馮玉明

【摘要】本文通過(guò)嘗試用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言為初學(xué)“抽象代數(shù)”的學(xué)者講解“代數(shù)運(yùn)算”的概念，通過(guò)三個(gè)例子解釋了“代數(shù)運(yùn)算”的定義以及與“四則運(yùn)算”的關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】代數(shù)運(yùn)算；二元運(yùn)算；概念

一、引言

“抽象代數(shù)”課程中的“代數(shù)運(yùn)算”的定義看起來(lái)比較簡(jiǎn)單，但是對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，不太容易理解，本文嘗試用比較淺顯的例子來(lái)對(duì)這個(gè)概念加深理解.

二、“代數(shù)運(yùn)算”的定義

本文中的A，B，D指的是三個(gè)集合.

定義1[1]一個(gè)A×B到D的映射叫作一個(gè)A×B到D的代數(shù)運(yùn)算.

從定義知道，一個(gè)“代數(shù)運(yùn)算”就是一個(gè)特殊的映射.我們先看下面的例子.

例子1A×B={（1，2），（3，4）}，D={3，7}，定義映射f：A×B→D為

（1，2）→3，（3，4）→7，

也就是f（1，2）=3，f（3，4）=7.

那么，很顯然，這樣定義的映射f是一個(gè)從A×B到D的代數(shù)運(yùn)算.

例子2A，B，D的定義和例子1中一樣，定義映射+：A×B→D為

+（1，2）=3，+（3，4）=7.

對(duì)照例子1，這種寫(xiě)法是合理的，這其實(shí)就是我們熟知的映射的寫(xiě)法.

其實(shí)，由于“代數(shù)運(yùn)算”是一種特殊的映射，我們習(xí)慣用特殊的符號(hào)來(lái)描寫(xiě)它，例子2中的符號(hào)就比較特殊，其實(shí)，就是我們的普通加法，一般我們習(xí)慣寫(xiě)為1+2=3，而不是+（1，2）=3.

通過(guò)上面的分析，我們可以知道普通的加法、減法、乘法、除法其實(shí)都是一種特殊的映射——“代數(shù)運(yùn)算”，我們通常說(shuō)的“四則運(yùn)算”就來(lái)源于此.

再看下面這個(gè)比較抽象的例子.

例子3A，B，D是三個(gè)集合，定義：A×B→D為

（a，b）→d，

也就是d=（a，b）.

上面說(shuō)過(guò)（a，b）只是一種符號(hào)，表示元素（a，b）在映射 下的象.以后，我們都習(xí)慣性寫(xiě)作a b，而不再寫(xiě)為（a，b）.

三、“二元運(yùn)算”的定義

定義2假如 是集合A×A到A的代數(shù)運(yùn)算，我們就說(shuō) 是集合A的二元運(yùn)算，也說(shuō)集合A對(duì)于代數(shù)運(yùn)算 來(lái)說(shuō)是閉的.

通過(guò)上面的定義我們知道，“二元運(yùn)算”是特殊的“代數(shù)運(yùn)算”，也是特殊的映射.我們通常說(shuō)的，實(shí)數(shù)上的加法是閉的，就是指加法是R上的“二元運(yùn)算”，也就是加法是R×R到R上的一個(gè)映射.

通過(guò)以上分析，現(xiàn)在我們可以說(shuō)，實(shí)數(shù)集上的加減乘數(shù)“四則運(yùn)算”是實(shí)數(shù)集上的“二元運(yùn)算”，也明白了“實(shí)數(shù)集對(duì)于四則運(yùn)算來(lái)說(shuō)是閉的”的含義.

四、結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)舉例，詳細(xì)分析了“代數(shù)運(yùn)算”“二元運(yùn)算”的含義，希望能為初學(xué)“抽象代數(shù)”的學(xué)者貢獻(xiàn)一分力量.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張禾瑞.近世代數(shù)（修訂本）[M].北京：高等教育出版社，1978.endprint