王艷蘭 梁忠民 王凱 羅俐雅

摘要：洪水概率預(yù)報(bào)通過(guò)提供具有一定置信度的預(yù)報(bào)區(qū)間，評(píng)估預(yù)報(bào)結(jié)果的可靠度，為防洪調(diào)度提供重要依據(jù)。以淮河關(guān)鍵防洪斷面王家壩為研究對(duì)象，分別采用API和新安江（XAJ）確定性模型進(jìn)行初始的確定性預(yù)報(bào)，在此基礎(chǔ)上，再采用模型條件處理器（MCP）推求不同量級(jí)洪水預(yù)報(bào)流量的條件概率分布函數(shù)，實(shí)現(xiàn)洪水概率預(yù)報(bào)。分別從中位數(shù)的確定性精度評(píng)價(jià)和概率預(yù)報(bào)的可靠度評(píng)價(jià)兩方面對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行分析，結(jié)果表明：MCP洪水概率預(yù)報(bào)結(jié)果不僅具有較高的可靠度，而且其中位數(shù)預(yù)報(bào)與確定性模型結(jié)果相比，預(yù)報(bào)精度整體有所提高，說(shuō)明MCP具備一定的校正預(yù)報(bào)能力。

關(guān)鍵詞：洪水概率預(yù)報(bào);模型條件處理器;API模型;新安江模型

中圖分類(lèi)號(hào)：TV122.5文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：王艷蘭

Probabilistic flood forecasting based on multi-model MCP

WANG Yanlan.1，LIANG Zhongmin.1，WANG Kai.2，LUO Liya.3

（1.College of Hydrology and Water Resources，Hohai University，Nanjing 210098，China;

2.Bureau of Hydrology，Huaihe Water Conservancy Committee，Bengbu 233001，China;

3.Jiangsu Province Hydrology and Water Resources Investigation Bureau，Nanjing 210098，China）

Abstract：The probabilistic flood forecasting can provide a prediction interval with a certain reliability，and can be used to evaluate the reliability of forecasting results.It can provide an important basis for flood control scheduling.We took Wangjiaba cross-section，a key flood control section of Huaihe River，as the research object.Based on the prediction results of API and XAJ models，using the Model conditional processor （MCP） to deduce the conditional probability distribution function of the forecasting runoff of floods of different magnitudes，we realized probabilistic flood forecasting.The prediction results were analyzed in terms of the deterministic precision evaluation of median number and the reliability evaluation of probabilistic forecasting.The results showed that the MCP probabilistic flood forecasting has a high reliability，and its median number prediction has a higher prediction accuracy than the deterministic model，indicating that MCP has a certain ability of correction and prediction.

Key words：probabilistic flood forecasting;model conditional processor;API model;Xin′anjiang model

洪水預(yù)報(bào)主要是通過(guò)水文模型得到一種確定性的定值預(yù)報(bào)，但水文模型都是對(duì)水文物理過(guò)程的近似，其預(yù)報(bào)結(jié)果必然具有不確定性[1-2]，洪水概率預(yù)報(bào)可定量描述預(yù)報(bào)結(jié)果的不確定性，不僅給出置信區(qū)間以評(píng)估洪水預(yù)報(bào)的可靠度，還能以分位數(shù)形式（如均值或中位數(shù)）提供類(lèi)似于傳統(tǒng)方法的定值預(yù)報(bào)，使得預(yù)報(bào)信息更為完整[3-4]。

在洪水概率預(yù)報(bào)中，貝葉斯方法得到廣泛的研究與應(yīng)用[5-10]。其中，水文不確定性處理器[11-12]（Hydrologic Uncertainty Processor，HUP）是一種最常用的概率預(yù)報(bào)方法，該處理器以確定性模型為基礎(chǔ)，利用貝葉斯公式估計(jì)預(yù)報(bào)變量的概率分布以實(shí)現(xiàn)洪水概率預(yù)報(bào)。洪水預(yù)報(bào)實(shí)踐表明，一般很難存在一個(gè)模型能在任何情況下都提供始終優(yōu)于其他模型的預(yù)報(bào)結(jié)果，也說(shuō)明洪水預(yù)報(bào)模型的選擇存在不確定性[7];而貝葉斯模型平均法[13-14]（Bayesian model averaging，BMA）是一種基于貝葉斯理論綜合不同模型預(yù)報(bào)結(jié)果的分析方法，可發(fā)揮不同模型的優(yōu)勢(shì)，提供更可靠的預(yù)報(bào)結(jié)果，因此也得到了廣泛應(yīng)用[15]。研究發(fā)現(xiàn)，不同量級(jí)的洪水預(yù)報(bào)誤差存在差異性[16-17]，即暴雨中心位置不同、洪水量級(jí)不同、漲落水不同階段，洪水預(yù)報(bào)誤差的規(guī)律也往往不同;模型條件處理器（Model Conditional Processor，MCP）[18-19]方法可通過(guò)聯(lián)合分布來(lái)處理場(chǎng)次洪水預(yù)報(bào)誤差的異分布問(wèn)題，所以使其比HUP更適用于評(píng)估洪水預(yù)報(bào)的不確定性;此外，MCP方法不再局限于只選擇一個(gè)確定性模型，而是與BMA類(lèi)似，可對(duì)多個(gè)模型預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行綜合分析，因此該方法可看做是HUP和BMA的概括和總結(jié)[20]。

本文在API模型[21]和新安江（XAJ）模型[22]預(yù)報(bào)結(jié)果的基礎(chǔ)上，采用MCP方法對(duì)淮河王家壩斷面進(jìn)行洪水概率預(yù)報(bào)研究。

1方法原理

1.1多模型MCP原理

模型條件處理器（MCP）是結(jié)合實(shí)測(cè)資料與確定性水文模型預(yù)報(bào)結(jié)果的聯(lián)合概率分布，通過(guò)正態(tài)分位數(shù)轉(zhuǎn)換，[JP+2]將預(yù)報(bào)不確定性轉(zhuǎn)換至正態(tài)空間，根據(jù)貝葉斯理論推求預(yù)報(bào)變量的條件概率分布函數(shù)。

假設(shè)y表示實(shí)測(cè)變量，[AKy^D]表示初始水文模型的預(yù)報(bào)變量，將y和[AKy^D]通過(guò)正態(tài)分位數(shù)轉(zhuǎn)換得η和[AKη^D]。在正態(tài)空間里，η和[AKη^D]的聯(lián)合分布可假設(shè)為正態(tài)二元分布f（η，[AKη^D]），預(yù)報(bào)不確定性用以初始預(yù)報(bào)值為條件的預(yù)報(bào)量的概率密度函數(shù)表示：

其均值和方差為：

MCP可通過(guò)將二元正態(tài)分布推廣到多元正態(tài)分布的方法來(lái)綜合多個(gè)確定性模型的預(yù)報(bào)結(jié)果。假設(shè)有M個(gè)確定性模型，則將M個(gè)模型預(yù)報(bào)值[AKy^D]i（i=1，… ，M）轉(zhuǎn)換到多元正態(tài)空間得[AKη^D]i。每個(gè)變量在正態(tài)空間里都對(duì)應(yīng)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和預(yù)報(bào)不確定性，即以M個(gè)模型的預(yù)報(bào)值為條件的預(yù)報(bào)量的分布可以表示為（y|[AKy^D]1，…，[AKy^D]M），轉(zhuǎn)換值的條件分布可分別縮寫(xiě)為f（η|[AKη^D]i），

均值、方差如下：

式中，∑η[AKη^D] 和∑[AKη^D][AKη^D]分別為

1.2多模型分段聯(lián)合正態(tài)分布

已有研究表明[16]，不同量級(jí)洪水預(yù)報(bào)誤差的分布會(huì)有所不同，這等價(jià)于η和[AKη^D]的關(guān)系可能隨流量量級(jí)而變化。所以，可以根據(jù)η和[AKη^D]的關(guān)系圖，發(fā)現(xiàn)不同量級(jí)流量的分布規(guī)律不同，再采用截?cái)嗾龖B(tài)分布（TNDs）分別描述不同流量量級(jí)初始預(yù)報(bào)值與實(shí)測(cè)值的關(guān)系，即根據(jù)分界點(diǎn)a，可將正態(tài)空間的聯(lián)合分布分為兩個(gè)（或多個(gè)）TNDs。

當(dāng)[AKη^D]>a時(shí)，其截?cái)嗟恼龖B(tài)分布為

f（[AKη^D]|[AKη^D]>a）=[SX（]f（[AKη^D]）[]

∫.+∞af（[AKη^D]）d[AKη^D][SX）]=[SX（]f（[AKη^D]）[]1-F[AKη^D]（a）[SX）]（5）

根據(jù)貝葉斯理論，截?cái)嗪蟮念A(yù)報(bào)不確定性可表示為以初始預(yù)報(bào)值[AKη^D].*>a為條件的η的條件概率密度函數(shù)：

f（η|[AKη^D]>a，[AKη^D].*）=[SX（]f（η，[AKη^D]|[AKη^D]>a，[AKη^D].*）[]f（[AKη^D]|[AKη^D]>a，[AKη^D].*）[SX）]=[SX（]f（η，[AKη^D]|[AKη^D].*）[]f（[AKη^D]|[AKη^D].*）[SX）]（6）

均值和方差為

[JB（]μη|[AKη^D]>a，[AKη^D].*=μη+[SX（]ση[AKη^D][]σ..2[AKη^D][SX）]（[AKη^D].*-μ[AKη^D]）

σ..2η|[AKη^D]>a，[AKη^D].*=σ..2η-[SX（]σ..2η[AKη^D][]σ..2[AKη^D][SX）][JB）]（7）

式中：μη、μ[AKη^D]分別為η|[AKη^D]>a和[AKη^D]|[AKη^D]>a條件下分布的均值;ση、σ[AKη^D]為標(biāo)準(zhǔn)差。

當(dāng)結(jié)合多個(gè)模型預(yù)報(bào)值時(shí)，因每個(gè)模型都有對(duì)應(yīng)的臨界值，為確定具有代表性的樣本，將每個(gè)模型高流量部分期望值的方差進(jìn)行比較，以方差較小的模型的臨界值作為多元聯(lián)合分布分段的依據(jù)。

設(shè)a′i表示模型正態(tài)分布分段的臨界值，σ..2η|[AKη^D]i=[AKη^D].*i>a′i表示模型正態(tài)分布上部的條件方差，向量[WTHX][AKη^D]表示模型的模擬變量

選定更能代表高流量部分的模型k[WTBX]，即：

σ..2η|[AKη^D]k[WTBX]>a′k[WTBX]，[AKη^D].*k[WTBX]<σ..2η|[AKη^D]i>a′i-[SX（]σ..2η[AKη^D][]σ..2[AKη^D][SX）]

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，定義向量[WTHX]a[WTBX]：

[JB（{]ai=-∞ak[WTBX]=a′k[WTBX][JB）]，i≠k[WTBX]

預(yù)報(bào)不確定性可表示為以[AKη^D].*>ak[WTBX]為條件的η的條件概率密度函數(shù)：[HJ1.8mm]

f（η|[AKη^D]k[WTBX]>ak[WTBX]，[AKη^D].*）=[SX（]f（η，[AKη^D]|[AKη^D]k[WTBX]>ak[WTBX]，[AKη^D].*）[]f（[AKη^D]|[AKη^D]k[WTBX]>ak[WTBX]，[AKη^D].*）[SX）]=[SX（]f（η，[AKη^D]|[AKη^D].*）[]f（[AKη^D]|[AKη^D].*）[SX）]（8）

其均值和方差為

[JB（]μη|[AKη^D]k[WTBX]>ak[WTBX]，[AKη^D].*=μ+∑η[AKη^D] ∑.-1[AKη^D][AKη^D]（[AKη^D]..*-[AKμ^D]）

σ.2η|[AKη^D]k[WTBX]>ak[WTBX]，[AKη^D].*=∑η[AKη^D]-∑η[AKη^D] ∑.-1[AKη^D][AKη^D]

∑..Tη[AKη^D]

[JB）]（9）

式中：∑ηη=1，μ、[AKμ^D]分別表示η|[AKη^D]k[WTBX]>ak[WTBX]和[AKη^D]|[AKη^D]k[WTBX]>ak條件下分布的均值。

[JP+2]通過(guò)對(duì)預(yù)報(bào)量的條件概率分布進(jìn)行逆轉(zhuǎn)換，可得其任一分位數(shù)在原始空間中對(duì)應(yīng)的預(yù)報(bào)流量值。

[BT2-*6]2應(yīng)用實(shí)例

[JP+2]王家壩站是淮河干流上的主要控制站，其控制流域面積為30 630 km.2，降水量具有時(shí)空分布不均勻，年際變化大等特點(diǎn)。本文采用MCP方法結(jié)合API模型和新安江模型的預(yù)報(bào)結(jié)果，實(shí)現(xiàn)王家壩斷面的洪水概率預(yù)報(bào)。研究流域示意圖見(jiàn)圖1。

2.1基于API模型的確定性預(yù)報(bào)

淮河王家壩斷面的洪水主要是由息縣、潢川和班臺(tái)的河道來(lái)水以及息潢班～王家壩區(qū)間洪水兩部分組成。息縣、潢川和班臺(tái)洪水河道匯流采用馬斯京根法;息潢班～王家壩區(qū)間的產(chǎn)流計(jì)算采用降雨徑流相關(guān)圖法，匯流采用單位線法。選取1990-2010年間18場(chǎng)洪水資料進(jìn)行模型計(jì)算（其中14場(chǎng)率定，4場(chǎng)用于驗(yàn)證），Δt=2 h，預(yù)報(bào)精度見(jiàn)表1。

由表1可知，API模型率定期和驗(yàn)證期的確定性系數(shù)均大于0.7，部分場(chǎng)次洪水的洪峰誤差和洪量誤差超過(guò)了20%的許可誤差[23]。究其原因，API模型是以經(jīng)驗(yàn)為主的產(chǎn)匯流模型，在水源劃分、河網(wǎng)匯流等環(huán)節(jié)上都存在人為性，且無(wú)法考慮降雨分布的不均勻性。

2.2基于新安江模型的確定性預(yù)報(bào)

選用1990-2010年的資料進(jìn)行日模型計(jì)算，采用上述18場(chǎng)洪水資料進(jìn)行次洪模型計(jì)算（其中14場(chǎng)率定，4場(chǎng)用于驗(yàn)證），Δt=2 h，預(yù)報(bào)精度見(jiàn)表2。

由表2可知，新安江模型預(yù)報(bào)精度較高，18場(chǎng)洪水的確定性系數(shù)均大于0.7，洪量和洪峰誤差均在許可誤差以?xún)?nèi)。

2.3MCP方法應(yīng)用

通過(guò)正態(tài)分位數(shù)轉(zhuǎn)換后，API模型預(yù)報(bào)值[AKy^D]1、新安江模型預(yù)報(bào)值[AKy^D]2與實(shí)測(cè)值得到其轉(zhuǎn)換值[AKη^D]1、[AKη^D]2和η。如圖2所示，在正態(tài)空間中，[AKη^D]1和η、[AKη^D]2和η的點(diǎn)據(jù)大體呈現(xiàn)出兩種不同的分布規(guī)律，其中，（a）中點(diǎn)據(jù)大概以a=1.8為分界點(diǎn)，（b）中點(diǎn)據(jù)大概以坐標(biāo)原點(diǎn)為分界點(diǎn);分段估計(jì)以[AKη^D]為條件η的概率分布，各段分布的均值隨流量大小的變化而改變。采用分位數(shù)回歸[24]分別對(duì)其進(jìn)行回歸分析，圖中給出的是5%、50%及95%分位數(shù)下的回歸結(jié)果，即中位數(shù)及90%置信度的預(yù)報(bào)區(qū)間。

2.4結(jié)果分析

2.4.1基于分位數(shù)的確定性精度評(píng)價(jià)

將上述18場(chǎng)洪水確定性模型的預(yù)報(bào)結(jié)果以及實(shí)測(cè)資料作為MCP方法的輸入進(jìn)行王家壩斷面的洪水概率預(yù)報(bào)。此方法可求得各時(shí)刻流量的條件分布函數(shù)和各分位點(diǎn)的估值，類(lèi)似于確定性預(yù)報(bào)，提供50%分位數(shù)的估計(jì)值作為定值預(yù)報(bào)?；诜治粩?shù)的確定性精度評(píng)價(jià)如下：

（1）確定性系數(shù)。

如圖3所示，基于單個(gè)確定性模型的MCP方法（MCP-API、MCP-XAJ）得出的中位數(shù)預(yù)報(bào)結(jié)果與確定性模型結(jié)果相比，確定性系數(shù)都有所提高;結(jié)合兩個(gè)確定性模型的MCP方法（MCP-API+XAJ），其確定性系數(shù)最高。

（2）洪峰誤差。

如圖4所示，從洪峰誤差來(lái)看，MCP方法預(yù)報(bào)洪峰結(jié)果比確定性模型更接近實(shí)測(cè)洪峰，且MCP-API+XAJ的洪峰誤差最小。

（3）洪量誤差。

如圖5所示，API的洪量誤差最大，MCP-API和MCP-XAJ的洪量誤差相比于原模型都有所減小，且MCP-API+XAJ減小的最明顯。

綜上，MCP方法提供的中位數(shù)預(yù)報(bào)結(jié)果，其確定性系數(shù)、洪峰誤差和洪量誤差都整體優(yōu)于確定性模型，且MCP結(jié)合兩個(gè)確定性模型時(shí)，其預(yù)報(bào)結(jié)果最優(yōu)，表明MCP方法具有校正預(yù)報(bào)功能。

2.4.2概率預(yù)報(bào)的可靠度評(píng)價(jià)

MCP方法提供了洪水過(guò)程的中位數(shù)預(yù)報(bào)及預(yù)報(bào)區(qū)間（置信度為90%）的估計(jì)結(jié)果，并采用區(qū)間覆蓋率以及離散度指標(biāo)對(duì)概率預(yù)報(bào)的可靠度進(jìn)行評(píng)估[25]。區(qū)間覆蓋率越大、離散度越小說(shuō)明模型預(yù)報(bào)的不確定性越小，但這兩個(gè)指標(biāo)往往無(wú)法同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。

由圖6可知，基于單個(gè)模型的MCP中位數(shù)預(yù)報(bào)結(jié)果無(wú)法保證某一個(gè)模型的覆蓋率和離散度能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，而基于兩個(gè)模型的MCP方法，其預(yù)報(bào)區(qū)間（置信度為90%）平均覆蓋率達(dá)到87%，且離散度明顯降低，平均值達(dá)0.51，即在相對(duì)較小的預(yù)報(bào)區(qū)間寬度內(nèi)，仍能夠覆蓋絕大多數(shù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，說(shuō)明綜合兩個(gè)模型的MCP中位數(shù)預(yù)報(bào)結(jié)果可靠度更高。

2.4.3場(chǎng)次洪水結(jié)果分析

因篇幅有限，選取了其中三場(chǎng)具有代表性的洪水（包括小洪水、大洪水、復(fù)峰洪水）進(jìn)行結(jié)果分析，MCP洪水概率預(yù)報(bào)結(jié)果見(jiàn)表3，圖7為19910612號(hào)、19980801號(hào)和19990622號(hào)次洪MCP中位數(shù)及90%置信區(qū)間預(yù)報(bào)結(jié)果。

表3依次列出了三場(chǎng)典型洪水MCP-API、MCP-XAJ和MCP-API+XAJ的概率預(yù)報(bào)結(jié)果。由表可知，19910612號(hào)洪水（大洪水）的確定性系數(shù)呈現(xiàn)出依次增大的趨勢(shì)，即MCP-API+XAJ的確定性系數(shù)最高，其洪峰誤差和洪量誤差最小，預(yù)報(bào)區(qū)間（置信度為90%）的覆蓋率最高，且離散度也最小;19980801號(hào)洪水（復(fù)峰洪水），MCP-XAJ的洪峰誤差最小，預(yù)報(bào)區(qū)間覆蓋率最高，但其離散度也最大，而MCP-API+XAJ的確定性系數(shù)最高，其離散度也最小;19990622號(hào)洪水（小洪水），MCP-XAJ的[CM（22]洪峰誤差和洪量誤差最小，但圖7場(chǎng)次洪水MCP中位數(shù)及90%置信區(qū)間預(yù)報(bào)結(jié)果確定性系數(shù)最高，且預(yù)報(bào)區(qū)間（置信度為90%）的覆蓋率最高，離散度也相對(duì)較小。

綜上，不管是從基于分位數(shù)的確定性精度評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)看，還是從概率預(yù)報(bào)的可靠度評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)看，MCP-API+XAJ的預(yù)報(bào)結(jié)果都優(yōu)于MCP-API和MCP-XAJ，究其原因，是由于MCP-API+XAJ不僅結(jié)合了實(shí)測(cè)資料，還合成了兩個(gè)確定性模型的預(yù)報(bào)結(jié)果，并利用貝葉斯理論進(jìn)行修正，使得其中位數(shù)預(yù)報(bào)結(jié)果更接近于流量實(shí)測(cè)值，以此提高了洪水預(yù)報(bào)的可靠度。

3結(jié)論

本文將多模型條件處理器（MCP）應(yīng)用于淮河王家壩斷面的洪水概率預(yù)報(bào)。對(duì)18場(chǎng)洪水的分析表明，預(yù)報(bào)相對(duì)誤差隨流量量級(jí)的增大而減小，即不同量級(jí)洪水預(yù)報(bào)誤差分布規(guī)律不同，所以采用MCP分段估計(jì)洪水預(yù)報(bào)的不確定性并實(shí)現(xiàn)概率預(yù)報(bào)。若將MCP概率預(yù)報(bào)50%分位數(shù)（中位數(shù)）作為洪水過(guò)程的定值預(yù)報(bào)，其精度整體上高于單一的確定性模型預(yù)報(bào)結(jié)果，這是因?yàn)镸CP屬于貝葉斯框架下的方法，具有融合先驗(yàn)和樣本信息生成后驗(yàn)信息的功能，反映在洪水預(yù)報(bào)問(wèn)題上，該方法具有一定的校正能力，所以預(yù)報(bào)精度有所提高;而且，MCP的多模型綜合降低了單個(gè)模型預(yù)報(bào)的不確定性，相同置信度下其預(yù)報(bào)區(qū)間的覆蓋率更高、離散度更低。

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