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(1.上海健康醫(yī)學(xué)院 文理教學(xué)部,上海 201318; 2.上海健康醫(yī)學(xué)院 護(hù)理與健康管理學(xué)院,上海 201318)

1 問題的提出

人們一直都很重視傳染病的預(yù)防與控制.數(shù)學(xué)模型在研究傳染病動力學(xué)方面具有相當(dāng)重要的意義.通過建立數(shù)學(xué)模型來描述和分析傳染病傳播的數(shù)據(jù)規(guī)律并結(jié)合計算機(jī)進(jìn)行數(shù)值模擬,可以揭示傳染病的傳播機(jī)理、生物因素、社會影響以及疾病流行規(guī)律,尋找疾病流行的關(guān)鍵因素,預(yù)測疾病發(fā)生發(fā)展的趨勢,進(jìn)而建立遏制疾病蔓延的手段和最優(yōu)控制策略.

在現(xiàn)實世界里,由于疾病的發(fā)生、發(fā)展和傳播是一個非常復(fù)雜的過程,其中會存在許多現(xiàn)實不確定因素(如疾病的傳播機(jī)理和傳播途徑),同時,還不可避免地會受到各種不可預(yù)知的環(huán)境噪聲干擾(如洪水、大旱、海嘯等),這些噪聲和不確定因素的存在都會對疾病的傳播造成很大的影響.然而,對那些具有不確定因素和易受噪聲干擾的疾病傳播過程進(jìn)行有效的控制和預(yù)測又是一件非常困難的事情.因此,如何刻畫這些隨機(jī)不確定因素對疾病傳播的影響就顯得非常重要且具有實際意義.近年來,已有很多作者研究隨機(jī)傳染病模型[1-10].

由于相關(guān)擾動的復(fù)雜性帶來一定的研究難度,因此,研究確定性傳染病模型在環(huán)境噪聲擾動下的動力學(xué)性質(zhì)更具有實際意義.隨機(jī)傳染病模型的研究無論是理論還是研究方法都與確定性模型有比較大的差別,這方面還有大量的研究工作有待進(jìn)一步開展.

Li等[11]研究了帶有時滯的接種SIS模型,其形式為

(1)

式中:S(t)為易感者的數(shù)量;I(t)為染病者的數(shù)量;V(t)為接種者的數(shù)量;A為新生者常數(shù)輸入率,A>0;μ為自然死亡率;q為輸入者被接種的比例,0≤q≤1;α為因病死亡率,α≥0;p為易感者被接種率,p≥0;β為傳染率系數(shù),β≥0;γ為染病者的回復(fù)率,γ≥0;τ為免疫期.

對于模型(1),基本再生數(shù)

當(dāng)R0<1時,模型(1)總存在無病平衡點

是全局漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)R0>1時,無病平衡點E0是不穩(wěn)定的,此時存在唯一的地方病平衡點E*=(S*,I*,V*)是局部漸近穩(wěn)定的.

在實際生活中,環(huán)境白噪聲不可避免地會對模型(1)造成影響,故在模型(1)的基礎(chǔ)上建立相應(yīng)的隨機(jī)模型,研究在干擾情況下疾病何時消失、何時流行.相對于模型(1),考慮具有如下形式的隨機(jī)模型:

(2)

式中:Bi(t)是定義在完備概率空間上的相互獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動,i=1,2,3;σi表示環(huán)境白噪聲的強(qiáng)度,i=1,2,3.

由于V(t) 在疾病的傳輸中沒有影響,現(xiàn)只考慮模型

(3)

在本文中,總假設(shè)(Ω,F,{Ft}t≥0,P)為完備的概率空間,其中,{Ft}t≥0是Ω上的一個σ-代數(shù)且滿足通常條件(即右連續(xù),F0包含所有零測集).

2 主要結(jié)果

對于定理1的證明可以構(gòu)造函數(shù)

式中,a為正常數(shù).

利用文獻(xiàn)[6-7]的方法可證明定理1的結(jié)論成立.

為方便起見,記

(4)

定義

(5)

其中

為了證明定理2,先引入幾個有用的引理.

引理1[7]令(S(t),I(t))是模型 (3) 滿足任意初值(S(0)>0,I(ζ)≥0)(ζ∈[-τ,0),I(0)>0)的解,則有如下結(jié)論:

(6)

(7)

利用上述兩個模型分別算出的轉(zhuǎn)移概率矩陣，定義風(fēng)險概率臨界值，矩陣中高于臨界值的概率，本模型認(rèn)為屬于正常交易順序；反之則屬于異常交易順序。模型首先人工設(shè)置風(fēng)險概率臨界值的初始值，隨后輸入包含正常交易序列和異常交易序列的訓(xùn)練集，根據(jù)分類效果動態(tài)調(diào)整風(fēng)險概率臨界值的大小，通過多次訓(xùn)練，得到識別效果最好的臨界值。

引理3[7]設(shè)f(t)∈C[[0,)×Ω,(0,)]和F(t)∈C[[0,)×Ω,R].若存在正常數(shù)λ0,λ,使得

現(xiàn)證明定理2.

證明

對上式兩端從0～t積分,積分后兩端同時除以t,可得

整理可得

(8)

其中

顯然,由引理1和引理2可得

(9)

定義W(I(t))=logI(t),并利用Ito公式,可得

d logI(t)=[βS(t)-(μ+γ+α)

(10)

對式(9)兩端從0～t積分并除以t,可得

(11)

將式(8)的〈S(t)〉 帶入式(11)中,并整理得

(12)

3 結(jié)束語

同相應(yīng)的確定性傳染病模型相比較,隨機(jī)系統(tǒng)的閾值與環(huán)境白噪聲的強(qiáng)度相關(guān).從本文中的結(jié)論可以看出:當(dāng)白噪聲的強(qiáng)度較小時,隨機(jī)系統(tǒng)與對應(yīng)的確定系統(tǒng)具有相似的性質(zhì),即隨機(jī)系統(tǒng)的閾值小于1,疾病滅絕;當(dāng)白噪聲的強(qiáng)度較大時,隨機(jī)系統(tǒng)會出現(xiàn)完全不同于確定系統(tǒng)的性質(zhì),即使確定系統(tǒng)的閾值大于1,在強(qiáng)噪聲的干擾下仍可以導(dǎo)致疾病滅絕.在實際中,這種大的噪聲可以理解為突發(fā)的惡劣天氣、嚴(yán)重的自然災(zāi)難等.與確定系統(tǒng)相比,隨機(jī)系統(tǒng)的研究剛剛起步,今后進(jìn)一步研究與白噪聲相關(guān)的理論問題和應(yīng)用問題具有廣闊的應(yīng)用前景.

[1] JI C Y,JIANG D Q,SHI N Z.The behavior of an SIR epidemic model with stochastic perturbation[J].Stochastic Analysis and Applications,2012,30(5):755-773.

[2] GRAY A,GREENHALGH D,HU L,et al.A stochastic differential equation SIS epidemic model[J].SIAM Journal on Applied Mathematics,2011,71(3):876-902.

[3] JIANG D Q,YU J J,JI C Y,et al.Asymptotic behavior of global positive solution to a stochastic SIR model[J].Mathematical and Computer Modelling,2011,54(1/2):221-232.

[4] ARTALEJO J R,ECONOMOU A,LOPEZ-HERRERO M J.On the number of recovered individuals in the SIS and SIR stochastic epidemic models[J].Mathematical Biosciences,2010,228(1):45-55.

[5] LU Q Y.Stability of SIRS system with random perturbations[J].Physica A:Statistical Mechanics and its Applications,2009,388(18):3677-3686.

[6] ZHAO Y N,JIANG D Q,O′REGAN D.The extinction and persistence of the stochastic SIS epidemic model with vaccination[J].Physica A:Statistical Mechanics and its Applications,2013,392(20):4916-4927.

[7] ZHAO Y N,JIANG D P.The threshold of a stochastic SIS epidemic model with vaccination[J].Applied Mathematics and Computation,2014,243:718-727.

[8] JI C Y,JIANG D Q.Threshold behaviour of a stochastic SIR model[J].Applied Mathematical Modeling,2014,38(21/22):5067-5079.

[9] LIN Y G,JIANG D Q,WANG S.Stationary distribution of a stochastic SIS epidemic model with vaccination[J].Physica A:Statistical Mechanics and its Applications,2014,394:187-197.

[10] LAHROUZ A,SETTATI A.Necessary and sufficient condition for extinction and persistence of SIRS system with random perturbation[J].Applied Mathematics and Computation,2014,233:10-19.

[11] LI J Q,MA Z E.Global analysis of SIS epidemic models with variable total population size[J].Mathematical and Computer Modelling,2004,39(11/12):1231-1242.

[12] MAO X R.Stochastic differential equations and applications[M].2nd ed.Chichester,UK:Horwood Publishing Limited,2008.