段婧澤

摘 要：本文來源于2017年CUPT的賽題：置于外磁場中的少量磁流體會形成山丘狀結(jié)構(gòu)，研究相關(guān)變量，分析這些構(gòu)造的性質(zhì).本題旨在研究非均勻磁場中磁流體的某些性質(zhì)，并進行分析探究.文章首先對磁丘的成因進行受力、能量角度以及類比角度分析；其次粗略研究了磁丘如數(shù)量、形狀等參數(shù)，并簡要分析了相關(guān)原理.

關(guān)鍵詞：鐵磁流體；磁丘結(jié)構(gòu)；外磁場

1.緒論

鐵磁流體自20世紀(jì)中葉被研制出來，迄今已半個多世紀(jì)。到目前為止，它仍然是工業(yè)應(yīng)用中唯一的人造磁性液體。鐵磁流體在實際中有著廣泛的應(yīng)用，在理論上具有很高的學(xué)術(shù)價值：可廣泛應(yīng)用于各種苛刻條件的磁性流體密封、減震、醫(yī)療器械、聲音調(diào)節(jié)、光顯示、磁流體選礦等領(lǐng)域。

1832年，M. Faraday首次提出有關(guān)磁流體力學(xué)問題，他提出海水切割地球磁場產(chǎn)生電動勢的想法，但實驗未達到目的。五年后，J. F. Hartmann根據(jù)Faraday的想法，對水銀在磁場中的流動進行了定量實驗，并提出了粘性不可壓縮磁流體力學(xué)流動（即哈特曼流動）的理論計算方法[1]。后來H.Alfven提出帶電單粒子在磁場中運動軌道的“引導(dǎo)中心”理論、磁凍結(jié)定理、磁流體動力學(xué)波和太陽黑子理論，并在Cosmical Elctrodynamics中集中討論了他的主要工作，推動了磁流體力學(xué)的發(fā)展[2]。以及R. E. Rosensweig特別討論了鐵磁流體的力學(xué)[4]。后來R. Richter and A. Lange對鐵磁流體表面的不穩(wěn)定性進行討論[3]等。

磁流體力學(xué)主要應(yīng)用于三個方面：天體物理、受控?zé)岷朔磻?yīng)和工業(yè). 隨著工業(yè)發(fā)展，人們對鐵磁流體的研究逐漸深入。

2.預(yù)實驗

2.1實驗?zāi)康呐c裝置

預(yù)實驗的實驗?zāi)康氖怯^察了解題中指出的磁丘現(xiàn)象，初步了解非均勻場與磁丘關(guān)系。

利用的實驗儀器有電磁鐵、一個時間繼電器、電源、磁流體、表面皿和觀察裝置。

2.2實驗過程與現(xiàn)象

（1）兩個電磁鐵分別放置在中心板的上下兩面。（如圖1）

（2）給B電磁鐵通電。逐漸改變電流強度，一些凸起出現(xiàn)在表面。（如圖2）

（3）隨著電流強度逐漸增加，磁流體表面小凸起的個數(shù)也逐漸增加，呈現(xiàn)一個尖峰的半球。（如圖3）

（4）給B通電的同時，給A通電，使A、B電磁鐵同極相對。隨A中電流增強，尖峰半球向外擴展，變成中央射線。（如圖4）

（5）當(dāng)下面的電磁鐵磁場強度減弱時，中央射線將消失，整體呈現(xiàn)一個凹圈形狀。（如圖5）

（6）給A、B同時通電，使A、B異極相對。增大上側(cè)的電磁鐵的電流強度，發(fā)現(xiàn)一座最高的“山峰”漸漸凸起。（如圖6）

（7）繼續(xù)增大上面電磁鐵的磁場強度，磁丘不斷增多，并開始向上面的電磁鐵靠近，并被吸上去。（如圖7）

3.現(xiàn)象分析

3.1為什么會出現(xiàn)各種各樣的褶皺構(gòu)型（磁丘）？

3.1.1鐵磁質(zhì)的一些介紹

關(guān)于鐵磁性的起因：鐵磁質(zhì)內(nèi)存在許多自發(fā)磁化的小區(qū)域——磁疇（起因于電子自旋磁矩的自發(fā)有序排列）。磁疇的磁矩平時取向雜亂，磁矩相互抵消。當(dāng)存在外磁場時，會發(fā)生：一，磁矩方向與外磁場相近的磁疇要擴大體積（疇壁外移）；二，磁疇的磁矩方向都不同程度的向外磁場方向靠攏（取向）.此時磁矩總和不再為0，具有鐵磁性。

3.1.2鐵磁流體的幾點介紹

（1）良好的穩(wěn)定性.膠體的布朗運動；固液兩相間粘附力大；（磁性微粒微小，數(shù)密度大，接觸面積大）。加之基載液自身具有的內(nèi)聚能，即可通過外加磁場控制整個鐵磁流體膠體。

（2）對磁場的響應(yīng)。在強磁場中，特別是磁場梯度很大時，磁流體的固液兩相有滯后問題。因此我們選擇的磁場強度、梯度適中。

（3）磁流體的熱學(xué)特性。磁流體在某一溫度范圍內(nèi)，隨溫度上升，磁性減弱；超過某一溫度，則無磁性。則需控制無關(guān)變量溫度（一般室溫下即可）。

3.1.3前提假設(shè)

（1）視為連續(xù)介質(zhì)：由于固相微粒數(shù)密度大，且均勻彌散，宏觀上具有充分連續(xù)性。

（2）視為牛頓流：固相微粒均勻彌散，可視為粘度值不變。

（3）視為不可壓縮流：流體密度變化小可忽略。

3.1.4受力角度分析

可以看出受力分析十分復(fù)雜，如需求解可查相關(guān)文獻，但并不利于我們深入的理解磁丘形成的原理。

3.1.5能量角度分析

液體表面具有表面張力σ，恒溫恒壓下可逆地增大表面積dA，需做工σ·dA，即表面能的增加。

外磁場對磁流體做功：一是會驅(qū)使固相微粒移動；二是使固相微粒磁矩旋轉(zhuǎn)；即靜磁能改變。

磁化過程中產(chǎn)生方向各異的磁疇以降低總靜磁能，并達到平衡。平衡態(tài)的磁疇能量最低。之所以會產(chǎn)生磁丘形狀，是因為在該形狀下整個磁場的磁勢能減少超過液體表面能和重力勢能增加，使整個體系總能量最低。

若外加均勻磁場，則會在某一水平面上產(chǎn)生起伏；若外加非均勻磁場，則會在某個曲面上產(chǎn)生起伏.后文會繼續(xù)分析原因。

若取總體積為V0 的磁流體，考慮表面能、重力勢能和磁勢能使總能量最小。若只考慮表面能，則正球體表面能最??；若只考慮重力勢能，則無限寬廣的薄層重力勢能最小；若只考慮磁勢能，要使整個磁場能量最小，則相同外磁場下，在鐵磁質(zhì)中能量小于真空磁場中能量。

對比圖9和圖10，在磁場較小和較大的時候形成磁丘形狀不同?？傻贸鼋Y(jié)論，表面能使其趨于“平滑”，重力勢能使其趨于“下垂”，而磁勢能使其趨于磁場發(fā)散且B變大的方向。

3.1.6類比角度分析

把體積為V0的磁流體看成是一個容積為V0的無蓋容器，開口處固定一層橡皮膜。類比鐵屑自發(fā)地順著磁力線排布（如圖11），鐵磁微粒相當(dāng)于小磁針，會指向磁力線方向，磁流體也會順磁力線形成小圓錐體（永磁體制造的非均勻場中，同一水平面，中部磁場強度大，邊緣處磁流體會向中上部運動，形成鼓包）?？紤]到膜內(nèi)外壓強（即磁流體的表面張力），凸起周圍內(nèi)凹（如圖12）。

再分析磁流體表面會有小凸起而不是一整個大鼓包（事實上，磁場越大，磁丘越細(xì)密，整個磁流體趨于一個大鼓包），我們可以繼續(xù)類比“鐵屑”，鐵屑不會均勻鋪滿表面（即形成大鼓包）而是順磁力線排布（即形成小凸起），就可以較好地理解。但磁場較大時，“鐵屑”更密地吸附在磁體表面，看起來則趨于形成鼓包。

3.2磁丘的數(shù)量是如何變化的？

直觀感受是隨磁場增大，磁丘個數(shù)增多（如圖13）。下面進行進一步探究，考慮到研究變化的是趨勢，以及特斯拉計的使用習(xí)慣，選擇永磁體對應(yīng)的磁流體的中心點（此處磁場方向垂直永磁體表面）為場強測試點。（如圖14）

觀察到幾點問題：

第一，存在最小臨界磁場，超過該場強才會有磁丘出現(xiàn)；也存在一個最大的閾值，超過該值邊界會出現(xiàn)中央射線形狀不再是單個磁丘。

第二，磁丘數(shù)量變化的整體趨勢是隨著磁場強度的增加，磁丘個數(shù)增長速度起初較慢，隨后較快，最后較慢。

第三，磁感應(yīng)強度由小到大與由大到小磁丘數(shù)量并不完全一致。

針對第二三點問題進行分析：“磁滯”現(xiàn)象（附一張鐵磁質(zhì)磁化曲線圖15）.通過討論H和B的關(guān)系，以及B和個數(shù)關(guān)系進而討論H和個數(shù)關(guān)系。

首先，鐵磁質(zhì)中B-H不存在單值關(guān)系——當(dāng)H減小時，B也隨之減小，但B的減小“跟不上”H的減小，即磁滯現(xiàn)象.磁滯現(xiàn)象是由于疇壁的外移及磁矩的取向是不可逆的，鐵磁流體在退磁過程中有一定磁滯。

其次，B越大，磁力線越密集，類比鐵屑，即磁丘會更多。

3.3對于小磁丘的表面形狀有什么規(guī)律？

隨著場強變化，每個小磁丘周圍緊鄰的磁丘個數(shù)會發(fā)生變化（如圖16、17）。

我們可以構(gòu)建一個簡潔的模型，按照小磁丘緊鄰磁丘的個數(shù)賦予小磁丘形狀。

可以直觀的得到一個結(jié)論：隨著場強增大，小磁丘個數(shù)增多，小磁丘形狀也從四邊形變?yōu)槲暹呅巍⒘呅?、七邊形。而且是整個液面中部先變化，邊緣后變化。

隨著場強增大，磁丘個數(shù)增多，表面更“破碎”，則相應(yīng)的，一個磁丘周圍的磁丘會更多。中心處磁力線更密集，變化更靈敏.對于七邊形形成的原因：我們知道平面上一個圓形緊密貼合的圓形最多有六個，但此時磁丘在一曲面上，且并非緊密貼合，故出現(xiàn)了七邊形。

4.總結(jié)和展望

對于磁丘的性質(zhì)：它具有磁流體普遍具有的性質(zhì)：良好的穩(wěn)定性；對磁場有響應(yīng)，即表面的不穩(wěn)定性以及有一定熱學(xué)特性。另外，磁丘在磁場較大處更加密集，形狀上更緊湊，磁流體表面更加破碎。

本文對磁丘的原理給出較易懂的解釋：有基礎(chǔ)知識的鋪墊，有一定的前提假設(shè)，從受力、能量和類比三個角度分析.但實驗的結(jié)果都有給出了一定的理論分析，且聯(lián)系了多方面的知識，使內(nèi)容更飽滿. 但缺乏定量分析，以及缺乏對更普適的外磁場給出一個解釋。

參考文獻：

[1] Hartmann J， Lazarus F. Hg dynamics. II -Experimental investigations on the flow of mercury in a homogeneous magnetic field [J]. 1937.

[2] Hannes Alfvén， Carl‐Gunne F？lthammar. Cosmical Elctrodynamics [J]. Physics Today 17（6）：55-55. 1964.

[3] R. Richter and A. Lange. Surface Instabilities of Ferrofluids [J].Lect. Notes. Phys. 763， 157–247 （2009）.

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