黃翔 汪春華

【摘 要】逆矩陣是線性代數(shù)課程的核心內(nèi)容之一，本文介紹了幾種求矩陣的逆矩陣方法，并做了比較和應(yīng)用，能夠幫助學(xué)習(xí)者更加全面的認(rèn)識(shí)逆矩陣這一重要概念。

【關(guān)鍵詞】矩陣；逆矩陣；分塊矩陣；初等變換

中圖分類號(hào)： O151.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）27-0110-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.27.049

【Abstract】Inverse matrix is one of the core contents of linear algebra course.This paper introduces several methods to find inverse matrix of matrix，and makes comparison and application.This paper can help learners comprehensively understand the important concept of inverse matrix more.

【Key words】Matrix；Inverse matrix；Partitioned matrix；Elementary transformation

在大學(xué)教育許多專業(yè)學(xué)習(xí)中，線性代數(shù)課程是其專業(yè)必修基礎(chǔ)課之一。通過本門課程的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生系統(tǒng)掌握矩陣及線性方程組理論，了解n維向量空間，熟悉二次型理論，并能解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)特的代數(shù)思維模式及邏輯推理能力。逆矩陣知識(shí)在線性代數(shù)課程中地位十分重要，與其它知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系緊密，它幾乎貫穿線性代數(shù)課程學(xué)習(xí)的始終。下面主要介紹求逆矩陣的一般方法，并給出逆矩陣求法的補(bǔ)充。

1 利用定義法

對(duì)于n階矩陣A，如果存在一個(gè)n階矩陣B，使得AB=BA=E，則稱矩陣A為可逆矩陣，而矩陣B稱為A的逆矩陣[1]。

例1已知A3=0，求證A-E可逆。

即A-E可逆，且（A-E）-1=-（A2+A+E2）。本題可以推廣成已知An=0，求證A±E或者E±A的可逆。

2 利用待定系數(shù)法

假設(shè)n階矩陣B存在，且B是一個(gè)含未知參數(shù)的矩陣，根據(jù)矩陣的定義，利用矩陣乘法法則與矩陣相等的條件，用方程組解出參數(shù)，從而得出矩陣B。此方法計(jì)算較復(fù)雜，不再贅述。

3 利用伴隨矩陣法

4 分塊矩陣法

將大矩陣A分成若干個(gè)小矩陣，雖然把矩陣A與B中的子塊當(dāng)成數(shù)量一樣對(duì)待，但是分塊矩陣的乘法運(yùn)算AB，A的列的劃分必須與B的行的劃分一致。因此分塊矩陣求逆矩陣適合高階矩陣求逆矩陣。

如果A、B、可逆，有一般式[2]

這個(gè)公式復(fù)雜，記憶難度大，可以記住它的以下幾種特殊情形

以上分塊矩陣求逆公式在求逆計(jì)算時(shí)可以直接使用，簡(jiǎn)化計(jì)算過程。

5 初等變換法

定理2[1]n階矩陣A可逆的充要條件是A可以表示為若干初等矩陣的乘積。如果A可逆，則A-1也可逆。即存在初等矩陣G1，G2，…，Gk，使得A-1=G1G2…Gk，A-1A=G1G2…GkA，即E=G1G2…GkA……（1）

（1）式表示對(duì)A施以若干次初等行變換可化為E；（2）式表示對(duì)E施以相同的若干次初等行變換可化為A-1。

定理3若用一系列初等行、列變換將可逆矩陣A化成單位矩陣E，則必存在可逆矩陣Q和矩P，使得A-1=QP。其中，矩陣Q是由單位矩陣E實(shí)施初等列變換得到的，矩陣P是由單位矩陣E實(shí)施初等行變換得到的[3]。

6 向量法

將矩陣A化成向量組形式，對(duì)A施以初等行變換，使其化成單位矩陣，向量矩陣也施以相同的初等行變換。例如上例中

還有一些其他求逆矩陣的方法，例如特征多項(xiàng)式法等等，利用以上幾種方法都可以求出一個(gè)可逆矩陣的逆矩陣，定義法在抽象矩陣求逆時(shí)用起來方便，初等行（列）變換法、分塊矩陣法在求具體矩陣逆矩陣時(shí)用起來更加簡(jiǎn)單且不容易出錯(cuò)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳贛昌.線性代數(shù)（醫(yī)藥類第二版）[M].中國(guó)人民大學(xué)出版社，2012.

[2]李一博，等.矩陣求逆基本方法的注記與補(bǔ)充[J].高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，06，34-36.

[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系，幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，高等代數(shù)[M]，第三版，高等教育出版社，2003.

[4]肖瀅.逆矩陣的判定及計(jì)算方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2016，07，72-76.

[5]杜曉寧，等.求逆矩陣的方法總結(jié)[J].佳木斯職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，04，252-253.