并基于子空間類(lèi)算法分析研究了Toeplitz矩陣方法的性能。

2 MIMO雷達(dá)信號(hào)模型

作如下假設(shè)：

1）接收的目標(biāo)信號(hào)為窄帶信號(hào)；

2）接收基陣位于信號(hào)源的遠(yuǎn)場(chǎng)，可近似認(rèn)為接收到的信號(hào)為平面波；

3）接收陣元的幾何尺寸遠(yuǎn)小于入射平面波的波長(zhǎng)λ，且陣元無(wú)指向性，可以近似認(rèn)為接收陣元是點(diǎn)元，空間增益為1；

4）各接收陣元相互獨(dú)立，各陣元噪聲互不相關(guān)。

討論MIMO雷達(dá)發(fā)射陣和接收陣均為等距線陣的情況，設(shè)發(fā)射陣和接收陣陣元數(shù)分別為N和M，陣元間距分別為dt和dr。為保證接收信號(hào)不產(chǎn)生分辨模糊，接收陣元間距滿足半波長(zhǎng)條件，即dr≤λ/2，其中λ為載波波長(zhǎng)，本文取 dr=λ/2。

各發(fā)射陣元發(fā)射互相獨(dú)立的窄帶信號(hào)：

令第一個(gè)發(fā)射陣元為參考發(fā)射陣元，則目標(biāo)k處發(fā)射導(dǎo)向矢量為

其中，θk為目標(biāo)k相對(duì)發(fā)射陣列法線方向的夾角。

ai(θk)為發(fā)射導(dǎo)向矢量的第i個(gè)元素，目標(biāo)k處疊加信號(hào)為

假設(shè)目標(biāo)k散射系數(shù)為常數(shù)βk，則接收陣列各陣元接收到散射信號(hào)為

其中，b(θk)為目標(biāo)k的接收導(dǎo)向矢量：

w(t)為接收陣列噪聲矢量：

對(duì)于存在K個(gè)目標(biāo)的情況，接收信號(hào)即為

令L為快拍數(shù)，則l快拍時(shí)刻式（7）采樣的信號(hào)模型為

式（8）寫(xiě)成矩陣形式為

其中，S∈CN×L為正交發(fā)射信號(hào)陣列，滿足SSH=IN，IN為 N×N維單位矩陣；W∈CM×L為復(fù)高斯白噪聲。

將各接收陣元的接收信號(hào)與N個(gè)發(fā)射信號(hào)進(jìn)行匹配濾波處理，整個(gè)匹配濾波器組的輸出信號(hào)矩陣為

其中，V=∑WSH/L。將式（10）中的矩陣Y以向量的形式給出，可以表示為

其中，b(θ)∈CM×K是接收導(dǎo)向矢量矩陣，a(θ)∈CN×K是發(fā)射導(dǎo)向矢量矩陣。

3 Toeplitz方法

采用前向平滑的方法計(jì)算接收陣列相關(guān)矩陣

理想情況下，均勻線陣接收信號(hào)協(xié)方差矩陣具有明顯的Toeplitz性質(zhì)，矩陣具有共軛對(duì)稱性，但在實(shí)際中，由于快拍數(shù)的有限性和噪聲的干擾或者多徑干擾，這種性質(zhì)往往受到破壞，尤其在低信噪比情況下，接收信號(hào)協(xié)方差矩陣一般只是對(duì)角占優(yōu)。可以通過(guò)對(duì)矩陣原有數(shù)據(jù)的Toeplitz化構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣以接近真實(shí)的協(xié)方差矩陣，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的解相干。

取接收陣列第m個(gè)陣元為參考陣元，將其它各陣元接收信號(hào)與參考陣元進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，得：

利用rxx(m)為行構(gòu)造Toeplitz矩陣 RT(m)，其上三角元素為

下三角元素為

則所構(gòu)造的Toeplitz矩陣為

為了更有效利用接收陣列信號(hào)，分別以各接收陣元為參考陣元，采用以上方法構(gòu)造Toeplitz矩陣并進(jìn)行平均，則算法性能會(huì)更好，即：

將所構(gòu)造的Toeplitz矩陣作為接收信號(hào)協(xié)方差矩陣的似然估計(jì)，采用子空間類(lèi)方法進(jìn)行DOA估計(jì)，基于Toeplitz矩陣進(jìn)行MUSIC空間譜估計(jì)公式為

式中，a(θ)為接收陣列在θ方位上的導(dǎo)向矢量，表征信號(hào)子空間；Vn為對(duì)矩陣RT進(jìn)行特征分解后張成的噪聲子空間。在來(lái)波方向接收導(dǎo)向矢量與噪聲子空間矩陣正交，上式分母取極小值，MUSIC空間譜產(chǎn)生尖峰值，遍歷角度值θ，搜索空間譜峰值則可獲得信號(hào)源方位。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析［12～15］

為了驗(yàn)證算法的有效性，分別采用Toeplitz矩陣和空間平滑算法對(duì)接收信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行預(yù)處理，并運(yùn)用子空間類(lèi)MUSIC算法進(jìn)行MIMO雷達(dá)DOA譜估計(jì)，將此兩種算法與傳統(tǒng)MUSIC算法進(jìn)行對(duì)比分析。

采用6個(gè)發(fā)射陣元，10個(gè)接收陣元，接收陣列為等距線陣，接收陣元間隔半波長(zhǎng)，快拍數(shù)100?？臻g平滑算法子陣陣元數(shù)5，則子陣個(gè)數(shù)為6。存在 5個(gè)目標(biāo)，波達(dá)方向分別為-20°、0°、5°、10°和20°。信噪比SNR=10dB時(shí)，采用傳統(tǒng)MUSIC算法、Toeplitz-MUSIC算法和FBSS-MUSIC算法分別進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)，蒙特卡羅仿真次數(shù)為200次，仿真結(jié)果如圖1所示，圖中虛線為MUSIC算法估計(jì)空間譜，實(shí)線為T(mén)oeplitz-MUSIC算法估計(jì)空間譜。

圖1 MUSIC/Toeplitz-MUSIC/FBSS-MUSIC波達(dá)方向估計(jì)空間譜（目標(biāo)數(shù)5，SNR=10）

由仿真過(guò)程知在此仿真條件下，空間平滑算法失效，這主要是由于空間平滑算法引起陣列孔徑損失，造成陣列自由度降低、可分辨目標(biāo)數(shù)目減少。MUSIC方法及改進(jìn)的Toeplitz-MUSIC方法分辨力較高，理論上可識(shí)別與接收陣元幾乎相當(dāng)?shù)哪繕?biāo)數(shù)目，Toeplitz矩陣方法沒(méi)有造成陣列孔徑損失。由圖1可見(jiàn)，MUSIC方法及Toeplitz-MUSIC方法在目標(biāo)方位附近均產(chǎn)生明顯的譜峰，但后者空間譜旁瓣較MUSIC方法更低，在目標(biāo)方位估計(jì)上更具優(yōu)勢(shì)。目標(biāo)方位接近時(shí)，Toeplitz-MUSIC方法譜峰和峰谷特征較明顯，表明此種方法成功實(shí)現(xiàn)了相鄰目標(biāo)回波信號(hào)的解相干，在DOA估計(jì)上更具優(yōu)勢(shì)。

采用4個(gè)發(fā)射陣元，10個(gè)接收陣元等距線陣，目標(biāo)方位在0°和5°，快拍數(shù)80，蒙特卡羅仿真次數(shù)為200次，統(tǒng)計(jì)三種DOA估計(jì)算法的均方根誤差隨信噪比變化，取0°目標(biāo)曲線如圖2所示。可以看到，各算法均方根誤差隨信噪比的增大總體呈減小的趨勢(shì)，隨信噪比增加DOA估計(jì)精度不斷提高。總體來(lái)說(shuō)看，Toeplitz-MUSIC方法具有較小的估計(jì)均方根誤差，表明這一算法具有較高的估計(jì)精度。低信噪比時(shí)這一特征尤其顯著，仿真條件相同時(shí)，同一信噪比下Toeplitz-MUSIC方法精度較另外兩種有最高的估計(jì)精度。表明Toeplitz-MUSIC方法在低信噪比環(huán)境下能夠?qū)崿F(xiàn)相干信號(hào)DOA估計(jì)，且具有較高估計(jì)精度。

圖2 MUSIC/Toeplitz-MUSIC/FBSS-MUSIC波達(dá)方向估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化曲線（陣元數(shù)10，快拍數(shù)80）

圖3為采用4個(gè)發(fā)射陣元，10個(gè)接收陣元等距線陣，目標(biāo)方位在0°和5°，信噪比10，蒙特卡羅仿真次數(shù)為200次，三種估計(jì)算法的均方根誤差隨快拍數(shù)變化曲線，取0°方位目標(biāo)仿真結(jié)果。隨快拍數(shù)增大，各方法估計(jì)精度不斷提高，且當(dāng)快拍數(shù)大于一定值后對(duì)各算法均方誤差影響降低，表明增加接收信號(hào)數(shù)據(jù)量可以提高M(jìn)IMO雷達(dá)DOA估計(jì)精度，但隨其增加對(duì)估計(jì)精度的作用減弱，且使用要求也對(duì)接收信號(hào)數(shù)據(jù)量產(chǎn)生限制。由圖可見(jiàn)，To?eplitz-MUSIC算法的估計(jì)精度高于另外兩種算法，此算法可以在較少的接收信號(hào)數(shù)據(jù)量情況下獲得需要的估計(jì)性能。

圖3 MUSIC/Toeplitz-MUSIC/FBSS-MUSIC波達(dá)方向估計(jì)均方誤差隨快拍數(shù)變化曲線（陣元數(shù)10，SNR=10）

圖4 為采用4個(gè)發(fā)射陣元，目標(biāo)方位在0°和5°，快拍數(shù)80，蒙特卡羅仿真次數(shù)為200次，三種估計(jì)算法的均方根誤差隨陣元數(shù)變化曲線，取0°目標(biāo)結(jié)果。由圖可見(jiàn)，Toeplitz-MUSIC算法的估計(jì)精度高于空間平滑F(xiàn)BSS-MUSIC算法及傳統(tǒng)MUSIC算法，隨陣元數(shù)增大，各方法估計(jì)精度不斷提高。

圖4 MUSIC/Toeplitz-MUSIC/FBSS-MUSIC波達(dá)方向估計(jì)均方誤差隨陣元數(shù)變化曲線（快拍數(shù)80，SNR=10）

由估計(jì)均方根誤差分析過(guò)程可見(jiàn)，對(duì)空間方位相鄰目標(biāo)估計(jì)方面，三種算法中Toeplitz-MUSIC具有最高的精度，Toeplitz-MUSIC算法能成功實(shí)現(xiàn)對(duì)低信噪比方位相鄰目標(biāo)進(jìn)行精確估計(jì)。

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)均勻線陣MIMO雷達(dá)，建立了雷達(dá)的匹配濾波信號(hào)模型，采用一種Toeplitz矩陣構(gòu)造方法，結(jié)合MUSIC算法對(duì)MIMO雷達(dá)DOA估計(jì)性能進(jìn)行了對(duì)比研究。仿真結(jié)果表明，所采用的To?eplitz矩陣構(gòu)造方法能夠在低信噪比條件下實(shí)現(xiàn)相鄰角度目標(biāo)的估計(jì)，具有較高的估計(jì)精度和性能。

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DOA Estimation Based on Toeplitz Matrix for MIMO Radar

WU Meng
（No.91404 Troops of PLA，Qinhuangdao 066000）

Direction of arrival（DOA）estimation is an important aspect of MIMO radar，which have significant advantages in target detection and parameter estimation.Commencing with signal model of MIMO radar，the process of filtering in receiver was de?duced by transmitting orthogonal signals and a construction method of covariance matrix of

signals was proposed to realize signals decoherence.Based on the MUSIC algorithm，the DOA estimation performances were studied contrastively，the result indi?cated that the toeplitz-music algorithm proposed could estimate the direction of closer target and had a high accuracy under same conditions.The algorithm proposed gets good decoherence effect and estimation performances in low signal-to-noise ratio condi?tions.

MIMO radar，DOA estimation，toeplitz matrix

Class Number TN957

TN957

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.12.015

2017年6月2日，

2017年7月25日

吳萌，男，助理工程師，研究方向：作戰(zhàn)指揮系統(tǒng)試驗(yàn)。