胡學(xué)剛，邱秀蘭

(1.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065； 2.重慶郵電大學(xué) 系統(tǒng)理論與應(yīng)用研究中心，重慶 400065)

基于Snake模型的圖像分割新算法

胡學(xué)剛1,2，邱秀蘭1*

(1.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065； 2.重慶郵電大學(xué) 系統(tǒng)理論與應(yīng)用研究中心，重慶 400065)

針對(duì)目前基于Snake模型的圖像分割算法普遍存在噪聲魯棒性差、適用范圍受限、易發(fā)生弱邊緣泄露以及輪廓曲線難以收斂到細(xì)小深凹邊界的缺陷，提出了一種基于Snake模型的圖像分割新算法。首先，選取新的擴(kuò)散項(xiàng)代替具有各向同性光滑作用的拉普拉斯算子；其次，引入p-拉普拉斯泛函到平滑能量項(xiàng)中強(qiáng)化法線方向外力；最后，利用邊緣保護(hù)項(xiàng)使外力場(chǎng)方向與邊緣方向一致，以防止弱邊緣泄漏并促使輪廓線收斂到細(xì)小深凹邊界。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提模型不僅克服了現(xiàn)有基于Snake模型的圖像分割算法的缺陷，具有更好的分割效果，明顯提高了抗噪性能和角點(diǎn)定位精度，而且耗時(shí)更少，適用于噪聲圖像、醫(yī)學(xué)圖像以及含有很多弱邊緣的自然圖像分割。

圖像分割；Snake模型；梯度向量流；邊緣保護(hù)；弱邊緣

0 引言

圖像分割是圖像分析到圖像理解的關(guān)鍵步驟[1]?；顒?dòng)輪廓模型是獲取目標(biāo)邊界的重要工具之一，具有良好的封閉性與平滑性，被廣泛應(yīng)用于圖像分割領(lǐng)域中。參數(shù)活動(dòng)輪廓模型又稱為Snake模型，自Kass等[2]提出以來，已廣泛應(yīng)用于數(shù)字圖像分析和計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域[3]。其基本原理是將圖像分割視為輪廓曲線演化問題，通過最小化曲線能量泛函得到最終的目標(biāo)邊緣。

在Snake模型中，外部力在整個(gè)曲線收斂過程中具有重要作用。傳統(tǒng)Snake模型的外部力為高斯勢(shì)能力，存在兩大難點(diǎn)：一是初始輪廓線必須靠近真實(shí)邊界，二是難以收斂到凹部邊界[4-5]。眾多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了一系列的研究。Xu等[4]針對(duì)這兩個(gè)難點(diǎn)提出的梯度向量流(Gradient Vector Flow, GVF)Snake模型和廣義梯度向量流(Generalized GVF, GGVF)Snake模型[6]，均采用擴(kuò)散的方式。這兩個(gè)模型都將梯度信息擴(kuò)散至平滑區(qū)域，具有捕獲范圍較大、能收斂到一般凹部邊界的優(yōu)勢(shì)，但都不能收斂到細(xì)小凹部邊界[7]。在GVF模型的擴(kuò)散過程中，法向外力分量在曲線收斂到凹部邊界過程中起著更加重要的作用。Ning等[8]提出的法向梯度向量流(Normalized GVF, NGVF)Snake模型，僅保留沿邊緣法向的外力分量，缺失了切向的外力分量，易消除弱邊緣且噪聲魯棒性差。Bhan等[9]延用GGVF模型思想，提出了改進(jìn)的GVF模型，能夠促使輪廓曲線運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)凹部，但計(jì)算復(fù)雜度高。

傳統(tǒng)Snake模型及其改進(jìn)模型獲取外力場(chǎng)的能量泛函都僅僅利用梯度大小，而忽略了外力場(chǎng)的方向信息。為此學(xué)者們做了大量的嘗試。例如，Li等[10]通過添加邊緣保真項(xiàng)，使外力場(chǎng)方向與邊緣方向一致，提出的邊緣保護(hù)梯度向量流(Edge Preserving GVF, EPGVF)Snake模型有效防止了曲線穿過弱邊緣，但這種模型的角點(diǎn)定位仍不夠精確。胡學(xué)剛等[11]在EPGVF模型的基礎(chǔ)上通過構(gòu)造新的邊緣保真項(xiàng)提出了一種新的分割模型，提高了角點(diǎn)定位的精確率，但噪聲魯棒性較差。分析發(fā)現(xiàn)，以上模型僅改進(jìn)保真項(xiàng)，它們的平滑項(xiàng)中拉普拉斯算子對(duì)外力場(chǎng)都產(chǎn)生各向同性光滑作用，不利于保護(hù)弱邊緣。針對(duì)這些問題，研究者們又提出了一系列改進(jìn)算法。例如,Wu等[12]提出的Snake分割模型具有保護(hù)弱邊緣、抗噪性能好等優(yōu)勢(shì)，但對(duì)角點(diǎn)的定位仍需改進(jìn)。Amin等[13]通過對(duì)醫(yī)學(xué)圖像的分析，在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上引入新的權(quán)重系數(shù)提出了改進(jìn)的自適應(yīng)擴(kuò)散流模型，該模型對(duì)醫(yī)學(xué)圖像具有計(jì)算復(fù)雜度較低，噪聲魯棒性好的優(yōu)勢(shì)，但易陷入局部極小。

如何在保留現(xiàn)有模型優(yōu)勢(shì)的同時(shí)，提高分割效果和分割效率，又具有保護(hù)弱邊緣、抗噪性能好等優(yōu)勢(shì)是目前圖像分割亟待解決的問題。尋找恰當(dāng)?shù)钠交?xiàng)，構(gòu)造新的Snake模型是解決該問題的關(guān)鍵。針對(duì)這些問題，本文提出了一種基于Snake模型的圖像分割新算法。該算法構(gòu)造新的平滑項(xiàng)替代傳統(tǒng)拉普拉斯算子，從而強(qiáng)化沿邊緣法線方向的外力；再考慮外力場(chǎng)方向信息，借助邊緣保護(hù)項(xiàng)使外力場(chǎng)方向與邊緣方向一致。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的模型不僅能防止弱邊緣泄露，還能促使輪廓線收斂到細(xì)小深凹邊界，明顯提高了抗噪性能和角點(diǎn)定位精度，具有更好的分割效果。

1 Snake模型

假設(shè)輪廓曲線為C(s)=(x(s),y(s)),s∈[0,1]，s表示弧長(zhǎng)參數(shù)，該曲線在式(1)能量泛函的驅(qū)使下得到分割結(jié)果。

Eext(C(s))}ds

(1)

其中：α和β分別是控制Snake模型的彈性能量與剛性能量的權(quán)重系數(shù)。積分的第一項(xiàng)稱為內(nèi)部能量，只與曲線自身相關(guān)，使曲線在形變過程中保持連續(xù)性與光滑性；第二項(xiàng)稱為外部能量，僅來源于圖像，能夠驅(qū)使曲線不斷向目標(biāo)邊界運(yùn)動(dòng)。

由變分原理可知，式(1)最小化必要條件是要求C(s)必須滿足下列歐拉方程：

αC″(s)-βC″″(s)-▽Eext=0

(2)

引入時(shí)間t得到如下動(dòng)態(tài)方程：

Ct(s,t)=αC″(s,t)-βC″″(s,t)-▽Eext

(3)

當(dāng)式(3)求得穩(wěn)態(tài)解，即為式(2)的解。

GVF模型引入梯度向量流V(x,y)=(u(x,y),v(x,y))代替?zhèn)鹘y(tǒng)Snake模型的外部力-▽Eext，通過最小化下列能量泛函獲得外力場(chǎng)：

(4)

其中：μ是控制外力場(chǎng)平滑程度的權(quán)重系數(shù)；f(x,y)是圖像的邊緣映射。當(dāng)曲線遠(yuǎn)離目標(biāo)輪廓時(shí)，第一項(xiàng)(平滑項(xiàng))起主導(dǎo)作用;反之，第二項(xiàng)(數(shù)據(jù)項(xiàng))起主導(dǎo)作用，從而擴(kuò)大捕獲范圍。

根據(jù)變分原理，通過解下列歐拉方程得到GVF場(chǎng)：

(5)

式中▽2表示拉普拉斯算子。

由文獻(xiàn)[8]可知，式(5)中的拉普拉斯算子對(duì)外力場(chǎng)產(chǎn)生各向同性光滑作用，不能保護(hù)邊緣。根據(jù)圖像局部結(jié)構(gòu)，將拉普拉斯算子分解成法向和切向兩個(gè)擴(kuò)散分量。其中法向擴(kuò)散力在曲線收斂到凹部邊界過程中起主要作用，由此得到如下NGVF模型相應(yīng)的歐拉方程：

(6)

式中unn和vnn是法向擴(kuò)散力。

針對(duì)GVF模型與NGVF模型難以檢測(cè)到弱邊緣的問題，EPGVF模型在數(shù)據(jù)項(xiàng)中增加了μ|JVP|2項(xiàng)，這里JV是外力場(chǎng)V的雅可比矩陣，并且保留了水平方向擴(kuò)散力。通過最小化式(7)獲得外力場(chǎng)：

ε=?g(x,y)|▽V|2+h(x,y)(μ|JVP|2+

|V-▽f|2) dxdy

(7)

式(7)對(duì)應(yīng)的歐拉方程如下：

(8)

解式(8)可得到外力場(chǎng)。

2 本文模型

EPGVF模型的邊緣保護(hù)項(xiàng)μ|JVP|2可以使外力沿邊緣方向平滑，卻易陷入局部極小并且角點(diǎn)定位不精確。對(duì)此，本文首先構(gòu)造新的泛函促使曲線收斂到細(xì)小深凹邊界。由NGVF模型可知，拉普拉斯算子可分解成沿法線方向和切線方向兩個(gè)分量，并且法向擴(kuò)散分量具有促使輪廓線收斂到深凹部位的作用。為此，本文利用如下p-拉普拉斯泛函鼓勵(lì)法向外力場(chǎng)分量：

(9)

最小化式(9)必須滿足下列歐拉方程：

div(|▽V|p-2▽V)=0

(10)

受文獻(xiàn)[11]的啟發(fā)，本文給出如下雅可比矩陣來改進(jìn)邊緣保護(hù)項(xiàng)，以提高角點(diǎn)定位精度:

(11)

由于EPGVF模型平滑項(xiàng)的權(quán)重系數(shù)均通過人工選取，具有較大的主觀性與局限性，影響實(shí)際應(yīng)用。本文引入與圖像梯度相結(jié)合的權(quán)重系數(shù)m和1-m，對(duì)于平滑項(xiàng)參數(shù)實(shí)現(xiàn)了自動(dòng)選取，拓寬模型的適用范圍并提高分割精度。

(12)

式中K=1.482 6E(||▽f|-E(|▽f|)|),E(·)為均值。

根據(jù)以上分析，得到本文的能量泛函如下：

(1/(q(|▽f|)))(1+|Gσ?▽V|2)q(|▽f|)/2)+

h(|▽f|)(μ|JVP|2+|V-▽f|2) dxdy

(13)

由變分原理可得式(13)相應(yīng)的歐拉方程組：

(14)

類似于GVF模型獲得數(shù)值解的方法，容易得到如下的本文模型的數(shù)值解的迭代公式：

(15)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

以人工合成圖像、心臟CT圖像、腦部CT圖像、鮮花和鳥自然圖像作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，分別用文獻(xiàn)[5]模型、文獻(xiàn)[14]模型、文獻(xiàn)[11]模型與本文模型進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為Windows 7操作系統(tǒng)，IntelI Celeron E5700處理器，主頻2.60 GHz，3.00 GB內(nèi)存，Matlab R2012a。各模型參數(shù)的選取方法見下列對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)，其中對(duì)比模型的參數(shù)按相關(guān)文獻(xiàn)的要求選取。

首先，選取64×64含有弱邊緣的合成圖像為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，如圖1(a)所示，其右邊邊緣為弱邊緣，不遠(yuǎn)處還有一條黑色的強(qiáng)邊緣線。參與比較的四種模型均選取參數(shù)α=0.04，β=0.4，τ=0.5；本文模型其余參數(shù)δ=0.01、μ=0.1；文獻(xiàn)[5]模型μ=0.1、k=0.36；文獻(xiàn)[14]模型μ=0.2；文獻(xiàn)[11]模型μ=0.1、k=0.08。圖1(a)的圓形曲線為初始輪廓線，圖1(b)為分割的金標(biāo)準(zhǔn)，圖1(c)～(f)分別為文獻(xiàn)[5]模型、文獻(xiàn)[14]模型、文獻(xiàn)[11]模型和本文模型的分割結(jié)果。從圖1可以看出：文獻(xiàn)[5]和[11]模型在拐角處都未能準(zhǔn)確分割；文獻(xiàn)[14]模型受到了強(qiáng)邊緣的干擾導(dǎo)致分割錯(cuò)誤；而本文模型能夠較為準(zhǔn)確地分割出拐角邊界并且很好地檢測(cè)出了弱邊緣。

圖1 弱邊緣合成圖像分割結(jié)果Fig. 1 Segmentation results of synthetic image with weak edge

其次，選取128×128合成圖像，并加入了均值為0、方差為30的高斯噪聲，如圖2(a)所示,以此驗(yàn)證模型的抗噪性能。比較的四種模型均選取參數(shù)α=0.5，β=0.5，τ=0.5；本文模型其余參數(shù)δ=0.6，μ=0.1；文獻(xiàn)[5]模型其余參數(shù)μ=0.18，k=0.36；文獻(xiàn)[14]模型μ=0.01；文獻(xiàn)[11]模型μ=0.1，k=0.08。圖2(a)的圓形曲線為初始輪廓線，圖2(b)為分割的金標(biāo)準(zhǔn)，圖2(c)～(f)分別為文獻(xiàn)[5]模型、文獻(xiàn)[14]模型、文獻(xiàn)[11]模型和本文模型的分割結(jié)果。從圖2可以看出：文獻(xiàn)[5]模型在右上角處受噪聲影響出現(xiàn)誤分割現(xiàn)象；文獻(xiàn)[14]模型在上方、下方、左方、右方均存在欠分割并且在斜方向的拐彎連接處出現(xiàn)過分割現(xiàn)象；文獻(xiàn)[11]模型在下方和右上角方向存在欠分割，在右上角出現(xiàn)過分割現(xiàn)象；而本文模型的分割結(jié)果沒有出現(xiàn)這些缺陷，分割效果最佳，很好地保護(hù)了圖像細(xì)節(jié)，并具有良好的抗噪性能。

圖3(a)中的128×128人體左心室的CT圖像帶有噪聲、圖像灰度不均勻且存在弱邊緣，選取該圖為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，以驗(yàn)證模型的有效性和實(shí)用性。按照?qǐng)D2對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)選取四種模型參數(shù)α、β和τ以及文獻(xiàn)[5]、[11]、本文模型的其余參數(shù)，另外文獻(xiàn)[14]模型其余參數(shù)μ=0.1。圖3(a)的圓形色曲線為初始輪廓線，圖3(b)為分割的金標(biāo)準(zhǔn)，圖3(c)～(f)分別為文獻(xiàn)[5]模型、文獻(xiàn)[14]模型、文獻(xiàn)[11]模型和本文模型的分割結(jié)果。從圖3可以看出：文獻(xiàn)[5]模型在左上角處受強(qiáng)邊緣影響而導(dǎo)致錯(cuò)誤分割；文獻(xiàn)[14]模型收斂的最終輪廓不夠流暢并且在左方存在欠分割現(xiàn)象；文獻(xiàn)[11]模型在右下角和左下角都受到噪聲影響，導(dǎo)致未能準(zhǔn)確分割；而本文模型能收斂到拐角處，分割效果好，既不受噪聲影響，也能夠檢測(cè)出弱邊緣。

圖2 噪聲合成圖像分割結(jié)果Fig. 2 Segmentation results of synthetic image with noise

圖3 人體左心室CT醫(yī)學(xué)圖像分割結(jié)果Fig. 3 Segmentation results of medical image of human left ventricular CT

再選取443×443人體腦部CT圖像作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象。除本文模型中參數(shù)δ取2以及文獻(xiàn)[14]參數(shù)μ取0.17之外，四種模型的其余參數(shù)同圖2對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)一致。圖4(a)的圓形曲線為初始輪廓線，圖4(b)為分割的金標(biāo)準(zhǔn)，圖4(c)～(f)分別為文獻(xiàn)[5]模型、文獻(xiàn)[14]模型、文獻(xiàn)[11]模型和本文模型的分割結(jié)果。從圖4可以發(fā)現(xiàn)：文獻(xiàn)[5]模型在正下方受到中間無關(guān)邊緣的影響，出現(xiàn)過分割現(xiàn)象；文獻(xiàn)[14]模型在左下方和右下方存在欠分割，并受到強(qiáng)邊界影響，左下方出現(xiàn)部分錯(cuò)誤分割；文獻(xiàn)[11]模型在拐角的定位上較為精準(zhǔn)，但也受到下方強(qiáng)邊界干擾，出現(xiàn)了過分割現(xiàn)象；而本文模型能夠正確分割四個(gè)長(zhǎng)窄凹面，不受過渡區(qū)域周圍強(qiáng)邊緣和無關(guān)邊緣的影響，準(zhǔn)確分割出邊緣，并且在拐角處定位較為精準(zhǔn)，得到了很好的分割效果。

圖5(a)是鮮花自然圖像，本次選取的圖像具有較為復(fù)雜的背景，且背景虛化出現(xiàn)了很多的弱邊緣。在實(shí)驗(yàn)中，四種模型均選取參數(shù)α=0.5，β=1.5，τ=0.5；本文模型其余參數(shù)δ=0.35，μ=0.1；文獻(xiàn)[5]和[11]模型參數(shù)μ、k均與圖2對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)一致；文獻(xiàn)[14]模型參數(shù)μ=0.25。圖5(a)的圓形曲線為初始輪廓線，圖5(b)為分割的金標(biāo)準(zhǔn)，圖5(c)～(f)分別為文獻(xiàn)[5]模型、文獻(xiàn)[14]模型、文獻(xiàn)[11]模型和本文模型的分割結(jié)果。顯然，本文模型分割效果最好，能夠很好地保護(hù)圖像細(xì)節(jié)，正確分割花瓣形狀，不僅不受弱邊緣的影響，而且能夠深入花瓣之間的凹縫。

圖4 人體腦部CT醫(yī)學(xué)圖像分割結(jié)果Fig. 4 Segmentation results of medical image of human brain CT

圖5 鮮花自然圖像分割結(jié)果Fig. 5 Segmentation results of flower natural image

此外，本文方法也適合對(duì)彩色自然圖像的分割。按圖2實(shí)驗(yàn)的方法選取參數(shù)α、β、μ，τ和δ分別取0.7和0.5，用本文模型對(duì)其進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖6所示。從圖6可以看出，本文模型對(duì)于顏色豐富、背景復(fù)雜的彩色圖像也可以得到理想的分割結(jié)果。

圖6 本文方法對(duì)更多自然圖像的分割結(jié)果Fig.6 Segmentation results of more natural images using the proposed method

現(xiàn)在，利用邊界位移誤差(Boundary Displace Error, BDE)客觀指標(biāo)評(píng)價(jià)分割精度[15]。BDE的計(jì)算公式為：

(16)

其中：B1為真實(shí)的邊界曲線像素點(diǎn)集合；B2為某種模型分割得到的邊界像素點(diǎn)集合；N為B2中像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)；d(i,j)表示兩個(gè)像素點(diǎn)i和j的歐氏距離。金標(biāo)準(zhǔn)分割BDE值為0，BDE值越小分割效果越好。表1給出了圖1～5對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)的BDE值，從中可以看出，本文模型的BDE值明顯小于其他三種模型，與上述實(shí)驗(yàn)的視覺比較結(jié)果一致。

關(guān)于模型的計(jì)算復(fù)雜度，表2和3分別給出了在相同軟硬件實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上的關(guān)于圖1～5對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)的模型迭代次數(shù)和收斂時(shí)間。容易發(fā)現(xiàn)，本文模型收斂速度快，其迭代次數(shù)明顯少于其他三種模型，平均耗時(shí)低于文獻(xiàn)[11]模型，比另兩種模型減少了26.7%。

表1 四種模型的BDETab. 1 BDE of four models

表2 四種模型的迭代次數(shù)Tab.2 Number of iterations of four models

表3 四種模型的收斂時(shí)間 sTab. 3 Convergence time of four models s

4 結(jié)語

本文提出了一種基于Snake模型的圖像分割新算法，首先，該算法新構(gòu)造的平滑項(xiàng)強(qiáng)化了沿邊緣法線方向的外力；其次，利用邊緣保護(hù)項(xiàng)保留了外力場(chǎng)方向信息；最后，自動(dòng)選取平滑項(xiàng)參數(shù)，克服了傳統(tǒng)人工選取參數(shù)的缺陷。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的模型不僅保持了現(xiàn)有模型捕獲范圍大、初始位置不敏感等優(yōu)勢(shì)，還有效防止弱邊緣泄露且可以收斂到細(xì)小凹部邊界，明顯提高了抗噪性能和角點(diǎn)定位精度，具有更好的分割效果。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (61571017).

HUXuegang, born in 1965, Ph. D., professor. His research interests include partial differential equation, digital image processing.

QIUXiulan, born in 1992, M. S. candidate. Her research interests include image processing and analysis.

NovelimagesegmentationalgorithmbasedonSnakemodel

HU Xuegang1,2, QIU Xiulan1*

(1.SchoolofCommunicationandInformationEngineering,ChongqingUniversityofPostsandTelecommunications,Chongqing400065,China;2.ResearchCenterofSystemTheoryandItsApplication,ChongqingUniversityofPostsandTelecommunications,Chongqing400065,China)

The existing image segmentation algorithms based on Snake model generally have the disadvantages of poor noise robustness, limited application range, easy leakage of weak edge and difficult to converge to small and deep concave boundary of contour curve. In order to solve the problems, a novel image segmentation algorithm based on Snake model was proposed. Firstly, the Laplacian operator with isotropic smoothness was replaced by the new chosen diffusion term. Secondly, thep-Laplacian functional was introduced into the smooth energy term to strengthen the external force in the normal direction. Finally, the edge-preserving term was used to keep the external force field parallel to the edge direction, so as to prevent the weak edge from leaking and promote the contour curve to converge to the small and deep concave boundary. The experimental results show that, the proposed model not only overcomes the drawbacks of the existing image segmentation algorithms based on Snake model, possesses better segmentation effect, improves the anti-noise performance and corner positioning accuracy obviously, but also consumes less time. The proposed model is suitable for segmenting noise images, medical images, and natural images with many weak edges.

image segmentation; Snake model; gradient vector flow; edge-preserving; weak edge

2017- 05- 04;

2017- 06- 11。

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61571017)。

胡學(xué)剛(1965—)，男，重慶人，教授，博士，主要研究方向：偏微分方程、數(shù)字圖像處理； 邱秀蘭(1992—)，女，江西吉安人，碩士研究生，主要研究方向：圖像處理與分析。

1001- 9081(2017)12- 3523- 05

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.12.3523

(*通信作者電子郵箱qiuxiulan121@163.com)

TP391.4

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