福建省安溪縣第五小學(xué) 陳小玲

小學(xué)生心理特點(diǎn)的發(fā)展局限會(huì)影響他們對(duì)分?jǐn)?shù)除法的理解運(yùn)算。他們往往不能理解為什么要顛倒相乘，分子與分母之間該如何轉(zhuǎn)換運(yùn)算，這也與他們對(duì)分?jǐn)?shù)除法的基本概念不清楚或者理解不夠透徹有關(guān)。分?jǐn)?shù)除法是在分?jǐn)?shù)乘法的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)變的一種形式，是逆運(yùn)算，與整數(shù)除法的意義相同，都是已知兩個(gè)因數(shù)的積，求另外一個(gè)因數(shù)。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，除法的意義也逐漸被擴(kuò)充，這就進(jìn)一步要求小學(xué)生的全面了解和掌握。

一、借助一題多解的模式開(kāi)闊學(xué)生的視野

在分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算過(guò)程中，一般有兩種解題方法：一種是直接用分子除以被除數(shù)，一種是把除法轉(zhuǎn)化為乘法來(lái)計(jì)算。第一種方法在某些情況下可能不會(huì)奏效，因?yàn)榉肿映哉麛?shù)有時(shí)除不盡，而第二種方法就是轉(zhuǎn)化為倒數(shù)來(lái)約分，而得到的結(jié)果不管是真分?jǐn)?shù)還是假分?jǐn)?shù)都是比較準(zhǔn)確的。在小學(xué)階段，低年級(jí)的學(xué)生沒(méi)有學(xué)過(guò)方程思想，某些復(fù)雜的除法計(jì)算就不能簡(jiǎn)化，而對(duì)于六年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，除法的運(yùn)算要復(fù)雜很多，這時(shí)他們就可以設(shè)未知數(shù)來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算。

例如，把一張紙的五分之四平均分為兩份，每份是這張紙的幾分之幾？學(xué)生可以動(dòng)手操作來(lái)找出答案，把五分之四平均分成兩份就是把四個(gè)五分之一分為兩份，每份就是兩個(gè)五分之一，即五分之二。或者說(shuō)把五分之四平均分成兩份，也就是五分之四的二分之一，即從這個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題中可以看出，解題方法的多樣性與學(xué)生思維能力的提高密切相關(guān)。通過(guò)互相間的交流溝通，它能夠讓學(xué)生對(duì)于題目?jī)?nèi)部之間的聯(lián)系與貫通有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。有幾類(lèi)問(wèn)題比較典型，已知一個(gè)問(wèn)題的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)的解法。設(shè)單位一的量為x列方程解答，或者已知量除以已知量占單位一的幾分之幾等于單位一的量。用分?jǐn)?shù)除法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)可以從多個(gè)角度出發(fā)，加深對(duì)于數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)和理解。已知比一個(gè)數(shù)多幾分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)。列舉一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：爸爸的年紀(jì)是35歲，他的年紀(jì)比爺爺?shù)哪昙o(jì)小求爺爺?shù)哪昙o(jì)。①根據(jù)數(shù)量關(guān)系，單位1的量×（1±幾分之幾）＝已知量；單位1的量±單位1的量×幾分之幾＝已知量。列方程解答：解得x＝75。②確定單位1的量，計(jì)算單位一的量占已知量的幾分之幾，再根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義列式解答：這兩種解題的方法都可以很好地體現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法的應(yīng)用和多元化的思維模式。

因此，學(xué)生在重復(fù)練習(xí)除法運(yùn)算時(shí)，遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要理清已知量的含義是被除數(shù)還是除數(shù)以及等量關(guān)系，多總結(jié)歸納這類(lèi)問(wèn)題在解決上的不同方法、總量與部分的占比關(guān)系，這也為初高中各種公式定理的推導(dǎo)打下基礎(chǔ)。

二、借助對(duì)比分析模式幫助構(gòu)建模型

分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法可以對(duì)比聯(lián)系起來(lái)，事物的本質(zhì)是相同的，加減乘除都可以相互轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生明白解題的基本結(jié)構(gòu)和內(nèi)在關(guān)系，就可以在此基礎(chǔ)上形成以分?jǐn)?shù)除法為原則的模型。借助對(duì)比分析的手段，不管是初學(xué)除法時(shí)整數(shù)相除、一位兩位乃至多位數(shù)的除法，還是深入掌握后整數(shù)與分?jǐn)?shù)相除、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相除，都可以類(lèi)比乘法來(lái)計(jì)算，還可以延伸到初中數(shù)學(xué)中多因式相除以及含未知變量的除法，皆相得益彰。

例如，同整數(shù)四則運(yùn)算相同，含乘除加減運(yùn)算則先乘除后加減，只有一級(jí)運(yùn)算的，就按照從左至右依次算出。如：某項(xiàng)工程建設(shè)中，一條道路甲隊(duì)單獨(dú)修要12天才能完成，乙隊(duì)單獨(dú)修完需18天，問(wèn)兩隊(duì)合修要多少天？甲、乙兩隊(duì)的工作效率不同，一般都是已知工作時(shí)間和工作效率，用分?jǐn)?shù)乘法來(lái)計(jì)算工作量，對(duì)比一下，都是已知三個(gè)量，分?jǐn)?shù)乘法是已知兩個(gè)因數(shù)，求它們的積，而分?jǐn)?shù)除法是已知兩因數(shù)的積和其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)。形式不同，本質(zhì)相同。處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，就要用到工作時(shí)間＝工作量÷工作效率。工作總量是未知的，把它看作單位1，那么完成此項(xiàng)工作的時(shí)間是幾，工作效率就是幾分之一，把后者當(dāng)作條件參與列式：再如：①某學(xué)校有1000名學(xué)生，女生人數(shù)是學(xué)生總數(shù)的女生人數(shù)是多少？②第二小學(xué)有400名男生，男生人數(shù)是學(xué)生總數(shù)的學(xué)生總數(shù)是多少？③第二小學(xué)有400名男生，女生比男生多女生人數(shù)是多少？列舉多個(gè)相似的分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算，讓學(xué)生在對(duì)比分析中探索、討論、觀(guān)察、交流，增強(qiáng)他們分析解決問(wèn)題的能力。解題時(shí)常會(huì)出現(xiàn)一些量的增減變化，但是一直與這些量有關(guān)的另一些量卻不隨之改變，找出不變的量之間的恒等關(guān)系，就可以把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，找到突破口。對(duì)比已知量增減前后與總量之間的占比關(guān)系如何變化，帶來(lái)分?jǐn)?shù)的改變對(duì)最終除法計(jì)算的影響。

因此，可以運(yùn)用一些基本規(guī)律：將被除數(shù)擴(kuò)大（縮?。﹏倍，而除數(shù)不變，則商也相應(yīng)的擴(kuò)大（縮小）n倍；將除數(shù)擴(kuò)大（縮小）n倍，而被除數(shù)不變，則商相應(yīng)的縮?。〝U(kuò)大）n倍。掌握這種計(jì)量關(guān)系可以通過(guò)情景還原式教學(xué)，不至于讓學(xué)生感到抽象無(wú)法理解。長(zhǎng)除和短除的不同適用范圍對(duì)比理解有相同的效果。一些重視計(jì)算過(guò)程和商數(shù)的除法，適用于因式分解，多項(xiàng)式除法等是長(zhǎng)除；重視倍數(shù)測(cè)試和連乘式，適用于快速除法和計(jì)算最小公倍數(shù)的是短除。被除數(shù)連續(xù)除以多個(gè)除數(shù)等于連乘這幾個(gè)數(shù)的倒數(shù)。這些思想的對(duì)比分析可使學(xué)生真切地領(lǐng)悟與歸納出借助分?jǐn)?shù)除法處理實(shí)際問(wèn)題的基本特點(diǎn)及思路關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。

三、線(xiàn)段圖是形象與抽象的聯(lián)系紐帶

小學(xué)生對(duì)于圖形的了解是淺層次的，他們往往局限在代數(shù)思維愈漸復(fù)雜的道路上，對(duì)于抽象思維的培養(yǎng)則有所匱乏，除法計(jì)算用線(xiàn)段圖來(lái)表示就很直接地呈現(xiàn)了問(wèn)題同條件之間的聯(lián)系，甚至可以把計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單化。直觀(guān)教學(xué)是小學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生的邏輯思維沒(méi)有達(dá)到和抽象思維無(wú)縫銜接的高度，所以考慮到他們的認(rèn)知能力，面對(duì)已知條件較多、變量關(guān)系較復(fù)雜的除法計(jì)算時(shí)，可以讓他們將已知量和未知量都標(biāo)注在線(xiàn)段圖上再去分析。

總之，除數(shù)就是條件主體，可以是總量、同階級(jí)其他量等，被除數(shù)就是已知量與未知量之間的比例換算條件。在小學(xué)階段學(xué)習(xí)不斷深入的過(guò)程中，除數(shù)和被除數(shù)也由簡(jiǎn)變難，但是計(jì)算的核心要點(diǎn)是不變的，在平時(shí)的教學(xué)中，要活學(xué)活用類(lèi)比推理來(lái)尋求更新穎的解題方法。