伍建偉　淮旭鴿　趙亮亮　鮑家定

【摘 要】彈性力學(xué)是有限元法的力學(xué)基礎(chǔ)，空間一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)是實(shí)際中我們常常遇到的問(wèn)題。然而，目前這部分的教學(xué)內(nèi)容都是基于微小單元通過(guò)力學(xué)平衡的角度來(lái)進(jìn)行嚴(yán)密推導(dǎo)的，計(jì)算上顯得繁瑣，教學(xué)效果并不理想。對(duì)此，該文在嚴(yán)謹(jǐn)力學(xué)推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出空間一點(diǎn)應(yīng)力在不同斜面上的應(yīng)力狀態(tài)，實(shí)質(zhì)上就是應(yīng)力矩陣和斜面外法線的數(shù)學(xué)運(yùn)算，而主應(yīng)力和主平面即為求解應(yīng)力矩陣特征值和特征向量的問(wèn)題。通過(guò)空間一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的矩陣化思維，概念清晰、容易記憶、且運(yùn)算簡(jiǎn)單，可以很方便地結(jié)合現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行計(jì)算求解。

【關(guān)鍵詞】有限元；應(yīng)力狀態(tài)；特征值；特征向量；教學(xué)研究

中圖分類號(hào)：TB121/G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）26-0231-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.26.106

Teaching research on matrix representation of spatial stress state in the mechanics foundation of finite element method

WU Jian-wei HUAI Xu-ge ZHAO Liang-liang BAO Jia-ding

（Mechanic and Electronic Engineering，Gulin University of Electronic Technology，Guilin Guangxi 541004，China）

【Abstract】Elasticity is the mechanical basis of the finite element method. Space stress state is a common problem in practice. However， the current teaching content of this part is based on the micro-units to perform a rigorous derivation from the perspective of mechanical equilibrium. The calculation is cumbersome so that the teaching effect is not ideal. Then， based on the rigorous mechanics derivation， the spatial stress state on different planes is analyzed and summarized in this paper and essentially the mathematical operation of the stress matrix and the outer normal vector of the plane. In fact， calculating the principal stress and the principal plane is converted to solve matrix eigenvalues and eigenvectors. Through the matrix representation of a point stress state in space， the concept is clear， the expression is easy to remember， and the operation is simple， which can be conveniently combined with modern computer technology to solve.

【Key words】Finite element method； Stress state； Eigenvalues； Eigenvector； Teaching research

0 前言

有限元分析[1-3]是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展而迅速發(fā)展起來(lái)的一套力學(xué)問(wèn)題數(shù)值求解方法，是解決復(fù)雜工程問(wèn)題動(dòng)靜態(tài)分析十分重要的工具，在培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)研究能力和工程應(yīng)用能力中起著十分重要的作用。彈性力學(xué)是有限元法的力學(xué)基礎(chǔ)，空間一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)是實(shí)際中我們常常遇到的問(wèn)題。然而，目前這部分的教學(xué)內(nèi)容都是基于微小單元通過(guò)力學(xué)平衡的角度來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)的，雖然嚴(yán)謹(jǐn)，但在計(jì)算上卻顯得繁瑣，學(xué)生不但計(jì)算不便，其公式也難以記憶。還有學(xué)生甚至表示，材料力學(xué)中的平面應(yīng)力狀態(tài)的公式就難以記憶并應(yīng)用。通過(guò)課后作業(yè)情況來(lái)看，這部分內(nèi)容的教學(xué)效果并不理想。

對(duì)此，本文在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧W(xué)推導(dǎo)基礎(chǔ)上，總結(jié)出空間一點(diǎn)應(yīng)力在不同平面上的應(yīng)力狀態(tài)，實(shí)質(zhì)上就是應(yīng)力矩陣和斜面外法線的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)運(yùn)算，而主應(yīng)力和主平面即為應(yīng)力矩陣的特征值和特征向量問(wèn)題。據(jù)了解，大二上學(xué)期本科生已經(jīng)學(xué)習(xí)了線性代數(shù)，完全可以用矩陣思維來(lái)進(jìn)行運(yùn)算求解，一方面能夠鞏固所學(xué)知識(shí)，另一方面也有利于所學(xué)知識(shí)的運(yùn)用。最后，通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明了空間一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)在不同斜面的表示以及主應(yīng)力和主平面的求解流程。

1 空間一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)

1.1 任意斜面上空間一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)

假定已知一點(diǎn)P處坐標(biāo)面上的6個(gè)應(yīng)力分量，求經(jīng)過(guò)該點(diǎn)斜面上的應(yīng)力。為此，在P點(diǎn)附近取一個(gè)平面ABC，平行于這一斜面，并與經(jīng)過(guò)P點(diǎn)而平行于坐標(biāo)面的三個(gè)平面形成一個(gè)微小的四面體PABC，如圖1所示。當(dāng)四面體PABC無(wú)限減小而趨于P點(diǎn)，平面ABC上的應(yīng)力就是該斜面上的應(yīng)力[4]。

設(shè)平面ABC的外法線為n'，其方向余弦cos（n，x）=l，cos（n，y）=m，cos（n，z）=n。

如果需要得到切應(yīng)力為τn在斜面的方向，則需要先定義一個(gè)沿該斜面的坐標(biāo)系，然后通過(guò)px，py，pz向該坐標(biāo)系投影來(lái)計(jì)算。

根據(jù)平面方程的概念可知，若給定一個(gè)斜面方程：

易知，A， B和C為該平面外法線n'的坐標(biāo)，將外法線n'進(jìn)行單位化，得：

式中，l，m和n為該平面外法線n'沿各個(gè)坐標(biāo)的方向余弦。

1.2 任意斜面上空間一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的矩陣表示

事實(shí)上，式（1）、（2）均可以用矩陣形式來(lái)進(jìn)行表示。式（1）矩陣表示如下：

上式中，p為斜面應(yīng)力沿各個(gè)方向坐標(biāo)的向量，σ為應(yīng)力矩陣，n'為斜面外法線向量的方向沿各個(gè)坐標(biāo)的方向余弦。

根據(jù)式（8），則式（2）矩陣表示如下：

根據(jù)式（9）和（11）代入式（4）中，利用數(shù)學(xué)軟件（如Matlab、Mathematica、Maple等）就可以計(jì)算沿該斜面的切應(yīng)力。

2 主應(yīng)力和主平面

經(jīng)過(guò)一點(diǎn)P的某一斜面上的切應(yīng)力為0，則該斜面上的正應(yīng)力稱為P點(diǎn)的一個(gè)主應(yīng)力，該斜面稱為P點(diǎn)的一個(gè)主平面，而該斜面的法線方向稱為P點(diǎn)的一個(gè)主應(yīng)力方向。

假設(shè)在P點(diǎn)的主平面存在。由于該面上的切應(yīng)力等于0，所以該面上的全應(yīng)力就等于該面上的正應(yīng)力，也就等于主應(yīng)力σ。于是，該面上的全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的投影為：

將式（12）代入式（1）中，整理得：

此外，還有方向余弦的關(guān)系式：

l2+m2+n2=1（14）

因此，說(shuō)明l，m和n不能全為0。說(shuō)明該方程（關(guān)于l，m和n的方程）有非零解，即系數(shù)行列式等于0：

從式（13）、（14）和（15）中可以看出，主應(yīng)力其實(shí)就是應(yīng)力矩陣σ的特征值，而l，m和n則為該矩陣的特征向量的三個(gè)分量，只不過(guò)此時(shí)的特征向量需要單位化。當(dāng)然，如果出現(xiàn)重特征值時(shí)，還需要將特征向量進(jìn)行正交化。事實(shí)上，式（13）也可以寫成矩陣的形式：

上式中的λ為特征值（即主應(yīng)力σ），與線性代數(shù)表示的特征值與特征向量的形式完全一致。

根據(jù)線性代數(shù)的定理可知，對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣而言，特征值為實(shí)數(shù)。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，可知應(yīng)力矩陣σ為實(shí)對(duì)稱矩陣，說(shuō)明主應(yīng)力為實(shí)數(shù)。根據(jù)線性代數(shù)關(guān)于特征值和特征向量的計(jì)算方法，得到l，m和n后，便確定了主應(yīng)力和主平面。

空間一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)矩陣化表達(dá)后，利用矩陣的運(yùn)算方法，根據(jù)數(shù)學(xué)軟件很容易計(jì)算空間一點(diǎn)應(yīng)力的主應(yīng)力和主平面。下一節(jié)將舉例說(shuō)明空間一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的計(jì)算過(guò)程。

3 空間一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)計(jì)算舉例

3.1 給定斜面上空間一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的計(jì)算

已知某點(diǎn)的應(yīng)力分量為σx=1MPa，σy=2MPa，σz=3MPa，τxy=0.5MPa，τyz=0，τzx=1MPa。在經(jīng)過(guò)的平面x+2y+2z=1上，求沿坐標(biāo)軸方向的應(yīng)力分量，以及該平面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。

解答如下：

根據(jù)已知條件可知，應(yīng)力矩陣和該平面單位化的法線向量為：

n'=lmn=1/32/32/3

根據(jù)式（9）、（11）和（4），代入數(shù)值便可以得到在該平面上沿坐標(biāo)軸方向的應(yīng)力分量、該平面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，如下：

其中，上面三式中得到的數(shù)值單位為MPa。

3.2 主應(yīng)力和主平面的計(jì)算

已知某點(diǎn)的應(yīng)力分量為σx=σy=50MPa，σz=4MPa，τxy=0MPa，τyz=τzx=10MPa，求主應(yīng)力和主平面。

解答如下：

根據(jù)已知條件可知，應(yīng)力矩陣：

利用Matlab軟件進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)一條命令（調(diào)用eig函數(shù)）就可得到特征值和特征向量，即主應(yīng)力和主平面的外法線向量：

4 結(jié)論

本文在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧W(xué)推導(dǎo)基礎(chǔ)上，得出兩個(gè)結(jié)論：（1）空間一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在不同斜面的表示可以由應(yīng)力矩陣和該斜面的外法線向量進(jìn)行運(yùn)算得到；（2）空間一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和主平面，可以通過(guò)計(jì)算應(yīng)力矩陣的特征值和特征向量得到。通過(guò)空間一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的舉例計(jì)算，說(shuō)明這種矩陣化方法可以很方便地結(jié)合現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)求解一點(diǎn)應(yīng)力在不同平面上的應(yīng)力狀態(tài)以及主應(yīng)力和主平面，概念清晰，容易記憶，且運(yùn)算簡(jiǎn)單。

值得注意的是，本文僅僅一個(gè)關(guān)于空間應(yīng)力狀態(tài)的矩陣化思維的方法，實(shí)際中還有很多類似的問(wèn)題。通過(guò)矩陣化表示和運(yùn)算，能夠極大地簡(jiǎn)化我們所遇到的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)有效地應(yīng)用到我們的教學(xué)中來(lái)，提高教學(xué)效果。

【參考文獻(xiàn)】

[1]曾攀.有限元分析及應(yīng)用[M].清華大學(xué)出版社，2004.

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[3]伍建偉，蔣占四，劉夫云，等.機(jī)械專業(yè)有限元原理及應(yīng)用課程教學(xué)改革研究[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào).2017（05）：193-194.

[4]蘇少卿，劉丹丹，關(guān)群.彈性力學(xué)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2013.