張奕河

摘 要： 針對高職學(xué)生在學(xué)習(xí)兩個(gè)函數(shù)乘積的積分遇到的困惑，

通過類比湊微分法和分部積分法的異同點(diǎn)，歸納出一種統(tǒng)一的方法，使得求解時(shí)變得有規(guī)可循，化難為易，便于學(xué)生理解和掌握，也培養(yǎng)了學(xué)生探究能力和創(chuàng)新思維能力。

關(guān)鍵詞： 乘積；湊微分；分部積分；順序

求兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)（微分），有了乘積的求導(dǎo)（微分）法則就容易解決了，而求兩個(gè)函數(shù)乘積的積分，由于積分運(yùn)算只有線性性質(zhì) 沒有乘除的運(yùn)算性質(zhì)，因此求兩個(gè)函數(shù)乘積的積分成為高職學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，除了部分題目化為線性運(yùn)算用直接積分法和第二換元法求解外，大部分題目主要是用湊微分法和分部積分法解決，學(xué)生在學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)是這兩種方法選擇哪種？無法做出正確的判定，無從下手，往往“知難而退”，作業(yè)抄襲上交應(yīng)付了事。本人在教學(xué)中，通過類比兩種方法的異同點(diǎn)，歸納出一種統(tǒng)一的方法，使得求解時(shí)變得有規(guī)可循，化難為易，便于學(xué)生理解和掌握。

一、湊微分法和分部積分法的異同點(diǎn)：

相同點(diǎn)：1、主要解決兩個(gè)函數(shù)乘積的積分（特殊情況可以是單一函數(shù)）；2、都要湊微分。

不同點(diǎn)：1、湊微分主要解決復(fù)合函數(shù)的積分問題，要求兩個(gè)乘積項(xiàng)都要與同一變量（中間變量u）有關(guān)，一個(gè)是中間變量的函數(shù)，另一個(gè)是中間變量的導(dǎo)數(shù)的常數(shù)倍，而分部積分法兩個(gè)乘積項(xiàng)不需要有關(guān)系。

解題關(guān)鍵是u的選取和湊微分du。

二、統(tǒng)一方法

三、應(yīng)用舉例

小結(jié)：

學(xué)生遇到兩個(gè)函數(shù)乘積積分題目不知要采用哪種方法，無從下手，產(chǎn)生畏難情緒，學(xué)習(xí)興趣和積極性受到打擊，找不到入門的手段和方法，有點(diǎn)倒在門外的感覺。通過教師引導(dǎo)，讓學(xué)生找到兩種方法知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)并融會(huì)貫通，歸納出統(tǒng)一方法，培養(yǎng)了探究能力和創(chuàng)新思維能力，同時(shí)變復(fù)雜為簡單，變抽象為具體，使得學(xué)生解決這類型問題變得有規(guī)可循，容易理解和掌握，入門、上手快，題目會(huì)做、樂做，樂學(xué)、思學(xué)，在學(xué)習(xí)過程中找到收獲感和成就感。當(dāng)然，積分難學(xué)就在于沒有一種固定、萬能的方法，但學(xué)生掌握了上述方法，做題不會(huì)再一籌莫展，學(xué)習(xí)有了積極性，通過一定的練習(xí)，熟能生巧，對一些常見的題型和技巧了如指掌，使得解題更加快捷自如，大大提高學(xué)生積分的計(jì)算能力。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.