葛素兒

【編者按】幾何直觀，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》中的核心詞匯之一，一線(xiàn)教師在實(shí)際教學(xué)中時(shí)常能夠接觸到。作為能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的重要手段，廣大教師對(duì)其內(nèi)涵外延的理解程度，關(guān)系到教學(xué)效果的提升。本期圍繞“透視幾何直觀本意，助力學(xué)生理解數(shù)學(xué)”話(huà)題，展示教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與成果。

筆者認(rèn)為，幾何直觀是一種可視化的思維方式，其思維核心是表征，將抽象的數(shù)學(xué)概念、結(jié)構(gòu)關(guān)系、思想方法、解題策略等直觀揭示或表征出來(lái)。它具有雙重屬性：一是一種思維形式，學(xué)生的思維形式經(jīng)歷動(dòng)作表征、圖形直觀（表征）、符號(hào)表征三個(gè)階段。二是一種解題策略，是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題并實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的模型轉(zhuǎn)換的一種基本思想和基本方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生除了用規(guī)范的幾何圖形表達(dá)數(shù)學(xué)思維以外，更多地使用他們獨(dú)有的圖形符號(hào)系統(tǒng)。

幾何直觀事實(shí)上是借助于可視化工具進(jìn)行的可視化學(xué)習(xí)過(guò)程（圖1）。如何基于幾何直觀展開(kāi)教學(xué)呢？筆者就以“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”教學(xué)來(lái)談?wù)勛约旱囊恍┚唧w做法。

一、關(guān)注可視化工具的運(yùn)用：借助怎樣的直觀圖示表征知識(shí)

可視化工具是幾何直觀的重要載體。借助可視化工具，可以使教學(xué)變“被動(dòng)”為“主動(dòng)”，變“抽象”為“形象”，從“形式”走向“本質(zhì)”。

1. 現(xiàn)行六套教材直觀圖示的比較。

在分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)教學(xué)中，筆者研讀了現(xiàn)行人教版、浙教版、北師大版等六套教材，發(fā)現(xiàn)各版本的教材設(shè)計(jì)都凸顯了“幾何直觀”這一元素，通常借助于以下直觀圖示：實(shí)物圖、面積模型（長(zhǎng)方形、正方形、圓平均分成幾份）、數(shù)線(xiàn)模型（半抽象線(xiàn)段模型）、線(xiàn)段模型（數(shù)軸雛形）等。

通過(guò)比較，筆者發(fā)現(xiàn)所有版本的教材，都注重直觀模型的提供，鼓勵(lì)學(xué)生從直觀角度，主動(dòng)地觀察和發(fā)現(xiàn)，在討論交流的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。其中，浙教版、北師大版和青島版出現(xiàn)了數(shù)線(xiàn)這樣的半抽象線(xiàn)段模型，北師大版教材亦出現(xiàn)抽象的線(xiàn)段模型。

2. 合理運(yùn)用直觀圖示，讓知識(shí)可視化。

實(shí)物模型、面積模型、數(shù)線(xiàn)模型等都是分?jǐn)?shù)教學(xué)的主要直觀圖示，在分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)教學(xué)中，面積模型、數(shù)線(xiàn)模型等在學(xué)習(xí)中的地位更重要。面積模型是指用面積的“部分—整體”表示分?jǐn)?shù)。數(shù)線(xiàn)模型與分?jǐn)?shù)的面積模型有著密切的聯(lián)系：一個(gè)分?jǐn)?shù)可以表示單位面積的一部分，也可表示單位長(zhǎng)度的一部分，前者是二維的面，后者是趨近一維的線(xiàn)。可以說(shuō)，數(shù)線(xiàn)模型其實(shí)是數(shù)軸的前身，是用點(diǎn)來(lái)刻畫(huà)分?jǐn)?shù)。

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)起著“承上啟下”的作用，其核心在于分?jǐn)?shù)單位?；诹康氖睾?，聚焦分?jǐn)?shù)單位，在度量中尋找等值分?jǐn)?shù)，可能會(huì)使教學(xué)豁然開(kāi)朗。在這個(gè)過(guò)程中，一個(gè)重要的幾何載體即線(xiàn)段模型應(yīng)發(fā)揮作用。各版本的教材比較中，浙教版、青島版及北師大版均出現(xiàn)了半抽象或抽象的線(xiàn)段模型。筆者認(rèn)為，在新知探究環(huán)節(jié)，半抽象的數(shù)線(xiàn)模型應(yīng)占據(jù)重要的地位；在知識(shí)應(yīng)用環(huán)節(jié)，抽象的線(xiàn)段模型也應(yīng)有其一席之地。

二、經(jīng)歷可視化學(xué)習(xí)過(guò)程：如何發(fā)揮直觀圖示的思維支架作用

幾何直觀教學(xué)中，通常以直觀圖示為支架，從讀圖引入，經(jīng)歷表征和互譯的可視化學(xué)習(xí)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從使用支架到改造支架再到創(chuàng)建支架的過(guò)程，發(fā)揮圖像在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的不同層次思維加工作用，讓學(xué)生從具象思維慢慢向邏輯思維發(fā)展，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情理相融的特質(zhì)。

1. 基于讀圖：直觀發(fā)現(xiàn)，感知體悟。

讀圖是幾何直觀的第一步，是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的重要方法與技能，通過(guò)讀圖活動(dòng)讓學(xué)生感知理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，建立直觀表象。教學(xué)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)時(shí)，需要我們靈活運(yùn)用好直觀圖示，引導(dǎo)學(xué)生從讀圖開(kāi)始，初步感悟分?jǐn)?shù)之間的相等關(guān)系。例如北師大版教材中提供的材料，把從合并圖到擴(kuò)充圖來(lái)回變化的過(guò)程動(dòng)態(tài)化，讓學(xué)生來(lái)理解分?jǐn)?shù)的擴(kuò)充，采用兩幅或多幅對(duì)比圖理解分子、分母的變化，理解等值內(nèi)涵，感悟分子、分母之間的變化規(guī)律。

我們也可以一起來(lái)看以下教學(xué)片段，感受學(xué)生通過(guò)讀圖理解知識(shí)的過(guò)程。

（1）課件：出示一面分?jǐn)?shù)墻（圖2）。

師：你能在這面墻中找到哪些分?jǐn)?shù)呢？（學(xué)生自由說(shuō)）

（2）分解分?jǐn)?shù)墻：你們知道這面墻是怎樣形成的嗎？老師把這面墻拆開(kāi)（圖3），動(dòng)態(tài)依次呈現(xiàn) 、 、 ，說(shuō)一說(shuō)這些分?jǐn)?shù)分別表示什么意思， 、 、 又表示什么意思？它們之間有怎樣的關(guān)系呢？請(qǐng)同桌互相說(shuō)一說(shuō)。

師生梳理、總結(jié)得出：1= = = = ……

師追問(wèn)：你還能說(shuō)出與1相等的其他分?jǐn)?shù)嗎？為什么這些分?jǐn)?shù)可以用等號(hào)連接呢？

（3）揭示課題：像這樣的分?jǐn)?shù)我們就叫作相等的分?jǐn)?shù)，剛才我們找了與1相等的分?jǐn)?shù)，那么像與 、 相等的分?jǐn)?shù)你會(huì)尋找嗎？這就是這節(jié)課我們要研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生以分?jǐn)?shù)墻為可視化圖示工具，在觀察、拆解分?jǐn)?shù)墻的過(guò)程中，激活已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在尋找與1相等的分?jǐn)?shù)過(guò)程中初步感悟等值分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵。

2. 基于表征：多維推進(jìn)，促進(jìn)內(nèi)化。

圖像表征是幾何直觀的核心環(huán)節(jié)。使用圖像表征能夠幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)符號(hào)與內(nèi)在的心理表征之間的聯(lián)結(jié)，建立分?jǐn)?shù)多種意義間的聯(lián)結(jié)。萊什在1979年提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的五種表征——實(shí)際情境、圖像、操作、口語(yǔ)符號(hào)和書(shū)寫(xiě)符號(hào)，以及表征轉(zhuǎn)化對(duì)數(shù)學(xué)概念意義的作用，圖像表征占據(jù)中心地位。參考萊什提出的數(shù)學(xué)五種表征，筆者也設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的多元表征圖（見(jiàn)圖4）。

通過(guò)這個(gè)多元表征圖，筆者想詮釋的是：學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的理解可以是多元的，學(xué)習(xí)的過(guò)程也是多元的，能夠用動(dòng)手操作來(lái)理解分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，能夠借助畫(huà)圖操作來(lái)說(shuō)明知識(shí)內(nèi)涵，能夠完整地表達(dá)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，能與商不變性質(zhì)等知識(shí)建構(gòu)聯(lián)系與溝通，同時(shí)多種表征之間可以來(lái)回互譯溝通。

在這個(gè)圖中，圖像表征是思維核心，教師引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)過(guò)程中的思考方法和看不見(jiàn)的思維路徑以圖像的方式表現(xiàn)出來(lái)，形成能夠直接作用于人的感官的知識(shí)外在表現(xiàn)形式，從而促進(jìn)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，大多數(shù)學(xué)生能以比較規(guī)范的模型圖來(lái)表征分?jǐn)?shù)之間的相等關(guān)系，如下面這個(gè)教學(xué)片段中學(xué)生呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)成果精彩紛呈。endprint

在教學(xué)中，以圖像表征為核心，借助幾何直觀為學(xué)生提供或由學(xué)生自己創(chuàng)造支撐數(shù)學(xué)形式化和邏輯推理的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、經(jīng)驗(yàn)情境和概念表象，使思維可視化、知識(shí)結(jié)構(gòu)化、數(shù)學(xué)模型化，在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。教學(xué)推進(jìn)過(guò)程可以如以下教學(xué)片段。

走進(jìn)情境：從現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)入，以“一半， = = ”為認(rèn)知特例，讓學(xué)生初步感悟分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

動(dòng)手操作：通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手操作引入，在涂一涂、折一折等活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)分子、分母的變化規(guī)律，展現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)程，體驗(yàn)具體到抽象的理解過(guò)程。

畫(huà)圖內(nèi)化：利用已有的經(jīng)驗(yàn)，利用個(gè)性化的符號(hào)，自己尋求合適的圖示（如實(shí)物抽象圖、面積模型、數(shù)線(xiàn)模型、數(shù)軸模型等）來(lái)證明分?jǐn)?shù)是否等值。

舉例驗(yàn)證： = = 圓圈里可以填什么符號(hào)？括號(hào)里能填什么數(shù)字呢？獨(dú)立思考，借助動(dòng)態(tài)圖演示，幫助學(xué)生形象理解，感悟變與不變的函數(shù)思想。

學(xué)生通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)圖示的觀察、發(fā)現(xiàn)、思索，強(qiáng)調(diào)腦、眼、手的多種感官參與，實(shí)現(xiàn)圖形之間的信息加工和重構(gòu)，完成了知識(shí)自我內(nèi)化的過(guò)程，這是幾何直觀能力培養(yǎng)的重要一環(huán)。

3. 基于互譯：多維轉(zhuǎn)換，求聯(lián)求通。

分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)教學(xué)一般教學(xué)路徑是：尋找相同分?jǐn)?shù)→觀察變化特征→發(fā)現(xiàn)概括分?jǐn)?shù)→溝通與商不變性質(zhì)聯(lián)系→知識(shí)應(yīng)用。在這個(gè)過(guò)程中，前半程滲透著不完全歸納的思想，是學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)過(guò)程。而后半程，讓學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，以及整數(shù)除法中商不變的規(guī)律來(lái)說(shuō)明商不變性質(zhì)，是培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力的過(guò)程。

兩種推理相互印證，在求聯(lián)求通的多維轉(zhuǎn)換過(guò)程中，才能加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的理解，完成知識(shí)體系的建構(gòu)。課堂上，我們可以借助具體的等式變形，讓學(xué)生比較清晰地感受知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，然后再引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖表征、數(shù)學(xué)演算、語(yǔ)言表達(dá)、舉例說(shuō)明等方式來(lái)與商不變性質(zhì)進(jìn)行溝通。

只有將具象化的現(xiàn)實(shí)情境轉(zhuǎn)化為可視化的圖示表述和數(shù)學(xué)運(yùn)算表達(dá)，知識(shí)發(fā)展的邏輯順序與學(xué)生的認(rèn)知序列相契合，學(xué)生的幾何直觀思維逐步走向深刻，能力才能慢慢形成。

數(shù)從圖中來(lái)，數(shù)回圖中去，以讀圖為入口，通過(guò)表征、互譯等手段對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行生成性加工，這是幾何直觀的三個(gè)重要環(huán)節(jié)。只有經(jīng)歷不同數(shù)學(xué)語(yǔ)言不斷轉(zhuǎn)化、互譯的過(guò)程，才能使學(xué)生的直覺(jué)、形象思維上升到理性思維的層次。

（作者單位：浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)富春第二小學(xué)）endprint