池宜航 李奎 陳丹妮

摘要：該文構(gòu)建了一種非對稱橢圓反射腔（ERCS）離散混沌系統(tǒng)。首先建立了非對稱ERCS系統(tǒng)的幾何模型，并對系統(tǒng)的演化進(jìn)程進(jìn)行了詳細(xì)描述。然后，對其產(chǎn)生的一維離散混沌序列的概率分布、李雅普諾夫指數(shù)等性能參數(shù)進(jìn)行了計算分析。相比標(biāo)準(zhǔn)ERCS系統(tǒng)，該文構(gòu)建的非對稱ERCS系統(tǒng)從幾何模型上不具備中心對稱結(jié)構(gòu)和上下對稱結(jié)構(gòu)，因此可從根本上克服標(biāo)準(zhǔn)ERCS系統(tǒng)中存在周期解的缺陷。

關(guān)鍵詞：非對稱，橢圓反射腔（ERCS），演化過程，概率分布，李雅普諾夫指數(shù)

中圖分類號：TP309.7? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? 文章編號：1009-3044（2018）31-0225-03

Performance Analysis of Asymmetric Elliptic Reflecting Cavity Discrete Chaotic System

CHI Yi-hang1，2，LI Kui1，2，CHEN Dan-ni3

（1. State Key Laboratory of Geo-information Engineering， Xi'an 710054， China; 2. Xi'an Research Institute of Surveying and Mapping， Xi'an 710054， China;3. 75839 Troops， Guangzhou 510000， China）

Abstract： In this work， a novel discrete chaotic system bearing the name of asymmetric elliptic reflecting cavity system（ERCS） is proposed. We first build geometric model of the asymmetric ERCS and describe the evolutionary process. Then， evolution process， probability distribution and Lyapunov exponent of the pseudo-random sequence produced by the system are calculated and analyzed. Compared with TD-ERCS for which the tangent-delay operation is dispensable， the asymmetric ERCS has similar performance， while provides a simple way to generate pseudo-random sequence.

Key words： asymmetric elliptic reflecting cavity（ERC）; evolution process; probability distribution; Lyapnov exponent

1 引言

自混沌理論出現(xiàn)以來，它就成為信息加密、保密通信等領(lǐng)域的研究熱點。在計算機信息加密領(lǐng)域，離散混沌系統(tǒng)得到了較多的應(yīng)用，典型的有Logistic映射、tent映射等，但這些離散混沌系統(tǒng)存在有密鑰空間小、序列相關(guān)性依賴系統(tǒng)參數(shù)等缺陷，仍無法滿足信息加密的需求。國內(nèi)學(xué)著盛利元等人提出了一種基于切延遲的橢圓反射腔（TD-ERCS）離散混沌系統(tǒng)[1-3]，并對其進(jìn)行了性能分析，發(fā)現(xiàn)其具有全域零相關(guān)性，即序列相關(guān)性不依賴于系統(tǒng)參數(shù)，并且密鑰空間遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)離散混沌系統(tǒng)等優(yōu)點，在圖像加密等領(lǐng)域得到了較廣泛的應(yīng)用[4-8]。

TD-ERCS系統(tǒng)的幾何模型為一歸一化標(biāo)準(zhǔn)橢圓反射腔，通過射線在腔內(nèi)的反射映射來產(chǎn)生偽隨機序列。由于橢圓存在完美的中心對稱性和雙軸對稱性，因此TD-ERCS系統(tǒng)中存在內(nèi)秉的周期解，在某種程度上破壞了系統(tǒng)的偽隨機性。本文基于這一構(gòu)想，為從物理模型上打破橢圓反射腔的對稱性，構(gòu)建了一種非對稱的ERCS系統(tǒng)，并對其演化過程、概率密度分布、序列相關(guān)性等性能進(jìn)行了分析計算，發(fā)現(xiàn)其具有與TD-ERCS系統(tǒng)相近的性能，并能有效破環(huán)后者中存在的周期解。

2 非對稱橢圓反射腔模型

2.1 物理模型

非對稱橢圓反射腔的幾何結(jié)構(gòu)由兩個歸一化的標(biāo)準(zhǔn)半橢圓組成：

2.2 系統(tǒng)演化過程描述

對于標(biāo)準(zhǔn)ERCS離散系統(tǒng)，可用一組映射關(guān)系式來描述系統(tǒng)的演化過程。但對于非對稱的ERCS，由于映射過程涉及[μ1]、[μ2]兩個參數(shù)的非周期性切換，無法由統(tǒng)一的映射關(guān)系式來描述?，F(xiàn)給出非對稱ERCS系統(tǒng)的映射步驟：

（a）當(dāng)射線零點位于區(qū)間[-1，1]內(nèi)時，參數(shù)發(fā)生切換;

（b）射線零點位于區(qū)間[-1，1]之外時，參數(shù)保持不變。

3 實驗結(jié)果與分析

3.1 系統(tǒng)演化軌跡與演化進(jìn)程

圖3為非對稱ERCS系統(tǒng)在相同初始點、不同入射角時射線的演化軌跡和[x]值的演化進(jìn)程。圖中，橢圓參數(shù)均為[μ₁=0.5]，[μ₂=0.8]，初始點坐標(biāo)均為（0.7， 0.3571），入射角度分別為[α₁=π/6]，[α₂=π/5]，[α₃=π/4]，射線演化軌跡取值500個，[x]演化進(jìn)程取值5000個。顯然，在三種不同初值情況下，系統(tǒng)演化出現(xiàn)偽隨機性。

3.2 x_i的概率密度分布

3.2.1 理論推導(dǎo)

3.2.2 仿真驗證

為驗證以上假設(shè)和推導(dǎo)過程的正確性，現(xiàn)對非對稱ERCS系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機[xi]序列進(jìn)行概率統(tǒng)計并與（16）式進(jìn)行比較，概率密度測試實驗結(jié)果如圖5所示。實驗中，系統(tǒng)初值為x₀=0.7，y₀=0.3571，α=π/6，迭代50000次，計數(shù)盒尺寸為0.001，將計數(shù)結(jié)果歸一化后顯示為圖中藍(lán)色曲線。圖中紅色曲線為（16）式概率密度的理論計算結(jié)果。從圖中可以看出，實驗結(jié)果與理論推導(dǎo)吻合度較高，證明了上述假設(shè)和推導(dǎo)的正確性。

3.3 李雅普諾夫指數(shù)

混沌系統(tǒng)的典型特性之一就是對初值的敏感性，對于兩個相差很小的系統(tǒng)初始值，經(jīng)過長時間演化后，所產(chǎn)生的序列具有零相關(guān)性。李雅普諾夫指數(shù)描述了系統(tǒng)中相鄰兩條演化軌跡在演化過程中的分離速率，它是系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)的充分條件。本小節(jié)利用Wolf算法計算了非對稱ERCS系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)隨系統(tǒng)參數(shù)的變化趨勢，其中參數(shù)m2=0.8，m1取值范圍為0.01～0.8，計算結(jié)果如圖6所示。

從以上結(jié)果可以看出，當(dāng)參數(shù)m2與m1差值較大時，系統(tǒng)的對稱性弱，所產(chǎn)生的序列處于混沌狀態(tài)，李雅普諾夫指數(shù)為正。隨著m1逐漸增大靠近m2，系統(tǒng)對稱性增強，所產(chǎn)生的序列逐漸表現(xiàn)出周期性，李雅普諾夫指數(shù)不斷減小直到小于0，此時系統(tǒng)不再處于混沌狀態(tài)，產(chǎn)生周期解。

4 結(jié)論

本文構(gòu)建了一種非對稱ERCS離散混沌系統(tǒng)，對系統(tǒng)的演化過程進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述和仿真計算，結(jié)果顯示，僅具有一個對稱軸的非對稱ERCS系統(tǒng)不存在內(nèi)秉周期解，克服了TD-ERCS系統(tǒng)中由于延遲參數(shù)選取不當(dāng)會出現(xiàn)周期解的缺陷。對系統(tǒng)的狀態(tài)變量的概率分布、李雅普諾夫指數(shù)等性能參數(shù)進(jìn)行了計算分析，結(jié)果表明，本文所構(gòu)6造的離散混沌系統(tǒng)具有與TD-ERCS相近的性能。

參考文獻(xiàn)：

[1] 盛利元， 孫克輝， 李傳兵. 基于切延遲的橢圓反射腔離散混沌系統(tǒng)及其性能研究[J]. 物理學(xué)報， 2004， 53（9）：2871-2876.

[2] 盛利元， 曹莉凌， 孫克輝，等. 基于TD-ERCS混沌系統(tǒng)的偽隨機數(shù)發(fā)生器及其統(tǒng)計特性分析[J]. 物理學(xué)報， 2005， 54（9）：4031-4037.

[3] 孫克輝， 談國強， 盛利元. TD-ERCS離散混沌偽隨機序列的復(fù)雜性分析[J]. 物理學(xué)報， 2008， 57（6）：3359-3366.

[4] 張坤， 甘小艇. TD-ERCS混沌系統(tǒng)和提升小波相結(jié)合的圖像加密方法[J]. 激光與紅外， 2013， 43：573-577.

[5] 賈偉堯， 潘宇， 簡遠(yuǎn)鳴. 基于TD-ERCS混沌系統(tǒng)的圖像加密方案[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版， 2012， 37：36-39.

[6] Zhang K， Fu X A. Color image encryption algorithm based on Tangent-Delay Ellipse Reflecting Cavity map System[C].Image Analysis and Signal Processing （IASP）， 2012 International Conference on IEEE， 2012：1-4.

[7] Liao Q N. TD-RECS Chaotic System Based Digital Image Encryption Algorithm Protecting from Shearing Attack[C].Network Computing and Information Security， International Conference on IEEE， 2011：402-405.

[8] Yin L， Zhao J， Duan Y. Encryption Scheme for Remote Sensing Images Based on EZW and Chaos[C].Young Computer Scientists， International Conference for IEEE， 2008：1601-1605.

[9] Chen B. Improving autocorrelation and RFM autocorrelation performance of TD-ERCS sequence[C]//E-Business and E -Government （ICEE）， 2011 International Conference on IEEE， 2011：1-4.