王 侖, 蘇 敏, 楊 帆, 佃松宜

(四川大學電氣信息學院，成都 610065)

四旋翼飛行器姿態(tài)的顯式模型預測控制

王 侖, 蘇 敏, 楊 帆, 佃松宜

(四川大學電氣信息學院，成都 610065)

針對四旋翼飛行系統(tǒng)的多變量、強耦合和帶約束等復雜特性，提出了基于顯式模型預測的控制方法。首先根據(jù)四旋翼飛行系統(tǒng)的動力學特點，建立了九狀態(tài)空間模型，并解耦成2個子系統(tǒng)。然后，采用多參數(shù)二次規(guī)劃法，離線計算了四旋翼飛行系統(tǒng)的顯式最優(yōu)控制律，在線查找當前狀態(tài)對應的控制量。數(shù)值仿真和實驗結果表明，該方法在滿足約束條件同時，調節(jié)時間較短，超調量較小且具有一定的抗擾動能力，成功實現(xiàn)了四旋翼飛行器的姿態(tài)穩(wěn)定控制。

四旋翼飛行系統(tǒng)； 顯式模型預測控制； 狀態(tài)空間模型； 多參數(shù)二次規(guī)劃

0 引言

四旋翼飛行器是模擬直升機控制而研制的高階、非線性、強耦合實驗平臺，適合實時飛行仿真和控制算法驗證[1]。近年來，直升機的分析和控制得到了廣泛的關注和重視[2]，文獻[3]采用經(jīng)典的PID方法實現(xiàn)了四旋翼飛行器姿態(tài)角控制，但PID控制響應速度慢、控制精度較低；文獻[4]基于Backstepping實現(xiàn)了四旋翼飛行器系統(tǒng)的控制器設計的目的，但其抗擾能力不強，且對初始條件要求較高；文獻[5]基于輸出調節(jié)理論和信號補償方法，設計了系統(tǒng)的狀態(tài)反饋魯棒控制器，該方法考慮了直升機系統(tǒng)中存在的不確定性和外部干擾，但控制器階數(shù)較高，不易實現(xiàn)；文獻[6]采用線性二次調節(jié)器(LQR)，解決了直升機模型的姿態(tài)飛行穩(wěn)定問題，但未考慮系統(tǒng)存在輸入輸出受限的情況。

模型預測控制(MPC)是處理帶約束多變量最優(yōu)控制問題最有效的方法之一，已經(jīng)廣泛應用于石油和化學工業(yè)系統(tǒng)，并取得巨大的經(jīng)濟和社會效益[7]。文獻[8]采用模型預測算法，解決了飛行器姿態(tài)控制中存在的驅動電機、系統(tǒng)狀態(tài)和輸出帶約束的問題，但在實際快速系統(tǒng)中難以應用；文獻[9]針對高超聲速飛行器不確定性特點，結合滑模和預測控制方法的優(yōu)點，解決了系統(tǒng)帶約束的問題，同時克服了常規(guī)滑模的抖振現(xiàn)象，但其調節(jié)時間較長；文獻[10]針對飛行器模型中存在的不確定和干擾失配問題，提出了基于非線性干擾觀測器的廣義預測控制方法，但該方法在線辨識時間較長；文獻[11]采用魯棒預測控制方法，考慮了輸入受限的高超聲速飛行器非線性縱向運動模型的控制問題，該方法在保證系統(tǒng)控制性能和穩(wěn)定性的同時還降低了系統(tǒng)的保守性，但該方法運算過程較為復雜。

針對上述文獻提到的問題，本文提出了顯式模型預測控制(Explicit Model Predictive Control，EMPC)的方法應用于四旋翼飛行器姿態(tài)控制。該方法通過引入多參數(shù)二次規(guī)劃 (Multi-Parametric Quadratic Programming，MPQP)來代替重復的滾動優(yōu)化，離線計算每個狀態(tài)分區(qū)上的狀態(tài)反饋最優(yōu)顯式控制律，大量縮短系統(tǒng)在線計算時間，因此該方法適用于帶約束的快速系統(tǒng)[12]。目前EMPC主要停留在理論研究部分，基于該方法的實際應用較少，本文成功地將EMPC應用于四旋翼飛行器姿態(tài)角控制。另外，對四旋翼飛行器姿態(tài)建模時，選擇其九狀態(tài)空間模型，并將其解耦為2個子系統(tǒng)。與現(xiàn)有采用的六狀態(tài)空間模型相比，由于加入了3個姿態(tài)角的積分環(huán)節(jié)，因此解耦后九狀態(tài)空間模型在大量減少控制器計算量的同時，提高了控制精度，可以有效消除穩(wěn)態(tài)誤差。通過仿真驗證，成功地將EMPC和解耦后的九狀態(tài)空間模型應用于實際系統(tǒng)，并取得較好的控制效果。

1 四旋翼飛行系統(tǒng)的九狀態(tài)空間模型

近年來小型無人機在國內外一直是研究和開發(fā)的熱點。本文研究的對象是重慶固高公司生產的四旋翼飛行仿真器，該技術平臺是一個四輸入三輸出的對象。系統(tǒng)輸入是4個電機的輸入電壓，輸出為其3個姿態(tài)角。四旋翼飛行仿真器由4個螺旋槳及電機、電滑環(huán)、基座、安裝盤、萬向節(jié)、編碼器和數(shù)據(jù)采集卡等組成[1]。

建立如圖1所示四旋翼飛行器的坐標系，圖中的Ff,Fl,Fr和Fb分別表示螺旋槳1,2,3,4號電機旋轉時空氣對四旋翼飛行器的作用力。四旋翼飛行器姿態(tài)具有3個自由度，分別為俯仰角P、滾動角R、偏航角Y[13]。

圖1 四旋翼飛行器的坐標系Fig.1 The coordinate system of quad-rotor aerial vehicle

針對四旋翼飛行器的復雜特性，為建立其物理模型，在此做如下假設[1]。

1) 四旋翼飛行器的結構是完全左右對稱的，其重心位于x軸上。

2) 四旋翼飛行器受到各旋翼作用力Fx(x=f,l,r,b)與其對應電機的旋轉速度成正比；電機的旋轉速度與電機的輸入電壓成正比，并忽略存在的空氣阻力以及摩擦力。

3) 由于俯仰角主要受Ff,Fl,Fr3個力的影響；滾動角主要受Fr和Fl2個力的影響；偏航角只受Fb的影響，因此假設各角度只受其對應力的影響。

建立俯仰角、滾動角、偏航角力矩平衡方程為[1]

(1)

式中:Kfc為電壓升力比;L1為4號螺旋槳中心到y(tǒng)軸的距離;Lp為1號螺旋槳中心到z軸的距離;JP,JR,JY分別為俯仰角、滾動角、偏航角轉動慣量;Uf,Ul,Ur,Ub分別為螺旋槳1,2,3,4號電機電壓。為了保證系統(tǒng)靜平衡，在1號螺旋槳臂上增加了配重m1，其位置如圖1所示。物理參數(shù)值如表1所示，參數(shù)來自四旋翼飛行仿真器[1]。

代入各數(shù)值并化簡可得

(2)

表1 四旋翼飛行仿真器物理參數(shù)

根據(jù)假設3)，螺旋槳1,2,3號電機只影響俯仰角和滾動角；4號電機只影響偏航角。因此可以把該系統(tǒng)解耦成兩個子系統(tǒng)，分別記為系統(tǒng)1和系統(tǒng)2。選取俯仰角、俯仰角速度、俯仰角的積分、滾動角、滾動角速度、滾動角的積分為狀態(tài)量，1，2,3號電機電壓為輸入量，建立俯仰角、滾動角的狀態(tài)空間模型(系統(tǒng)1)為

(3)

式中：

選取偏航角、偏航角速度、偏航角的積分為系統(tǒng)狀態(tài)量，4號電機電壓為系統(tǒng)輸入量，建立偏航角的狀態(tài)空間模型(系統(tǒng)2)為

(4)

2 離線計算

顯式模型預測控制引入MPQP解決約束最優(yōu)控制問題，對狀態(tài)空間進行凸劃分并將隱式的閉環(huán)MPC系統(tǒng)等價轉換為顯式的PWA系統(tǒng)，因此最優(yōu)控制序列和MPC系統(tǒng)的顯式關系式由離線優(yōu)化得到，不需要反復地在線優(yōu)化計算[14-16]。

考慮如下約束最優(yōu)控制問題

(5)

式中:U[,…,]′為最優(yōu)控制序列，即決策向量;N為預測時域，定義T∈Rn為所有x(0)的可行域，xN∈Tset為終端約束集，且Τset為凸集。Q=QT≥0，R=RT>0，P≥0分別為狀態(tài)、輸入和輸出權值矩陣。E,L,M分別是控制輸入、狀態(tài)和輸出的約束，由實際問題確定其取值。

由于xk+1的控制模型為線性的，因此可得

(6)

將式(5)代入式(6)，帶約束的最優(yōu)控制問題可以轉化為如下最優(yōu)問題[14]。

(7)

s.t.GU≤W+Ex(0) 。

初始狀態(tài)x(0)決定最優(yōu)序列U，若將初始狀態(tài)x(0)作為最優(yōu)問題的參數(shù)變量，能夠避免最優(yōu)問題重復在線計算，由此推出最優(yōu)問題的MPQP，U和x(0)之間的顯式表達式滿足如下條件[14]。

在式(7)的MPQP問題中，H>0，可行域Τ= {x∈Rn|Lx≤K}為凸集，且最優(yōu)控制序列U為x(0)的分段仿射(Piece-Wise Affine，PWA)函數(shù)。

U=Fix(0)+Gix(0)∈CCR i

(8)

式中:CCR i={x∈Rn|Lix≤Ki}是T的凸劃分，即CCRi∪CCR j=T,CCR i∩CCR j=φ(i≠j)，i，j=1,…,Nk，Nk為狀態(tài)區(qū)域分區(qū)的數(shù)量，矩陣L,K,Fi,Gi和Li,Ki,Nk由求解式(7)MPQP問題得到。將式(5)系統(tǒng)離散化，記離散時間常數(shù)為k，系統(tǒng)狀態(tài)為x(k)，那么顯式控制量u(k)是關于x(k)的PWA函數(shù)，形式為[16]

u(k)=fix(k)+gix(k)∈CCR i

(9)

式中:fi,gi分別為Fi,Gi的首行[12]。

3 數(shù)值仿真

3.1 離線控制器設計

通過對四旋翼飛行器各物理量測量與分析，可以得到各角度的約束范圍以及電機電壓最大值[13]。其他參數(shù)通過多次仿真設定如下。

對系統(tǒng)1，設定采樣時間為0.03 s，狀態(tài)約束為-(203020153020)T≤x1≤(203020153020)T，輸入約束為-(6.777)T≤u1≤(6.777)T，狀態(tài)加權矩陣為diag(30.50.00140.50.001)，輸入加權矩陣為三階單位矩陣，預測時域為4。

對系統(tǒng)2，設定采樣時間為0.03 s，狀態(tài)約束為-(1003020)T≤x2≤(1003020)T，輸入約束為-6.4≤u2≤6.4，狀態(tài)加權矩陣為diag(30.40.001)，輸入加權矩陣為單位矩陣，預測時域為4。

離線計算得到系統(tǒng)1，2控制分區(qū)如圖2所示。

圖2 控制分區(qū)圖Fig.2 Control partition

其中,系統(tǒng)1的控制分區(qū)為73個，系統(tǒng)2分區(qū)為7個，系統(tǒng)分區(qū)總個數(shù)為80個。當系統(tǒng)未解耦時，可求得控制分區(qū)為511個，因此解耦后的系統(tǒng)將控制分區(qū)減少了421個，極大地減小了計算量。

在線算法通過當前狀態(tài)x(k)，來獲得其對應的狀態(tài)分區(qū)CCRi，根據(jù)式(9)計算得到其對應的顯式控制器。本文在線算法采用直接查找法，由于四旋翼飛行系統(tǒng)解耦后，狀態(tài)分區(qū)較少，因此直接查找法即可滿足控制器設計要求。

3.2 數(shù)值仿真

為驗證本文EMPC控制器性能，數(shù)值仿真及實驗加入文獻[6]中LQR控制方法與本文采用的EMPC方法比較，且同時使用九狀態(tài)空間模型。設定四旋翼飛行器俯仰角、滾動角、偏航角分別為9°，-8°，-10°，控制目標為使其分別調節(jié)到零值，仿真時間為30 s。仿真結果如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)調節(jié)曲線(數(shù)值仿真)Fig.3 The regulation curves of system state(numerical simulation)

從圖3可以看出,在調節(jié)到穩(wěn)態(tài)過程中，LQR控制器控制的3個姿態(tài)角在6 s左右到達穩(wěn)態(tài)值，且調節(jié)過程會存在一定的超調量；EMPC控制器控制的3個姿態(tài)角均在3 s左右到達穩(wěn)態(tài)值，且無超調量。在15 s時對3個姿態(tài)角分別加入一個階躍擾動，使3個姿態(tài)角產生相應的變化。從圖3中可得出，在遇到擾動時，EMPC控制器相比于LQR控制器，3個姿態(tài)角能更快回到平衡位置，并無超調量。因此，從仿真結果可以看出,EMPC控制各姿態(tài)角有更好的快速性和抗擾動性。

4 實驗結果

4.1 調節(jié)實驗

本文實驗對象為固高公司生產的四旋翼飛行仿真器。四旋翼仿真器連接計算機，在該產品自帶的Matlab環(huán)境下進行控制器設計。計算機通過數(shù)據(jù)采集卡獲得各旋翼上編碼器計數(shù)值，并計算控制電壓，用實時控制軟件對飛行器進行姿態(tài)的實時控制。設定四旋翼飛行器初始俯仰角、滾動角、偏航角分別為12°,-10°,-16°，控制目標為調節(jié)各姿態(tài)角到零值，實驗時間為40 s。EMPC與LQR控制四旋翼飛行器的實驗結果如圖4和圖5所示。

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)調節(jié)曲線(姿態(tài)角)Fig.4 The regulation curve of system state(attitude angle)

圖5 控制輸入變化曲線Fig.5 System control input curves

從圖4、圖5可以看出，使用九狀態(tài)控制模型可以消除誤差，精確調節(jié)到指定角度。LQR控制3個姿態(tài)角在10 s左右達到穩(wěn)定狀態(tài)，且產生較大超調，到達穩(wěn)態(tài)后振動頻率較大，4個電機控制電壓超過約束范圍，需要對電壓限幅；EMPC控制在滿足約束條件下，調節(jié)時間為4 s，基本無超調量，到達穩(wěn)態(tài)后波動更小。

4.2 擾動實驗

在四旋翼飛行器到達穩(wěn)態(tài)后，大約6 s時手動給四旋翼飛行器一個擾動，使3個角度均產生一定變化，并與LQR控制的3個姿態(tài)角做比較。控制目標為回到初始零位，實驗時間為40 s，其調節(jié)曲線如圖6所示。

圖6 系統(tǒng)狀態(tài)調節(jié)曲線(擾動實驗)Fig.6 The regulation curve of system state(perturbation experiment)

從實驗結果可以看出，在遇到擾動時，九狀態(tài)模型仍然可以消除穩(wěn)態(tài)誤差。LQR控制3個姿態(tài)角在調節(jié)10 s后達到穩(wěn)定狀態(tài)，但超調量較大，到達穩(wěn)態(tài)后存在一定波動。而EMPC控制的3個姿態(tài)角在遇到擾動時，調節(jié)時間為4 s，超調量較小，在穩(wěn)定后具有較小的波動值，因此具有較好的抗擾動能力。

5 結束語

針對帶約束的多輸入多輸出四旋翼飛行器快速系統(tǒng)，提出了基于顯式模型預測控制的方法。首先建立四旋翼飛行系統(tǒng)的九狀態(tài)空間模型，并將其解耦成2個子系統(tǒng)，有效減少計算量，提高控制精度。仿真與實驗驗證了基于九狀態(tài)空間模型實施顯式模型預測控制方法在四旋翼飛行系統(tǒng)姿態(tài)控制中的可行性和有效性。

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ExplicitModelPredictiveControlforAttitudeofQuad-rotorAerialVehicles

WANG Lun, SU Min, YANG Fan, DIAN Song-yi

(College of Electrical and Information,Sichuan University,Chengdu 610065,China)

Considering the complex characteristics of quad-rotor aerial vehicles,such as multiple variables,strong coupling and the constraints,we proposed a controlling method based on explicit model prediction. According to the dynamic characteristics of the quad-rotor flight system,a nine-state space model was built,which was decoupled into two subsystems.Then,the explicit optimal controlling law of the quad-rotor flight system is calculated offline by multi-parameter quadratic programming,and the controlled quantity corresponding to the current state was searched online. Numerical simulation and experiment results show that the proposed method has the advantages of short adjusting time,small overshoot and certain anti-disturbance ability,as well as meeting the constraint requirements,and the stability control of the attitude is successfully achieved.

quad-rotor flight system; explicit model predictive control; state space model; multi-parameter quadratic programming

王侖，蘇敏，楊帆，等.四旋翼飛行器姿態(tài)的顯式模型預測控制[J].電光與控制，2017，24( 11) : 53-57.WANG L，SU M，YANG F，et al．Explicit model predictive control for attitude of quad-rotor aerial vehicles[J].Electronics Optics & Control，2017，24( 11) : 53-57．

2016-12-14

2017-01-04

王 侖(1994 —),男，湖北孝感人，碩士生，研究方向為顯式模型預測控制。

TP29

A

10.3969/j.issn.1671-637X.2017.11.011